圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式(極坐標(biāo)參數(shù)方程)高等教育

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圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式極坐標(biāo)參數(shù)方程快準(zhǔn)穩(wěn)

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式（極坐標(biāo)方程）

圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題是高考命題的大熱點(diǎn)，主要是在解答題中，全國文科一般為壓軸題的第22題，理科和各省市一般為第21題或者第20題，幾乎每一年都有考察。由于題目的綜合性很高的，運(yùn)算量很大，屬于高難度題目，考試的得分率極低。本文介紹的焦點(diǎn)弦長公式是圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）的通用公式，它是解決這類問題的金鑰匙，利用這個公式使得極其簡單的問題變得簡潔明白，中等學(xué)習(xí)程度的同學(xué)完全能夠得心應(yīng)手！?

定理已知圓錐曲線（橢圓、雙曲線或者拋物線）的對稱軸為坐標(biāo)軸(或平行于坐標(biāo)軸)，焦點(diǎn)為F，設(shè)傾斜角為的直線l經(jīng)過F，且與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，記圓錐曲線的離心率為e，通徑長為H，則

（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，弦AB的長|AB|

H

；22

|1ecos|

（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，弦AB的長|AB|

推論：

H

.

|1e2sin2|

|AB|（1）焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時，

當(dāng)A、B不在雙曲線的一支上時，|AB|

H

；

1e2cos2

H

；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時，

e2cos21

|AB|

H

.2

sin

H

；

1e2sin2

|AB|（2）焦點(diǎn)在y軸上，當(dāng)A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時，

當(dāng)A、B不在雙曲線的一支上時，|AB|

H

；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時，

e2sin21

|AB|

H

.2

cos

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式極坐標(biāo)參數(shù)方程快準(zhǔn)穩(wěn)

典題妙解

下面以部分高考題為例說明上述結(jié)論在解題中的妙用.

x2y22

1，例1（06湖南文第21題）已知橢圓C1拋物線，（ym）2px（p＞0）

43

且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)ABx軸時，求p，m的值，并推斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；（Ⅱ）若p

4

且拋物線C2的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.3

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x2y2

1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的例2（07全國Ⅰ文第22題）已知橢圓32

直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且ACBD，垂足為P.

（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：（x0，y0）（2）求四邊形ABCD的面積的最小值.

x0y

0＜1.32

22

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例3（08全國Ⅰ理第21題文第22題）雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x上，兩條漸近線

分別為l1、l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1、l2于A、B兩點(diǎn).已知||、

||、||成等差數(shù)列，且與同向.

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程.

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金教導(dǎo)睛

y2

x21的上焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則1.已知斜率為1的直線l過橢圓4|AB|=_________.

y2

1的左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則2.過雙曲線x

63

2

|AB|=_________.

3.已知橢圓x2y20，過左焦點(diǎn)F作直線l交A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的最大面積.

2

2

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4.已知拋物線y24px（p＞0），弦AB過焦點(diǎn)F，設(shè)|AB|m，△AOB的面積為S，

S2

求證：為定值.

m

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y2

1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正5.（05全國Ⅱ文第22題）P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x2

2

半軸上的焦點(diǎn).已知與共線，與共線，且0.求四邊形

PQMN的面積的最大值和最小值.

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6.(07重慶文第22題)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線y28x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；

（Ⅱ）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP||FP|cos2為定值，并求此定值.

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7.點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線l:y30的距離小1.

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)F且相互垂直的兩條直線與軌跡相交于A、B；C、D.求四邊形ACBD的最小面積.

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x2

y21的焦點(diǎn)相同，8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)F1、F2與橢圓且以拋物線y22x的5

準(zhǔn)線為其中一條準(zhǔn)線.（1）求雙曲線的方程；

（2）若經(jīng)過焦點(diǎn)F2且相互垂直的兩條直線與雙曲線相交于A、B；C、D.求四邊形ACBD

的面積的最小值.

1

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圓錐曲線焦點(diǎn)弦長的一個公式在高考中的妙用參考答案

x2y22b2c

證明：設(shè)雙曲線方程為221（a＞0，b＞0），通徑H，離心率e，

aaab

弦AB所在的直線l的方程為yk（xc）（其中ktan，為直線l的傾斜角），其參數(shù)方程為

xctcos，

.（t為參數(shù)）

ytsin.

代入雙曲線方程并整理得：（a2sin2b2cos2）t22b2ccostb40.由t的幾何意義可得：

|AB||t1t2|

2t1t2）4t1t2

2b2ccos4b222）2

222

asinbcosasin2b2cos22ab2

2

|asin2b2cos2|2b2

a|1e2cos2|2b22

|1ecos2|

H

.22

|1ecos|

例1.解：（Ⅰ）當(dāng)ABx軸時，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，m0，直線AB的方程為x1.

（1）（1，）從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.

3

232

點(diǎn)A在拋物線C2上，

99

2p.即p.

84

9

，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.16

（此時拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（Ⅱ）設(shè)直線AB的傾斜角為，由（Ⅰ）知

2

.

x1）則直線AB的方程為ytan（.

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式極坐標(biāo)參數(shù)方程快準(zhǔn)穩(wěn)

拋物線C2的對稱軸ym平行于x軸，焦點(diǎn)在AB上，通徑H2p

于是有

8

，離心率e1，3

H8

|AB|.22

sin（31cos）

2b21

3，離心率e.又AB過橢圓C1的右焦點(diǎn)，通徑H

2aH12

|AB|.

|1e2cos2|4cos2

812

.

（31cos2）4cos2

12

tan.解之得：cos，7

2

在直線ytan

（x1）拋物線C2的焦點(diǎn)F（，m）

3

16

.mtan，從而m

33

當(dāng)m

時，直線AB的方程為xy0；3

6

時，直線AB的方程為6xy603

當(dāng)m

x2y2

1中，a3，b2，c1.例2.（1）證明：在32

F1PF290，O是F1F2的中點(diǎn)，

|OP|

122

|F1F2|c1.得x0y01.2

點(diǎn)P在圓x2y21上.

x2y2

1的內(nèi)部.明顯，圓xy1在橢圓32

2

2

xy

故00＜1.

32

（2）解：如圖，設(shè)直線BD的傾斜角為，由ACBD可知，直線AC的傾斜角

22

2

.

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式極坐標(biāo)參數(shù)方程快準(zhǔn)穩(wěn)

32b24通徑H，離心率e.

3a3

又BD、AC分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2，于是

H4，

1e2cos23cos2

H4|AC|.2

3sin2

1e2cos（）

2|BD|

四邊形ABCD的面積

1

|BD||AC|2144323cos23sin2

96.2

24sin2S

0，，sin22[0，1].

96S，4.

25

故四邊形ABCD面積的最小值為

96.25

x2y2

例3，解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程為221（a＞0，b＞0）.

ab

|OA|、|AB|、|OB|成等差數(shù)列，設(shè)|AB|m，公差為d，則|OA|md，

||md，

(md)2m2(md)2.即m22dmd2m2m22dmd2.d

m3m5m

.從而|OA|，|OB|.444

又設(shè)直線l1的傾斜角為，則AOB2.l1的方程為y

b

x.a

tan

b|AB|4.而tan2

tanAOB.a|OA|3

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式極坐標(biāo)參數(shù)方程快準(zhǔn)穩(wěn)

b

2tana4.

b31tan212a

b1

解之得：.

a2

2

b5

.e2

a2

（Ⅱ）設(shè)過焦點(diǎn)F的直線AB的傾斜角為,則

2

.

cossin.而sin2

tan2

(1

)2

1tan21.1(1252

)cos21

5

.

通徑H2b2a2bb

a

b.又設(shè)直線AB與雙曲線的交點(diǎn)為M、N.于是有：|MN|H

1e2cos2

4.

即

b4.

1(

2)215

解得b3，從而a6.

所求的橢圓方程為

x2y2

369

1.1.解：a2,b1,c，離心率ec2b2a2

，通徑Ha1，直線l的傾斜角

4

.

|AB|

H

1

1e2sin2

8

1(

)2(2)25

.22

2.解：a1,b,c2，離心率ec

2b2a2，通徑H

a

6，直線的傾斜角6.

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式極坐標(biāo)參數(shù)方程快準(zhǔn)穩(wěn)

|AB|

H

22

|1ecos|

6|122(

2)|2

3.

x2c2y21，a2,b1,c1，左焦點(diǎn)F(1,0)，離心率e3.解：，通徑2a2

2b2

H2.

a

2b2

2，高|OF|c1，當(dāng)直線l的斜率不存在時，lx軸，這時|AB|Ha

△AOB的面積S

12

.21

22

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的傾斜角為，則其方程為ytan(x1)，即

tanxytan0

，原點(diǎn)O到直線AB的距離

d

|0t

a0nta|n|ta|n

si.n

2|se|ctan1

2

1(

22

)cos22

2222

.22

2cos1sin

|AB|

H

22

1ecos

12sin

.△AOB的面積S|AB|d2

21sin0＜＜，

sin＞0.從而1sin22sin.S

2sin2.

2sin2

當(dāng)且僅當(dāng)sin1，即

2

時，“=”號成立.故△AOB的最大面積為

2

.2

4.解：焦點(diǎn)為F(p,0)，通徑H4p.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，ABx軸，這時|AB|m4p，高|OF|p，△

AOB

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長公式極坐標(biāo)參數(shù)方程快準(zhǔn)穩(wěn)

的面積S

1

|AB||OF|2p2.2

S24p44p4

p3，是定值.mm4p

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線的傾斜角為，則其方程為ytan(xp)，即

tanxyptan0

，原點(diǎn)O到直線AB的距離

d

|ptan|tan21

p|tan|

psin.

|sec|

|AB|

H4p

.

sin2sin2

12p2

.△AOB的面積S|AB|d

2sin

S24p414p4sin23

.p22

msinmsin4p

S2

p3（p3為定值）

不論直線AB在什么位置，均有my2

1中，a2，b1，c1.5.解：在橢圓x2

2

1）由已知條件，MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F（0，，且MNPQ.

如圖，設(shè)直線PQ的傾斜角為，則直線MN的傾斜角

2

.

2b22

2，離心率e通徑H.于是有a2

|MN|

H

1e2sin2(

2

)

22

，2

2cos

|PQ|

H22

.222

1esin2sin

四邊形PQMN的面積

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1

|MN||PQ|21222222cos22sin2

16.8sin22S

0，，sin22[0，1].

16S，2.

9

故四邊形PQMN面積的最小值和最大值分別為

16

和2.9

6.（Ⅰ）解：2p8,p4，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線l的方程為x2.

（Ⅱ）證明：作ACl于C，F(xiàn)DAC于D.通徑H2p8.則|AB|

H8

,|EF||FP|cos,|AD||AF|cos.

sin2sin2

|AF||AC||AD|p|AF|cos4.4

.|AF|

1cos

|EF||AF||AE||AF|

從而|FP|

1444cos|AB|21cossin2sin2

|EF|4

.cossin2

|FP||FP|cos2|FP|(1cos2)

故|FP||FP|cos2為定值，此定值為8.

42

2sin8.2

sin

7.解：（1）依據(jù)題意，點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,2)的距離與它到直線l:y2的距離相等，

點(diǎn)M的軌跡是拋物線，點(diǎn)F(0,2)是它的焦點(diǎn)，直線l:y2是它的準(zhǔn)線.

從而

p

2，p4.2

所求的點(diǎn)M的軌跡方程是x28y.

（2）兩條相互垂直的直線與拋物線均有兩個交點(diǎn)，它們的斜率都存在.如圖，設(shè)直線AB的傾斜角為，則直線CD的傾斜角為90.

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