新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章預(yù)備知識1集合1.1集合的概念與表示第1課時集合的概念課件北師大版必修第一冊

1.1

集合的概念與表示第1課時

集合的概念自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標定位素養(yǎng)闡釋1.通過實例了解集合的含義.2.理解集合中元素的特征,并能利用它們進行解題.3.掌握元素與集合的關(guān)系,并能用符號“∈”或“?”來表示.4.掌握數(shù)學(xué)中一些常見的集合及其記法.5.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、集合的概念【問題思考】1.閱讀下面的語句,并回答提出的問題:①平面內(nèi)到定點O的距離等于定長d的所有的點;②方程x2-1=0的所有實數(shù)根;③著名的科學(xué)家.(1)以上各語句中要研究的對象分別是什么?(2)哪個語句中的對象不確定?為什么?提示:(1)分別為點,實數(shù)根,科學(xué)家.(2)③中的對象不確定.因為“著名”沒有明確的劃分標準.2.一般地,我們把指定的某些對象的全體稱為集合,通常用大寫英文字母A,B,C,…表示.集合中的每個對象叫作這個集合的元素,通常用小寫英文字母a,b,c,…表示.3.下列各組對象不能組成集合的是(

)A.大于6的所有整數(shù)B.高一數(shù)學(xué)課本中所有的簡單題C.被3除余2的所有正整數(shù)D.函數(shù)y=x圖象上所有的點答案:B二、元素與集合的關(guān)系【問題思考】1.設(shè)集合A表示“1~10之間的所有素數(shù)”,3和4與集合A是何關(guān)系?提示:3是集合A的元素,即3屬于集合A,記作3∈A;4不是集合A的元素,即4不屬于集合A,記作4?A.2.如果元素a在集合A中,就說元素a屬于集合A,記作a∈A;如果元素a不在集合A中,就說元素a不屬于集合A,記作a?A.三、集合中元素的性質(zhì)【問題思考】1.構(gòu)成英文單詞good的所有字母能否組成一個集合?如果能組成一個集合,該集合中有幾個元素?為什么?提示:能.因為集合中的元素是明確的(確定性).該集合有三個元素.因為集合中的元素必須是不同的(互異性).2.某班所有頭發(fā)較長的同學(xué)能否組成一個集合?某班身高高于175cm的男生能否組成一個集合?集合元素確定性的含義是什么?提示:某班所有頭發(fā)較長的同學(xué)不能組成集合,因為“頭發(fā)較長”無明確的標準.某班身高高于175

cm的男生能組成一個集合,因為標準確定.集合元素確定性的含義:集合中的元素必須是確定的,也就是說,一個集合確定后,任何一個對象是或不是這個集合的元素就確定了.3.(1)抽象概括:一個集合確定后,任何一個對象是或不是這個集合的元素就確定了.(2)規(guī)定:一個集合中的任何兩個元素都不相同.也就是說,集合中的元素沒有重復(fù).(3)概括:集合中元素具有確定性、互異性、無序性.四、常用的數(shù)集及其記法【問題思考】1.非負整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別?提示:非負整數(shù)集包括0,而正整數(shù)集不包括0.2.填表:3.若a∈Q,則一定有a∈R嗎?反過來呢?提示:若a∈Q,則一定有a∈R;反過來,若a∈R,但不一定有a∈Q.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)某服裝店所有漂亮的衣服能組成一個集合.(×

)(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有兩個元素.(×

)(3)0∈N+.(×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

集合的概念【例1】

(多選題)下列各組對象能組成一個集合的是(

).A.某校園中所有較高的樹B.平面直角坐標系中橫、縱坐標相等的點C.不小于10的自然數(shù)D.所有的等邊三角形解析:A中“較高”沒有明確的標準,所以不能組成一個集合;B,C,D中的對象都滿足集合中元素的確定性,所以能組成集合.答案:BCD一般地,要確認一組對象a1,a2,a3,…,an能不能組成集合的過程為【變式訓(xùn)練1】

(多選題)下列說法正確的有(

).A.所有素數(shù)能組成一個集合B.數(shù)軸上的一些點能組成一個集合C.正偶數(shù)的全體可以組成一個集合D.大于4020且小于4024的所有整數(shù)不能組成一個集合解析:A中“素數(shù)”具有確定性,能組成集合,故正確;B中“一些點”的標準不明確,不能組成集合,故錯誤;C中“正偶數(shù)”具有確定性,可組成集合,故正確;D中滿足條件的整數(shù)有2

021,2

022,2

023,具有確定性,能組成集合,故錯誤.答案:AC探究二

元素與集合的關(guān)系答案:ACD判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法:如果集合中的元素是直接給出的,只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.(2)推理法:對于一些沒有直接表示出來元素的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可,此時應(yīng)明確已知集合中的元素具有什么特征.探究三

集合中元素的性質(zhì)【例3】

已知集合A中含有兩個元素a和a2,若1∈A,求實數(shù)a的值.分析:1∈A→a=1或a2=1→驗證互異性解:因為1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1.當a=1時,a=a2,集合A中只有一個元素,所以a≠1;當a=-1時,集合A中含有兩個元素1,-1,符合集合中元素的互異性,所以a=-1.1.本例中若去掉條件“1∈A”,其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是什么?解:由題意a和a2組成含有兩個元素的集合,則a≠a2,解得a≠0且a≠1.2.本例中若將條件“1∈A”改為“2∈A”,其他條件不變,求實數(shù)a的值.3.已知集合A中含有三個元素a+1,3a,a2+1,若1∈A,求實數(shù)a的值.根據(jù)集合中元素的特征求解參數(shù)的值或取值范圍的基本步驟易

錯

辨

析因忽視集合中元素的互異性致誤【典例】

方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有幾個元素?錯解

x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解為x1=1,x2=a,則方程的解集中有兩個元素1,a.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上錯解中沒有注意到字母a的取值是不確定的.事實上,當a=1時,不滿足集合中元素的互異性.正解:因為x2-(a+1)x+a=(x-a)·(x-1)=0,所以方程的解為x1=1,x2=a.若a=1,則方程的解集中只有一個元素1;若a≠1,則方程的解集中有兩個元素1,a.1.先解方程得到x的值,再根據(jù)元素的互異性進行檢驗.2.在解方程求得x的值后,常因忘記驗證集合中元素的互異性,而造成錯誤.【變式訓(xùn)練】

若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解為元素組成集合M,則M中元素的個數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4解析:方程x2-5x+6=0有兩個不同的解x1=2,x2=3,方程x2-x-2=0有兩個不同的解x3=-1,x4=2,其中2是兩個方程相同的解,在集合M中作為一個元素,故M中共有3個元素.答案:C隨

堂

練

習(xí)1.下列各選項中所述對象可以組成集合的是(

)A.相當大的數(shù)B.本班視力較好的學(xué)生C.平面內(nèi)到△ABC三個頂點距離相等的點D.有趣的游戲解析:A中“相當大”這個詞界限不確定,不明確哪些元素在該集合中,故選項A中的對象不能組成集合;同樣選項B,D中的對象也不能組成集合,故選C.答案:C2.設(shè)集合A中只含有一個元素a,則有(

)A.0∈A B.a?A

C.a∈A

D.a=A解析:∵集合A中只含有一個元素a,∴a屬于集合A,即a∈A.答案:C3.由x2,x3組成一個集合A,A中含有兩個元素,則實數(shù)x的取值可以是(

)A.0 B.-1 C.1

D.-1或1解析:驗證法:若x=0,則x2=0,x3=0,不合題意;若x=1,則x2=1,x3=1,不合題意;若x=-1,