新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章預(yù)備知識(shí)2常用邏輯用語(yǔ)2.2全稱量詞與存在量詞第2課時(shí)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定課件北師大版必修第一冊(cè)

2.2

全稱量詞與存在量詞第2課時(shí)

全稱量詞命題與存在量詞命題的否定自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定方法.正確掌握量詞的否定的各種形式.2.明確全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.3.通過(guò)對(duì)命題否定的學(xué)習(xí),體會(huì)常用邏輯用語(yǔ)在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用,提升交流的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性.

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、全稱量詞命題的否定【問(wèn)題思考】1.觀察下列命題:①所有矩形都是平行四邊形;②每一個(gè)數(shù)的平方都是正數(shù);③?x∈R,|x|≥0.(1)上述命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題?你能寫出它們的否定嗎?提示:它們都是全稱量詞命題.①的否定是“存在一個(gè)矩形不是平行四邊形”;②的否定是“存在一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)”;③的否定是“?x∈R,使|x|<0”.(2)以上三個(gè)命題的否定與原命題相比在形式上有什么變化?是否任意一個(gè)全稱量詞命題的否定都遵循此變化規(guī)律?你能概括出來(lái)嗎?提示:從命題形式看,這三個(gè)命題的否定都變成了存在量詞命題.任意一個(gè)全稱量詞命題的否定都遵循這種變化規(guī)律,即“?x∈M,p(x)成立”的否定為“?x∈M,使p(x)不成立”.2.全稱量詞命題的否定(1)語(yǔ)言描述一般地,要否定一個(gè)全稱量詞命題,只需要在給定集合中找到一個(gè)元素,使命題的結(jié)論不正確,即全稱量詞命題不成立.(2)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.對(duì)于全稱量詞命題p:?x∈M,x具有性質(zhì)p(x),通常把它的否定表示為?x∈M,x不具有性質(zhì)p(x).3.用自然語(yǔ)言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四邊形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”,也可以是“有些菱形不是平行四邊形”.4.命題“?x2>4,有x>2”的否定是(

)A.?x2>4,有x≤2 B.?x2≤4,有x≤2C.?x2>4,使x≤2 D.?x2≤4,使x≤2解析:所給命題“?x2>4,有x>2”是全稱量詞命題,它的否定是存在量詞命題,為“?x2>4,使x≤2”.答案:C二、存在量詞命題的否定【問(wèn)題思考】1.給出下列命題:①有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù);②某些平行四邊形是菱形;③?x∈R,x2+1<0.(1)上述命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題?你能寫出它們的否定嗎?提示:它們是存在量詞命題.其中①的否定是“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”,②的否定是“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”,③的否定是“?x∈R,x2+1≥0”.(2)以上三個(gè)命題的否定與原命題相比在形式上有什么變化?是否任意一個(gè)存在量詞命題的否定都遵循此變化規(guī)律?你能概括出來(lái)嗎?提示:這三個(gè)存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題,任意一個(gè)存在量詞命題的否定都遵循這種變化規(guī)律,即“?x∈M,使p(x)成立”的否定為“?x∈M,p(x)都不成立”.2.存在量詞命題的否定(1)語(yǔ)言描述一般地,要否定一個(gè)存在量詞命題,需要判定給定集合中每一個(gè)元素均不能使存在量詞命題的結(jié)論成立.(2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.對(duì)于存在量詞命題p:?x∈M,x具有性質(zhì)p(x),通常把它的否定表示為?x∈M,x不具有性質(zhì)p(x).(3)一些常見詞語(yǔ)的否定

3.命題:“有的四邊形是平行四邊形”的否定為

.答案:“所有的四邊形都不是平行四邊形”【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)全稱量詞命題的否定就是把結(jié)論否定.(

×

)(2)無(wú)論全稱量詞命題還是存在量詞命題,其否定和本身都是一真一假.(√

)(3)小于的否定是大于.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

全稱量詞命題的否定【例1】

寫出下列全稱量詞命題的否定:(1)任何一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊都平行;(2)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;(3)可以被5整除的整數(shù),末位是0.解:(1)原命題的否定是“存在一個(gè)平行四邊形,它的對(duì)邊不都平行”.(2)原命題的否定是“存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在”.(3)原命題的否定是“存在被5整除的整數(shù),末位不是0”.全稱量詞命題的否定的兩個(gè)關(guān)鍵(1)看格式:寫出全稱量詞命題的否定的關(guān)鍵是找出全稱量詞命題的全稱量詞和結(jié)論,把全稱量詞改為存在量詞,結(jié)論變?yōu)榉穸ǖ男问骄偷玫矫}的否定.(2)看含義:有些全稱量詞命題省略了量詞,在這種情況下,千萬(wàn)不要將否定寫成“是”或“不是”.【變式訓(xùn)練1】

寫出下列全稱量詞命題的否定:(1)p:所有自然數(shù)的平方都是正數(shù);(2)p:任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根.解:(1)原命題的否定是“有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)”.(2)原命題的否定是“存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根”.探究二

存在量詞命題的否定【例2】

寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其否定的真假.(1)有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù);(2)某些菱形是正方形;分析:先把存在量詞改為全稱量詞,然后把結(jié)論否定,推理或舉特例判斷命題的真假.解:(1)命題的否定是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的相反數(shù)是正數(shù)”,即“所有實(shí)數(shù)的相反數(shù)都不是正數(shù)”.它為假命題.(2)命題的否定是“沒(méi)有一個(gè)菱形是正方形”,即“每一個(gè)菱形都不是正方形”.由于鄰邊互相垂直的菱形是正方形,因此命題的否定是假命題.寫存在量詞命題的否定的方法:(1)將存在量詞改寫為全稱量詞.(2)將結(jié)論否定.【變式訓(xùn)練2】

命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù)”的否定是(

)A.任意一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方都不是有理數(shù)C.存在一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù)解析:根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,先將存在量詞改為全稱量詞,然后否定結(jié)論,故該命題的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方都不是有理數(shù)”.答案:B探究三

全稱(存在)量詞命題的否定的應(yīng)用【例3】

已知命題“對(duì)于任意x∈R,x2+x+a≥0”是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:由其否定是真命題→先求其否定→轉(zhuǎn)化為不等式求解解:全稱量詞命題“對(duì)于任意x∈R,x2+x+a≥0”的否定為“存在x∈R,x2+x+a<0”.因?yàn)樵}是假命題,所以其否定為真命題.函數(shù)y=x2+x+a的圖象是開口向上的拋物線,借助二次函數(shù)的圖象(圖略),易知,若存在x∈R,x2+x+a<0,則其對(duì)應(yīng)方程的判別式Δ=1-4a>0,1.本例中把條件“假命題”改為“真命題”,其余不變,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.本例中把條件“對(duì)于任意x∈R,x2+x+a≥0”改為“對(duì)任意x>0,x2+ax+1≥0”,其余不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析:由題意,命題的否定是“存在x>0,x2+ax+1<0”,為真命題.因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+ax+1的圖象是開口向上的拋物線,且過(guò)點(diǎn)(0,1),借助二次函數(shù)的圖象(圖略),故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2).答案:(-∞,-2)注意p與p的否定的真假性只能一真一假,解決問(wèn)題時(shí)可以正難則反,進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.【變式訓(xùn)練3】

由命題“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”是假命題,得m的取值范圍是(-∞,a),則實(shí)數(shù)a的值是

.

解析:命題“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”的否定為“?x∈R,有x2-2x+2-m>0”,且為真命題,即對(duì)?x∈R,有m<x2-2x+2.只需m<(x2-2x+2)min,又x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,則m<1,故a=1.答案:1易

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析對(duì)命題的否定理解不透徹致誤【典例】

寫出命題p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2-x-2<0”的否定.錯(cuò)解1

命題p的否定為“存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2-x-2≥0”.錯(cuò)解2

命題p的否定為“對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2<0”.錯(cuò)解3

命題p的否定為“?x?R,都有x2-x-2≥0”.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解1,只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定,而沒(méi)有將存在量詞改為全稱量詞.錯(cuò)解2,只將存在量詞改為全稱量詞,而沒(méi)有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.錯(cuò)解3,否定詞添加錯(cuò)誤.正解:對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2≥0.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題否定時(shí),不僅要否定結(jié)論,還要將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,存在量詞變?yōu)槿Q量詞.【變式訓(xùn)練】

寫出下列命題的否定.(1)所有的負(fù)數(shù)都小于零;(2)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x3+1=0.解:(1)命題的否定為“至少存在一個(gè)負(fù)數(shù)不小于零”.(2)命題的否定為“?x∈R,x3+1≠0”.隨

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練

習(xí)1.命題“某班所有的男生都愛踢足球”的否定是(

).A.某班所有的男生都不愛踢足球B.某班至多有一個(gè)男生愛踢足球C.某班所有女生都愛踢足球D.某班至少有一個(gè)男生不愛踢足球答案:D2.命題“?x>0,使x2-3x+2>0”的否定為(

)A.?x>0,x2-3x+2≤0B.?x≤0,x2-3x+2≤0C.?x>0,有x2-3x+2≤0D.?x≤0,有x2-3x+2≤0解析:該命題是一個(gè)存在量詞命題,它的否定為“?x>0,有x2-3x+2≤0”.答案:C3.(多選題)下列命題的否定為真命題的是(

).A.?x∈R,使x2+2x+2≤0B.任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓C.所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)D.?x∈R,有x2≥0解析:因?yàn)?/p>