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江西省贛州市南康三中、興國(guó)一中2024屆高考考前適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,則“”的一個(gè)充分不必要條件是A. B.C.且 D.或2.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)3.設(shè),滿足約束條件,若的最大值為,則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.1204.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.405.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.6.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.7.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成的角的正弦值為().A. B. C. D.8.在展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.2 C.3 D.79.年某省將實(shí)行“”的新高考模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.10.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.411.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.12.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為_____.14.如果函數(shù)(,且,)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________.15.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則的最大值為________.16.設(shè)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點(diǎn)..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)若時(shí),解不等式;(2)若關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),求兩交點(diǎn)間的距離.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,證明:當(dāng)時(shí),;(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn),求的值.22.(10分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故“且”是“”的充分不必要條件.選C.2、B【解題分析】
由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【題目詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.3、B【解題分析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),的最大值為,故.展開式的通項(xiàng)為:,取得到項(xiàng)的系數(shù)為:.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.4、B【解題分析】
,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【題目詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,是一道容易題.5、D【解題分析】
整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【題目詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.6、D【解題分析】
構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時(shí),則,;當(dāng)時(shí),,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時(shí),,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時(shí),由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.7、C【解題分析】
設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角,根據(jù)中位線定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【題目詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知,.作BC中點(diǎn)Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C【題目點(diǎn)撥】此題考查異面直線夾角,關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.8、D【解題分析】
求出展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng),問(wèn)題得解?!绢}目詳解】展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為:,,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。9、B【解題分析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.10、C【解題分析】
由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,即,又,即,運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解:因?yàn)?,所以,又,所以,又,解?故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】
根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點(diǎn),一條漸近線則點(diǎn)到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識(shí)記常用的結(jié)論:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【題目詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),即可得解.【題目詳解】的圓心為,關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為,則有:,解得,所以對(duì)稱后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】此題考查求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).14、18【解題分析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【題目詳解】解:①當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時(shí),,函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸為,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?則,整理得,又因?yàn)?則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.15、3【解題分析】
作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【題目詳解】作出可行域(如下圖陰影部分),聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】
求函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,作出函數(shù)的圖象,設(shè),若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),滿足或,利用一元二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,由得:,解得,由得:,解得,即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,同時(shí)也是最大值,(e),當(dāng),,當(dāng),,作出函數(shù)的圖象如圖,設(shè),由圖象知,當(dāng)或,方程有一個(gè)根,當(dāng)或時(shí),方程有2個(gè)根,當(dāng)時(shí),方程有3個(gè)根,則,等價(jià)為,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),滿足或,則,即(1)解得:,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解題分析】
(1)證明,得到平面,得到證明.(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【題目詳解】(1)因?yàn)樗倪呅问橇庑?,且,所以是等邊三角形,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,又因?yàn)?,,所以,又,,,所以,又,,所以平面,所以,又因?yàn)槭橇庑?,,所以,又,所以平面,所?(2)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為,,平面與平面所成銳二面角的余弦值.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18、(1)(2)【解題分析】
(1)零點(diǎn)分段法,分,,討論即可;(2)當(dāng)時(shí),原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為:存在,使不等式成立,即.【題目詳解】解:(1)若時(shí),,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,所以,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,所以,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,所以,綜上述:不等式的解集為;(2)當(dāng)時(shí),由得,即,故得,又由題意知:,即,故的范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查解絕對(duì)值不等式以及不等式能成立求參數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.19、(1)2;(2).【解題分析】
(1)化簡(jiǎn)得,所以,展開后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可轉(zhuǎn)化為,討論去絕對(duì)值即可求得的取值范圍.【題目詳解】(1)∵,,∴,∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí),.(2)由(1)知,,對(duì)任意,都有,∴,即.①當(dāng)時(shí),有,解得;②當(dāng),時(shí),有,解得;③當(dāng)時(shí),有,解得;綜上,,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用和求解含絕對(duì)值的不等式,考查學(xué)生的分類思想和計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)表示一條直線,是圓心為,半徑為的圓;(2).【解題分析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,進(jìn)而可判斷出曲線的形狀,在曲線的方程兩邊同時(shí)乘以得,由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,由此可判斷出曲線的形狀;(2)由直線過(guò)圓的圓心,可得出為圓的一條直徑,進(jìn)而可得出.【題目詳解】(1),則曲線的普通方程為,曲線表示一條直線;由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.所以,曲線是圓心為,半徑為的圓;(2)由(1)知,點(diǎn)在直線上,直線過(guò)圓的圓心.因此,是圓的直徑,.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)見(jiàn)解析;(2)【解題分析】
分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點(diǎn),等價(jià)研究的零點(diǎn),先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn),一個(gè)是a與零,一個(gè)是x與2,當(dāng)時(shí),,沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)時(shí),先減后增,從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件,再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性,即得a的值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于.設(shè)函數(shù),則.當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減.而,故當(dāng)時(shí),,即.(2)設(shè)函數(shù).在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)時(shí),,沒(méi)有零點(diǎn);(ii)當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.故是在的最小值.①若,即,在沒(méi)有零點(diǎn);②若,即,在只有一個(gè)零點(diǎn);③若,即,由于,所以在有一個(gè)零點(diǎn),由(1)知,當(dāng)時(shí),,所以.故在有一個(gè)零點(diǎn),因此在有兩個(gè)零點(diǎn).綜上,在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),.點(diǎn)睛:利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值
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