新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇專題4立體幾何第1講空間幾何體核心考點(diǎn)2空間幾何體的表面積與體積教師用書

核心考點(diǎn)2空間幾何體的表面積與體積核心知識·精歸納1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2.空間幾何體的體積公式V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)；V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．多維題組·明技法角度1：空間幾何體的表面積和側(cè)面積1.(2023·大觀區(qū)校級三模)陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑AB＝12cm，圓柱體部分的高BC＝6cm，圓錐體部分的高CD＝4cm，則這個陀螺的表面積(單位：cm2)是(C)A．(144＋12eq\r(13))π B．(144＋24eq\r(13))πC．(108＋12eq\r(13))π D．(108＋24eq\r(13))π【解析】由題意可得圓錐體的母線長為l＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，所以圓錐體的側(cè)面積為eq\f(1,2)·12π·2eq\r(13)＝12eq\r(13)π，圓柱體的側(cè)面積為12π×6＝72π，圓柱的底面面積為π×62＝36π，所以此陀螺的表面積為12eq\r(13)π＋72π＋36π＝(108＋12eq\r(13))π(cm2)．故選C.2.(2023·黃浦區(qū)校級三模)已知正方形ABCD的邊長是1，將△ABC沿對角線AC折到△AB′C的位置，使(折疊后)A、B′、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為1＋eq\f(\r(3),2).【解析】根據(jù)題意，正方形ABCD中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，在翻轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B′O⊥面ACD時，四棱錐B′－ACD的高最大，此時四棱錐B′－ACD的體積最大，若B′O⊥面ACD，由于OA＝OB′＝OC，則B′D＝B′A＝B′C＝1，則△DB′C△DB′A都是邊長為1的等邊三角形，S△DB′A＝S△DB′C＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，△ADC中，AD＝DC＝1且AD⊥DC，則S△ADC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，同理：S△AB′C＝S△ABC＝S△ADC＝eq\f(1,2)，此時，三棱錐的表面積S＝S△DB′A＋S△DB′C＋S△ADC＋S△AB′C＝1＋eq\f(\r(3),2).角度2：空間幾何體的體積3.(2023·福州模擬)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，則將菱形ABCD以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為(B)A．2π B．6πC．4eq\r(3)π D．8π【解析】根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體如圖，該幾何體上部分為圓錐，下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個與上部分相同的圓錐，其體積等于中間圓柱的體積，且中間圓柱的高h(yuǎn)＝DC＝2，底面圓的半徑r＝BCsin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故要求幾何體的體積V＝πr2h＝6π.故選B.4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則多面體A1C1－AEFC的體積為eq\f(5,3).【解析】多面體A1C1－AEFC的體積等于三棱柱ABC－A1B1C1的體積與三棱臺EBF－A1B1C1的體積之差，其中三棱柱ABC－A1B1C1的體積為eq\f(1,2)×2×2×2＝4，三棱臺EBF－A1B1C1的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×2×2＋\r(\f(1,2)×1×1×\f(1,2)×2×2)))×2×eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，所以多面體A1C1－AEFC的體積為4－eq\f(7,3)＝eq\f(5,3).方法技巧·精提煉1.求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)；(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積．2.求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)常見柱、錐、臺體等規(guī)則幾何體的體積公式計算；(2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積必等；(3)割補(bǔ)法：把不能直接計算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體．加固訓(xùn)練·促提高1.(2023·平羅縣校級模擬)已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖的圓心角為eq\f(2,3)π，則該圓錐的側(cè)面積為(C)A．π B．2πC．3π D．4π【解析】底面圓周長為2π，母線長為eq\f(2π,\f(2π,3))＝3，所以側(cè)面積為eq\f(1,2)×2π×3＝3π.故選C.2.(2023·普陀區(qū)校級模擬)如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AP＝AB＝4，則正四棱錐的體積為eq\f(32\r(2),3).【解析】連接AC與BD交于O，則O是正方形ABCD的中心，∴PO⊥平面ABCD，∵AB＝4，∴AO＝2eq\r(2)，∵PA＝4，∴PO＝eq\r(16－8)＝2eq\r(2)，∴正四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PO＝eq\f(1,3)×16×2eq\r(2)＝eq\f(32\r(2),3).故答案為eq\f(32\r(2),3).3.(2023·瓊山區(qū)四模)三棱錐A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB＝3，BD＝1，則該三棱錐體積的最大值為eq\f(2,3).【解析】如圖所示，因?yàn)锳C⊥平面BCD，即AC為三棱錐A－BCD的高，設(shè)為x，又因?yàn)锽C?平面BCD，所以AC⊥BC，在直角△ABC中，由AB＝3，AC＝x，可得BC＝eq\r(9－x2)，因?yàn)锽D⊥CD，且BD＝1，可得CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(8－x2)，所以三棱錐A－BCD的體積為V＝eq\f(1,3)S△BCD·AC＝eq\f(1,3)×