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甘肅省隴南市徽縣第二中學(xué)2024屆高三下期中考試(數(shù)學(xué)試題理)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A,與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B,過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.2.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.603.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能4.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為5.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,6.已知集合,,則為()A. B. C. D.7.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-59.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.10.直角坐標(biāo)系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點(diǎn),若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.11.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.連續(xù)擲兩次骰子,分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo),則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為______________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是直線:上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn).已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,則點(diǎn)的坐標(biāo)__________.15.如圖,在長方體中,,E,F(xiàn),G分別為的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi),若直線平面EFG,則線段長度的最小值是________________.16.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn);(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.(12分)如圖,在直角中,,,,點(diǎn)在線段上.(1)若,求的長;(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn),,且,求的值.19.(12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F(xiàn),G分別是棱AA1,AC和A1C1的中點(diǎn),以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)任意都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡;(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.22.(10分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在,求的值;若不存在,說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,是等差數(shù)列,__________,,,,是否存在正整數(shù),使得成立?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】
需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【題目詳解】如圖,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題2、D【解題分析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【題目詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題3、B【解題分析】
由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對(duì)稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【題目詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知,在上單調(diào)遞增,因?yàn)椋卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】
根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【題目詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題,屬于中檔題.5、D【解題分析】
由題意結(jié)合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn),求出,即可求得答案【題目詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過點(diǎn),,則故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用,在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件,計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果6、C【解題分析】
分別求解出集合的具體范圍,由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【題目詳解】因?yàn)榧?,,所以故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算,考查基本運(yùn)算能力.7、B【解題分析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.8、C【解題分析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【題目詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】
首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【題目詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】
根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到坐標(biāo)為,再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.【題目詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為,代入雙曲線得到故答案為:D.【題目點(diǎn)撥】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).11、C【解題分析】
討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【題目詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對(duì)于探究兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.12、C【解題分析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,列出滿足條件的結(jié)果有11種,利用古典概型即得解【題目詳解】由題意知,連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,而滿足條件的結(jié)果為:共有11種結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式,可得所求概率.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】
依題意畫圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】解:依題意畫圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對(duì)的圓周角,則,則為點(diǎn)到直線:的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線:上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
如圖,連接,證明平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)時(shí).線段的長度最小,再求此時(shí)的得解.【題目詳解】如圖,連接,因?yàn)镋,F(xiàn),G分別為AB,BC,的中點(diǎn),所以,平面,則平面.因?yàn)?,所以同理得平面,?所以平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.在中,,故當(dāng)時(shí).線段的長度最小,最小值為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,考查立體幾何中的軌跡問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、2【解題分析】
利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【題目詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)(3)【解題分析】
(1)若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【題目詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)(2)解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以(3)解:由題,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,則,所以方程(*)變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件:,即,得【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn)的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.18、(1)3;(2).【解題分析】
(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程組即可.【題目詳解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因?yàn)?,所以,解?在中,由余弦定理得,,即,,故.【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.19、(1).(2).【解題分析】
(1)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.(2)分別求得平面BFC1的一個(gè)法向量和平面BCC1的一個(gè)法向量,再利用面面角的向量方法求解.【題目詳解】規(guī)范解答(1)因?yàn)锳B=1,AA1=2,則F(0,0,0),A,C,B,E,所以=(-1,0,0),=記異面直線AC和BE所成角為α,則cosα=|cos〈〉|==,所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面BFC1的法向量為=(x1,y1,z1).因?yàn)椋?,=,則取x1=4,得平面BFC1的一個(gè)法向量為=(4,0,1).設(shè)平面BCC1的法向量為=(x2,y2,z2).因?yàn)椋?,?0,0,2),則取x2=得平面BCC1的一個(gè)法向量為=(,-1,0),所以cos〈〉==根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角,所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角,面面角的求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解題分析】
利用零點(diǎn)分區(qū)間法,去掉絕對(duì)值符號(hào)分組討論求并集,對(duì)恒成立,則,由三角不等式,得求解【題目詳解】解:當(dāng)時(shí),不等式即為,可得或或,解得或或,則原不等式的解集為若對(duì)任意、都有,即為,由,當(dāng)取得等號(hào),則,由,可得,則的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問
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