廣東省廣州市番禺區(qū)2024屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題周測(cè)三

廣東省廣州市番禺區(qū)2024屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題周測(cè)三注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．32．“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．為研究語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)兩科成績(jī)得到如圖所示的散點(diǎn)圖(兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同)，用回歸直線近似地刻畫(huà)其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為1.25B．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為0.83C．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為－0.87D．線性相關(guān)關(guān)系太弱，無(wú)研究?jī)r(jià)值5．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有四條對(duì)稱(chēng)軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個(gè)面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．7．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，則（）A． B． C． D．11．已知中，，則（）A．1 B． C． D．12．設(shè)是虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是九位評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_(kāi)______．14．若滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_________．15．已知非零向量的夾角為，且，則______.16．已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點(diǎn)，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）已知數(shù)列和滿足，，，，.（Ⅰ）求與；（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)，恒成立，求正整數(shù)的值.19．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：20．（12分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市，分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)外賣(mài)甲、外賣(mài)乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣(mài)甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣(mài)乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”，填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣(mài)甲外賣(mài)乙總計(jì)（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣(mài)甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)（單位：萬(wàn)件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問(wèn)題：①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記為外賣(mài)甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；②外賣(mài)甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣(mài)，搶紅包”的營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣(mài)訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平，現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)，若每按一件外賣(mài)訂單平均可獲純利潤(rùn)5元，但每件外賣(mài)平均需送出紅包2元，則外賣(mài)甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.21．（12分）設(shè)函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對(duì)的邊分別是，若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，且，求面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

畫(huà)出可行域,將化為,通過(guò)平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【題目詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題.一般第一步畫(huà)出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過(guò)平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫(huà)可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問(wèn)題.2、A【解題分析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的等價(jià)條件，得到，分析即得解.【題目詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，解得，故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”的充分不必要條件．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

由題先畫(huà)出基本圖形，結(jié)合向量加法和點(diǎn)乘運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，結(jié)合的范圍即可求解【題目詳解】如圖，其中，所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的線性運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題4、B【解題分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的特點(diǎn)可以看出，二者具有相關(guān)關(guān)系，且斜率小于1.【題目詳解】散點(diǎn)圖里變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且直線斜率小于1，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查散點(diǎn)圖的理解，側(cè)重考查讀圖識(shí)圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).5、C【解題分析】

①利用之間的代換判斷出對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【題目詳解】①：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；綜上可知：有四條對(duì)稱(chēng)軸，故正確；②：因?yàn)?，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，故錯(cuò)誤；③：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因?yàn)?，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱(chēng)性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲線的對(duì)稱(chēng)性，可通過(guò)替換方程中去分析證明.6、D【解題分析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示，將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三視圖的識(shí)別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí)，一般借助長(zhǎng)方體來(lái)實(shí)現(xiàn).7、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【題目詳解】為得到，將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），故可得；再將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故可得.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過(guò)題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來(lái)確定的取值范圍.【題目詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題.9、A【解題分析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】，，則，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

令，求出在的對(duì)稱(chēng)軸，由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【題目詳解】令，得，即對(duì)稱(chēng)軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對(duì)稱(chēng)軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.11、C【解題分析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【題目詳解】,,.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.12、D【解題分析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【題目詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設(shè)，此時(shí)復(fù)數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

寫(xiě)出莖葉圖對(duì)應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【題目詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個(gè)數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個(gè)數(shù)，平均分為，故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14、4【解題分析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.15、1【解題分析】

由已知條件得出,可得，解之可得答案.【題目詳解】向量的夾角為,且,,可得:,

可得,

解得，

故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解即可，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【題目詳解】由已知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求和的最小值問(wèn)題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析．（2）【解題分析】

（1）根據(jù)題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【題目詳解】（1）由由因?yàn)槭钦睦忮F，故于是，由余弦定理，在中，設(shè)再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖：則設(shè)面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）,；（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）易得為等比數(shù)列,再利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解的通項(xiàng)公式即可.（Ⅱ）由題可知要求的最小值,再分析的正負(fù)即可得隨的增大而增大再判定可知即可.【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)?故是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故.又當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),…①…②①-②有,即.當(dāng)時(shí)也滿足.故為常數(shù)列,所以.即.故,（Ⅱ）因?yàn)閷?duì),恒成立.故只需求的最小值即可.設(shè),則,又,又當(dāng)時(shí),時(shí).當(dāng)時(shí),因?yàn)?故.綜上可知.故隨著的增大而增大,故,故【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解通項(xiàng)公式的方法,同時(shí)也考查了根據(jù)數(shù)列的增減性判斷最值的問(wèn)題,需要根據(jù)題意求解的通項(xiàng),并根據(jù)二項(xiàng)式定理分析其正負(fù),從而得到最小項(xiàng).屬于難題.19、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）利用絕對(duì)值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【題目詳解】（1）由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以.法2：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查絕對(duì)值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析，有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).（2）①4.911②100萬(wàn)元.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個(gè)外賣(mài)平臺(tái)中月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.通過(guò)計(jì)算的觀測(cè)值，即可結(jié)合臨界值作出判斷.（2）①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值，根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由及求得，.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得，再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市有和兩組，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計(jì)算出開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)與不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)的利潤(rùn)，比較即可得解.【題目詳解】（1）對(duì)于外賣(mài)甲：月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為，對(duì)于外賣(mài)乙：月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖，業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣(mài)甲4060100外賣(mài)乙5248100總計(jì)92108200且的觀測(cè)值為，∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).（2）①樣本平均數(shù)，故==，，的數(shù)學(xué)期望，②由分層抽樣知，則100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個(gè)），每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個(gè)），若不開(kāi)展