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文檔簡介
2022年山東省臨沂市高考數(shù)學(xué)一模試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分)
1.設(shè)集合4={x|x>1},B={x\x<2},則AUB=()
A.0B.{x|l<x<2}
C.{x|x<1或久>2}D.R
2.已知z=(2-i)i,則z的虛部為()
A.-2iB.-2C.2D.2i
3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓,則該圓錐的體積為()
A.27rB.痘TCC.—7TD.3兀
3
4.設(shè)向量式=b=(x,9),若方〃方,則x=()
A.-3B.0C.3D.3或一3
5.二項(xiàng)式(24+》6的展開式中無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()
A.2B.3C.4D.5
22
6.已知圓C:(x-3)+(y-3)=產(chǎn),點(diǎn)40,2),8(2,0),則“R?>8?是“直線.
與圓C有公共點(diǎn)”的()
A,充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
7.公元五世紀(jì),數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率兀的值的范圍是:3.1415926<7T<
3.1415927,為紀(jì)念祖沖之在圓周率的成就,把3.1415926稱為“祖率”,這是中
國數(shù)學(xué)的偉大成就.某小學(xué)教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”,讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后
的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進(jìn)行隨機(jī)排列,整數(shù)部分3不變,那么可以得到大
于3.14的不同數(shù)字有()
A.2280B.2120C.1440D.720
8.已知Fi,尸2分別為雙曲線C:管一,=l(a>0/>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在第二象
限內(nèi),且滿足|aP|=a,(可+竊)?百下=0,線段FiP與雙曲線C交于點(diǎn)Q,若
因P|=3|FIQ|,則C的離心率為()
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分)
9.給出下列說法,其中正確的是()
A.若數(shù)據(jù)與,不,…,事的方差52為0,則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一
B.已知一組數(shù)據(jù)2,3,5,7,8,9,9,11,則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為6
C.一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的,則該組數(shù)據(jù)的平均
數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多
D.線性回歸直線J=匕丫+;恒過樣本點(diǎn)的中心GJ),且在回歸直線上的樣本點(diǎn)越
多,擬合效果越好
10.已知函數(shù)/'(%)=V3sin2tox+cos2a)x(a)>0)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為]的等差數(shù)列,
把f(x)的圖象沿x軸向右平移g個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖像,則()
A.g(x)在碎,自上單調(diào)遞增
B.C,o)是的一個(gè)對稱中心
C.g(x)是奇函數(shù)
D.g(x)在區(qū)間《片]上的值域?yàn)椋?,2]
o3
11.甲和乙兩個(gè)箱子中各有質(zhì)地均勻的9個(gè)球,其中甲箱中有4個(gè)紅球,2個(gè)白球,3個(gè)
黑球,乙箱中有4個(gè)紅球,3個(gè)白球,2個(gè)黑球,先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入到乙
箱中,分別以4,A2,久表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件,再
從乙箱中隨機(jī)取出一球,以B表示取出的球是紅球的事件,則()
A.8與4互相獨(dú)立B.At,A2,公兩兩互斥
C.P(B|%)=|D.P(B)=1
12.在平面四邊形4BCD中,△4BD的面積是△BCD面積的2倍,又?jǐn)?shù)列{即}滿足的=2,
當(dāng)7122時(shí),恒有赤=(即_1一2“-1)胡+(即+2')就,設(shè){即}的前律項(xiàng)和為無,
則()
A.{&J為等比數(shù)列B.{即}為遞減數(shù)列
n+1
C.饋}為等差數(shù)列D.Sn=(5-2n)2-10
三、填空題(本大題共4小題,共20.()分)
13.函數(shù)/(x)=x,n(-x),則曲線y=/(%)在刀=-e處的切線方程為.
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14.已知拋物線C:%2=2py的焦點(diǎn)為F,Q(2,3)為C內(nèi)的一點(diǎn),M為C上的任意一點(diǎn),
且|MQ|+的最小值為4,則「=;若直線,過點(diǎn)Q,與拋物線C交于4,B
兩點(diǎn),且Q為線段4B的中點(diǎn),則A40B的面積為.
15.已知正三棱臺(tái)ABC-AB'C'的上、下底面邊長分別為2和5,側(cè)棱長為3,則以下底
面的一個(gè)頂點(diǎn)為球心,半徑為2的球面與此正三棱臺(tái)的表面的交線長為.
16.已知函數(shù)f(x)=eXT-eir+x,則不等式f(2-*)+/(4-3x)W2的解集是
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分)
17.在①心c=asinC+ccos4,(2)sin(B+C)=V2-1+2sin2p(3)V2cos(^-A)=
s譏24這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,然后解答問題.
記△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,△4BC為面積為S,已知—.
⑴求4
(2)若S=6.b=3,求a.
18.2022年北京冬奧組委發(fā)布的百匕京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告
(2022)”顯示,北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè),冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間
較長的營銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相
關(guān)關(guān)系,某平臺(tái)對45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查,其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小
時(shí)的企業(yè)有20家,余下的企業(yè)中,每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占|,統(tǒng)計(jì)后得
到如下2x2列聯(lián)表:
銷售額不少于30萬
銷售額不足30萬元合計(jì)
元
線上銷售時(shí)間不少于8小
1720
時(shí)
線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)
合計(jì)45
(1)請完成上面的2x2列聯(lián)表,并依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為贊助企業(yè)
每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān);
(2)①按銷售額進(jìn)行分層抽樣,在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè),求銷售額不少于30
萬元和銷售額不足30萬元的企業(yè)數(shù);
②在①條件下,抽取銷售額不足30萬元的企業(yè)時(shí),設(shè)抽到每天線上銷售時(shí)間不少
于8小時(shí)的企業(yè)數(shù)是X,求X的分布列及期望值.
19.如圖,四棱錐P-4BCD的底面是正方形,E是棱PC的
中點(diǎn),F(xiàn)是棱PD上的點(diǎn),且4B,E,尸四點(diǎn)共面.
(1)求證:F為PD的中點(diǎn);
(2)若P4_L底面4BCD,二面角P-CD-A的大小為45。,
求直線AC與平面4BEF所成的角.
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20.已知數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和為無,%=1,4Sn=an+1an+1.
(1)求國"}的通項(xiàng)公式;
n
(2)若數(shù)列也}滿足anb710n+i=(-l)n,求{bn}的前2k項(xiàng)和GN*).
21.已知橢圓C:真+'=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F(xiàn)2,離心率為爭
直線x=四被C截得的線段長為2.
3
(1)求C的方程;
(2)若4和B為橢圓C上在x軸同側(cè)的兩點(diǎn),且麗=2甌,求四邊形面積的
最大值及此時(shí);I的值.
22.已知函數(shù)/'(x)=ex-2a石(a>0).
(1)若61=6,討論/'(X)的單調(diào)性:
(2)若X],g是函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),證明:1<%+必<2/na+m2.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:設(shè)集合4={x|x>1},B={x\x<2},
則4UB=R,
故選:D.
利用并集的定義即可求解.
本題考查了集合間的運(yùn)算關(guān)系,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】C
【解析】解:?.-z=(2-i)i=l+2i,
??.z的虛部為2.
故選:C.
根據(jù)已知條件,結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念,以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,即可求解.
本題考查了復(fù)數(shù)虛部的概念,以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,需要學(xué)生熟練掌握公式,
屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖以及圓錐的體積,屬基礎(chǔ)題.
通過圓錐的側(cè)面展開圖,求出圓錐的底面周長,然后求出底面半徑,進(jìn)而求出圓錐的高,
即可求出圓錐的體積.
【解答】
解:圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓,所以圓錐的底面周長為:2兀,
底面半徑為:1,圓錐的身為:V3>
圓錐的體積為:-7TXI2XV3=—7T.
33
故選c.
4.【答案】D
【解析】解:根據(jù)題意,向量Z=(l,x),石=(居9),
若五〃B,則有/=9,解可得x=3或—3,
故選:D.
根據(jù)題意,由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得關(guān)于x的方程,解可得答案.
本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,涉及向量的坐標(biāo),屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】B
【解析】解:根據(jù)題意,二項(xiàng)式(2立+》6展開式的通項(xiàng)Tr+iuzG-r.c/j?,
分析可得:當(dāng)r=0、2、4、6時(shí),7;+1為有理項(xiàng),
即有4個(gè)有理項(xiàng),而展開式共有7項(xiàng),
故二項(xiàng)式(2?+*6的展開式中無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3.
故選:B.
根據(jù)題意,求出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng),分析其項(xiàng)為有理項(xiàng)時(shí)r的值,即可得答案.
本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是掌握有理項(xiàng)的定義以及二項(xiàng)式定理的內(nèi)容.
6.【答案】A
【解析】解:???點(diǎn)4(2,0),8(0,2),
二直線方程為即
y=0—2+2,x+y—2=0,
則C(3,3)到直線28的距離d=回會(huì)=2V2,
???直線力B與圓C有公共點(diǎn)oR2>d2^>R2>8,
則R2>8是直線4B與圓C有公共點(diǎn)的充分不必要條件,
故選:A.
求出直線AB的方程,求出圓心到直線4B的距離,再求出直線AB與圓C有公共點(diǎn)的充分
必要條件即可.
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本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離公式,充分必要條件的判斷,屬于
中檔題.
7.【答案】A
【解析】解:由于數(shù)字1,4,1,5,9,2,6中有2個(gè)相同的數(shù)字1,
故進(jìn)行隨機(jī)排列可以得到的不同情況有冬217種,
而只有小數(shù)點(diǎn)前兩位為11,12時(shí),排列后得到的數(shù)字不大于3.14,
故小于3.14的不同情況有2篦種,
故得到的數(shù)字大于3.14的不同情況有4-2父=2280種.
A2
故選:A.
根據(jù)條件得到總共有常A7中,小于3.14的不同情況有2延種,則大于3.14的不同情況有A累7-
2福=2280種.
本題考查學(xué)生推理論證能力、數(shù)的排列組合,運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是
基礎(chǔ)題.
8.【答案】C
【解析】解:取線段FiP的中點(diǎn)E,連接尸2后,
因?yàn)椋?+百瓦)?哥=0,
所以F2EIF/,
所以2&F2P是等腰三角形,且|F2Pl=I&F2I=2c,
在RtgEFz中,cos"&E=^=!=?
連接FzQ,又|FiQ|=;,點(diǎn)Q在雙曲線C上,
由IF2QLI&QI=2a,則|尸2(?|=叫,
1&殳/+舊<?/一附(?]2=(2。2+(款-(如2=a_
△FlQ尸2中,C0SNF2&Q
2|FiF2l|fi<?l-2X2CX1-4^)
整理得12c2=17a2,
所以離心率e=£=亙,
a6
故選:C.
取尸1P的中點(diǎn)E,由已知得F2EI&P,由三線合一得△&F2P是等腰三角形,表示出各邊
長,再由余弦定理表示C0S4F2&E,再由雙曲線的定義表示|FzQ|,在△&QF2中由余弦
定理列式,得關(guān)于a,c的等式關(guān)系,即可求得離心率.
本題考查了雙曲線的離心率問題,屬于中檔題.
9.【答案】AC
【解析】解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):
對于4,若數(shù)據(jù)X1,尤2,…,尤n的方差S2為0,則數(shù)據(jù)%,上,…,X"的值全部相等,此
時(shí)組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一,A正確;
對于B,該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為7,B錯(cuò)誤;
對于C,一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的,C正確;
對于D,回歸直線J=bx+a恒過樣本點(diǎn)的中心(京亍),分析回歸直線的擬合效果,需要
分析數(shù)據(jù)的殘差平方和,。錯(cuò)誤;
故選:AC.
根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)是否正確,即可得答案.
本題考查命題真假的判斷,涉及樣本的數(shù)據(jù)分析,屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】AB
【解析】解:因?yàn)?'(x)=V5sin23X+cos23x(a?>0),
所以/'(x)=2(ysin2a)x+1cos2a)x')=2sin(2a)x+凱
因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=V3sin2ajx+cos2a)x(a)>0)的零點(diǎn)依次構(gòu)成一個(gè)公差為]的等差數(shù)列,
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???;?/=,二3=1,所以/(x)=2sin(2x+》把函數(shù)的圖象沿%軸向右平移g個(gè)
/Zvt)N。-5
單位,
得9(x)=2sin[2(x-^)+^]=2sin(2x-^)=-2cos2x,即g(x)=—2cos2x,所以g(x)
是偶函數(shù),故C錯(cuò)誤;
對于4:當(dāng)勺時(shí)2xeg,兀],因?yàn)閥=cosx在/兀]上單調(diào)遞減,所以g(x)在[盟]
上單調(diào)遞增,故A正確;
對于B:g?)=-2cos(2x》=-2cos:=0,故?,0)是g。)的一個(gè)對稱中心,故8正
確;
對于D:因?yàn)閄W碌,學(xué),所以2xeg,g],所以COS2X6[―19,所以g(x)6[-l,2],
故。錯(cuò)誤;
故選:AB.
首先利用輔助角公式將函數(shù)化簡,再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)依次構(gòu)成一個(gè)公差為5的等差數(shù)列,
即可得到函數(shù)的最小正周期,從而求出3,再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到g(x)的解析
式,最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
11.【答案】BC
【解析】解:事件4的發(fā)生與事件B的發(fā)生有影響,因此事件&的發(fā)生與事件B不獨(dú)立,
4錯(cuò);
A2,久中任何兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生,因此它們兩兩互斥,B正確;
24
「(8|4)=黑芋=苧=|,C正確;
P(B)=P(B4)+P(B&)+P(B&)=gx卷+1x裔+gx喜=£。錯(cuò).
故選:BC.
根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷4,根據(jù)互斥事件的定義判斷B,由條件概率公式計(jì)算出概率
判斷C,由互斥事件與獨(dú)立事件概率公式計(jì)算概率判斷D.
本題考查互斥事件和條件概率,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
12.【答案】BCD
【解析】解:如圖,連接80交4C于點(diǎn)E,
由△ABC的面積是^ACD面積的2倍,
得4E=2EC,即荏=2點(diǎn),
設(shè)前=ABE=A(BC+CF)=A(BC-^AC)=A[BC-
nn
vBD=(an_x-2-^BA+(an+2);
n-1n
???fln-1-2=I,an+2=y,
nn1
an+2=2(an_1-2-),
n
0n=2an_r—2x2,
?—即-i_n
,?2n-271T乙'
v%=2,
吟=1,
二{器是以1為首項(xiàng),-2為公差的等差數(shù)列,
=1-2(n-1)=-2n+3,
則即=(―2凡+3”2”,故4不正確,C正確;
n+1nn
■:an+1-an=(-2n+1)-2-(-2n+3)-2=-(2n+1)-2<0恒成立,
即0n+i〈冊,則數(shù)列{心}為遞減列,故B正確;
Sn=1?2—1?一3?3,+…+(—2/1+3),2",
n+1
2Sn=1?22-2?23-3?34+…+(-2n+3)?2,
-S=2-2(22+23+24+…+2n)-(-2n+3)-2n+1=2-2x-
n1—2
(-2n+3)-2n+1=10-(5-2n)2n+1,
n+1
Sn=(5-2n)2-10.
故選:BCD.
連接BD交4C于點(diǎn)E,由三角形的面積公式,推得4E=2EC,根據(jù)向量的加減的幾何意
義可得設(shè)麗=?而+;羽,即可得到{簾是以1為首項(xiàng),-2為公差的等差數(shù)列,再由
33N
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得即,判斷單調(diào)性和運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和,即可判斷正確結(jié)論.
本題為數(shù)列與向量綜合的問題,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,
第12頁,共21頁
以及錯(cuò)位相減法求和,向量的共線定理和向量的加減運(yùn)算,考查化簡運(yùn)算能力和推理能
力,屬于中檔題.
13.【答案】y=2x+e
【解析】解:求導(dǎo)函數(shù)可得f'(x)=ln(—x)+l,
當(dāng)x=-e時(shí),/'(—e)=Ine+1=2,
V/(-e)=-elne=-e,二切點(diǎn)為(一e,-e),
二曲線y=/(x)在%=-e處的切線方程是y+e=2(x+e),即y=2x+e.
故答案為:y=2x+e.
求導(dǎo)函數(shù),確定切線的斜率與切點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到切線方程.
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
14.【答案】22V2
【解析】解:如圖,過M作MM1垂直準(zhǔn)線于Mi,
由拋物線定義可知|MF|=
所以|MQ|+\MF\=\MQ\+\MMr\,
過Q作QQ1垂直準(zhǔn)線于“,交拋物線于P,
所以|MQ|+|MM/N|PQ|+|PQi|,
所以當(dāng)M在P處時(shí),\MQ\+\MMX\=\PQ\+|PQi|=|QQJ最小,
此時(shí)IQQil=3+9=4,解得:p=2.
所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2=4y.
設(shè)4(%,y)B(x2,y2),
則有博=:乃,兩式相減得:優(yōu)—據(jù)=4yi-4y2,
3=4y2
即(討+x2')(x1-x2)=4(乃一y2)-
因?yàn)镼(2,3)為線段4B的中點(diǎn),所以/+%2=4,
所以直線的斜率為k=4=空=1,
所以直線48的方程為:y-3=lx(x-2),
即y=x4-1,
由4(%i,yi),8(%2,丫2)符合,二?r消去y得:%2-4%-4=0,
所以%1+超=%%t%2=—4,
22
所以弦長=Vl+k,\xr—x2\=V1+k-J(%i+&)2—4%62=V2?
A/16+16=8,
而。到直線AB的距離為d=海鼻=4,
所以S“BO=加8|?d=?x8x曰=2應(yīng).
故答案為:2;2A/2.
過M作MM1垂直準(zhǔn)線于Mi,過Q作QQi垂直準(zhǔn)線于Qi,交拋物線于P,利用幾何法判斷
出當(dāng)M在P處時(shí),|MQ|+|MMi|=|PQ|+|PQi|=IQQJ最小,求出p=2;
利用“點(diǎn)差法”求出直線4B的斜率,求出方程,利用“設(shè)而不求法”求出弦長,利用
點(diǎn)到直線的距離公式求出高,即可求出面積.
本題考查了拋物線的定義和幾何性質(zhì)以及三角形的面積問題,屬于中檔題.
15.【答案】2兀
【解析】解:過B作BD1A'B',???AB=2,
A'B1=5,
DB'=—=
22
???側(cè)棱長為BB'=3,
/-DB'B=p即=AAA'C=
/.C'A'B'=p
則半徑為2的球面與此正三棱臺(tái)的表面的交線長3x^x2=2兀,
故答案為:27T.
根據(jù)正三棱臺(tái)的性質(zhì)求出乙4A'B=^AA'C=AC'A'B'=p然后利用弧長公式求出弧長
第14頁,共21頁
即可.
本題主要考查正三棱臺(tái)的性質(zhì)以及弧長公式的計(jì)算,根據(jù)條件求出三個(gè)球心角是解決本
題的關(guān)鍵,是中檔題.
16.【答案】[1,+8)
【解析】解:根據(jù)題意,設(shè)g(x)=/(x)-1=e*T—e-x+x—1,
則g(x+1)=e*—e~x+x,
設(shè)/i(x)=e*—e-工+x,其定義域?yàn)镽,x)=e~x—ex—x=—?jiǎng)t九(x)為奇
函數(shù),
則g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,則有g(shù)(2-x)=-g(x),
易得h(x)在R上為增函數(shù),則g(x)在R上為增函數(shù),
不等式f(2-x)+f(4-3%)<2,變形可得/(2-x)-l+/(4-3x)-l<0,即g(2-
x)+g(4-3x)<0,
變形可得g(4-3x)<g(x),則有4-3x<%,解可得x>1,即不等式的解集為[1,+8);
故答案為:[1,4-00).
根據(jù)題意,設(shè)g(x)=/(X)-1=e*T-Y-1,再設(shè)八(x)=e*-+x,分析
可得九(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),由此可得g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱且在R上為增函數(shù),
由此分析,原不等式等價(jià)于g(4—3x)4g(x),則有4一3x4x,解可得答案.
本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)的對稱性和圖象的變換,屬于中檔
題.
17.【答案】解:(1)若選①,由正弦定理可得V^sinC=sinAsinC+sinCcosA,
因?yàn)?<C<兀,所以sinC豐0,
則魚=sinA+cosA=\/2sin(>4+1)=sin(4+^)=1,
0<A<n,于是4=7,
若選②,由題意,sin(7T—A)=y/2—cosA=sinA+cosA=V2?
則拒sinQ4+-)=V2=>sin(4+-)=1,
44
而0<A<7T,于是4=4
若選③,由題意,立sinA=2sinAcosA,
因?yàn)?<4<n,所以Sina*0,
則cos4=—=>A=--
24
(2)由題意,S=gbcsinA=|cx浮=6=c=4魚,
由余弦定理cosA-9+32-3=避=°=717.
2X3X4V22
【解析】(1)若選①,先用正弦定理進(jìn)行邊化角,進(jìn)而結(jié)合輔助角公式求得答案;若選②,
先通過誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡,進(jìn)而通過輔助角公式求得答案;若選③,先通過
誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡,進(jìn)而求得答案;
(2)先通過三角形的面積公式求出c,進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得答案.
本題考查了正余弦定理,三角形的面積計(jì)算等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
18.【答案】解:(1)???每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家,
二每天線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)的企業(yè)有45-20=25家,其中每天銷售額不足30萬元的
企業(yè)有25x|=15家,
故2x2列聯(lián)表如下:
銷售額不少于30萬
銷售額不足30萬元合計(jì)
元
線上銷售時(shí)間不少
17320
于8小時(shí)
線上銷售時(shí)間不足8
101525
小時(shí)
合計(jì)271845
..長2_45X(17X15-10X3)2
=9.375>6.635,
27X18X20X25
???依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān).
(2)①銷售額不少于30萬元的企業(yè)數(shù):27X黃=3,
銷售額不足30萬元的企業(yè)數(shù):18><卷=2.
45
②由題意可得,X所有可能取值為0,1,2,
P(X=0)=需=||,23=1)=嬖=協(xié)P(X=2)=言=聯(lián),
G18G188G1801
故X的分布列為:
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X012
35151
p
515151
故E(X)=Ox||+lx菖+2x5*.
【解析】(1)根據(jù)已知條件,結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式,即可求解.
(2)①結(jié)合分層抽樣的定義,即可求解.
②由題意可得,X所有可能取值為0,1,2,分別求出對應(yīng)的概率,即可得X的分布列,
并結(jié)合期望公式,即可求解.
本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列,需要學(xué)生熟練掌握期望公式,屬于中檔題.
19.【答案】(1)證明:依題意4B〃CD,???CDu平面PCD,48C平面PCD,二48〃平面
PCD,
又ABu平面ABEF,平面4BEFn平面PCD=EF,.-.AB//EF,EF//CD,
雙?:PE=EC,:.PF=FD,即尸是PD的中點(diǎn);
(2)解:???P4"L底面4BCD,CDcz^ABCD,PAICD,又CD_LAD,APQAD=A,
C。_L平面PAO,又P。u平面P4。,PDLCD,
???乙4DP為二面角P-CD-A的平面角,???Z.ADP=45°,:.PA=AD,
設(shè)力。=2,如圖以4B,AD,4P所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(,0.0,2),F(0,1,1),
依題意前=(2,2,0),AF=(0,1,1).荏=(2,0,0),
設(shè)平面4BEF的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),
則g.亞=0,即令z=i,則x=o,y=-i.
???平面A8EF的一個(gè)法向量為元=(0,—1,1),
設(shè)直線4c與平面ABEF所成角為公
sin0=1Icos<n,Z?>1I=⑶
|Fn|-|4C|?y/2%2yf22'
直線力C與平面力BEF所成的角為土
6
【解析】(1)/8〃平面PCD,可得E/7/CD,從而可得尸是P0的中點(diǎn);
(2)如圖以48,AD,ZP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,求平面ABE尸的一個(gè)法
向量,直線AC的方向向量,利用向量法可求直線AC與平面4BEF所成的角.
本題考查線面平行的性質(zhì),以及線面角的求法,屬中檔題.
20.【答案】解:(1)由4Sn=an+iQn+1???①,
當(dāng)九=1時(shí),4sl=a2al+1,
??,%=1,
代入計(jì)算可得。2=3,
當(dāng)九N2時(shí),4Sn_-£=CLn^n-l+1…C?),
①一②得:4an=un(ttyi+i—%一1),
,*eW0,
???an+l—an-l=4,
.??{。2"是以。2為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,nWN”,
{。2“1}是以的為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,ne/V\
由此可得:Q2Tl=3+4(12—1)—4九一1=2x2TL—1,
a2n-i=1+4(n—l)=4n—3=2x(2n—1)—1,
???瑪=2n—l,nEN*;
由已知有:
(2)叫"黑了neN*,
'bn—(白一懸),nGN*,
故前2/c項(xiàng)的和72K=b1+b2+-b2k,
1/11、21、!2/cx11x
1.3151,
--+-X-------X-+??
22325+i2^x_4k_-l_4k—+lf
k
4k+l
k
???T2K=4k+l
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【解析】本題首先由遞推關(guān)系求通項(xiàng),首先應(yīng)討論n=l,和nN2的時(shí)候,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)即
需分奇偶求出通項(xiàng)公式之后,觀察發(fā)現(xiàn)奇偶項(xiàng)可進(jìn)行合并,從而得到即的通項(xiàng)公式,其
次(2)問求和利用裂項(xiàng)相消直接求和即可.
本題主要考查遞推關(guān)系求通項(xiàng)及裂項(xiàng)相消求和,屬于數(shù)列中的中檔題目.
21.【答案】解:⑴由題意得,離心率e=£=小一\=爭所以a=同,
當(dāng)x=應(yīng)時(shí),有展+^-=1,解得y=土一|,
因?yàn)橹本€x=a被C截得的線段長為2,
3
(2)由(1)知,&(一夜,0),F2(V2,0),
延長交橢圓C于點(diǎn)D,
因?yàn)辂?,甌,所以4F2〃BD,且;1=3非,
由橢圓的對稱性知,MF21=|啖|,
設(shè)直線NF2與BD之間的距離為d,
則四邊形AB&F2面積S=1|4尸2|+|B&|)-d=+|BFi|)-d=1\BD\-d=
SWDFZ=」尸1尸21,WB一%1-2V2-\yB-yD\=V2-\yB-yD\'
設(shè)直線BD的方程為X=ty-<2,
xty—,向*i
聯(lián)立21'得(廿+3)y2-2&ty-1=0,則丫8+丫。=記?如、。=一再?
--kv=1-十3。十3
3J
所以1犯-yo\=/伍+打)2-4如打=J(罷)2_4x(-帚)=羽需亙,
所以S=夜.|丫8_yD\=
令m=則,二衣^短士『宸="3,當(dāng)且僅當(dāng)m=導(dǎo)即巾=企,
£=±1時(shí),等號(hào)成立,
所以四邊形4BF1F2面積的最大值為舊,
不妨取t=
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