北京市海淀區(qū)2021屆高三模擬試題（一）(無(wú)答案)

2021年北京市海淀區(qū)高三模擬試卷（一）

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x+涼g},B={x|xa}.若則實(shí)數(shù)a的值可以為（）

A.2B.lC.OD.-2

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+e）上不是單調(diào)函數(shù)的是（）

A.y=xB.y=x2

C.y=x+VxD.y=|x—1|

3.已知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為5“.若§3=%,且%*0,貝（）

33

A.1B.—C.—D.3

33

4.不等式,>1成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

x

A.0<x<—B.x>1

2

C.0<x<lD.x<0

3

5.如圖，角。以。;為始邊，它的終邊與單位同。相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為一，則

5

sine+aj的值為（）

6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的

體積為（）

A.-7TB.-7TC.2.7TD.21^萬(wàn)

33

3而

7.在四邊形ABCD中，48//8,無(wú)心=；1而+〃4。(；1,〃€尺).者4+〃=一，則=

2AB

()

11

A.-B.-C.lD.2

32一

8.已知函數(shù)/（力=1+/一2N一女.若存在實(shí)數(shù)%,使得/（-%）=—/（%）成立，則實(shí)數(shù)

上的取值范圍是（）

A.[-1,+8）B.（-oo,-1]

C.[o,+8）D.（-<50,0]

9.一個(gè)盒中裝有大小相同的2個(gè)黑球，2個(gè)白球，從中任取一球，若是白球則取出來(lái)，若是

黑球則放回盒中，直到把白球全部取出，則在此過(guò)程中恰有兩次取到黑球的概率為（）

3737

A.---B.—

21672

22

C.-D.—

927

*/八門(mén)Je4,給出下列三個(gè)結(jié)論：

10.設(shè)集合A是集合N*的子集，對(duì)于ieN,定義？（A）=八.，

7[0,zgA

①存在N*的兩個(gè)不同子集AB，使得任意i€N”都滿足R（AcB）=0且“（Au3）=1；

②任取N*的兩個(gè)不同子集AB,對(duì)任意ieN*都有R（Ac8）=q（A）?例（8）；

③任取N*的兩個(gè)不同子集A8,對(duì)任意ieN*都有9（4。8）=g（A）+例（8）.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（)

A.①②B.②③C.①③D.①②③

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中的械線上.

11.已知向量a=（1,2）,B=（3,。,且a//瓦貝V=.

12.函數(shù)/（x）=x—&-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,從A,B,C,。四點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作為向量B的始

點(diǎn)和終點(diǎn)，則￡石的最大值為.

14.已知數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式為an=In〃.若存在p&R,使得an?pn對(duì)任意的〃6N*都成

立，則P的取值范圍為.

15.已知函數(shù)/（》）="d!1的，8（刀）="：055,其中0＞（）,A,5,C是這兩個(gè)函數(shù)圖像

的交點(diǎn)，且不共線.

①當(dāng)。=1時(shí)，口48。面積的最小值為.

②若存在口43。是等腰直角三角形，則co的最小值為.

三、解答題：本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

在①q=3,4=邑，②%=仇，%=4-4，③4=4一2,生=5一3這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的；I存在，求2的最小值；若幾不存在，說(shuō)明理由.

設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，S,是數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和，且,

1

b3=8,bn=22T(幾.2,"eN")?記%T?為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，是否存在

《Jogzd

實(shí)數(shù)4,使得對(duì)任意的〃eN*都有《<4？

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.(本小題滿分14分)

如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為菱形，ZABC=60°,PB=PC,E為線段

8c的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段24上的一點(diǎn).

(1)證明：平面R4EL平面3CP；

(2)若必=/=^3，二面角A—B。一R的余弦值為，求尸。與平面3OF所成角

的正弦值.

18.(本小題滿分14分)

根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某河流水位X(單位：米)的頻率分布直方圖如下.

將河流水位在[20,22),[22,24),[24,26),[26,28),[28,30),[30,32),[32,34]段內(nèi)的頻率作為

相應(yīng)段的概率，并假設(shè)每年河流水位變化互不影響.

（1）求未來(lái)4年中，至少有2年河流水位Xe[26,30）的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）：

（2）已知該河流對(duì)沿河A工廠的影響如下：當(dāng)X520,26）時(shí)，不會(huì)造成影響；當(dāng)xe[26,30）

時(shí)，損失50000元；當(dāng)Xe[30,34]時(shí)，損失300000元，為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案：

方案一：不采取措施；

方案二：防御不超過(guò)30米的水位，需要工程費(fèi)用8000元；

方案三：防御34米的最高水位，需要工程費(fèi)用20000元.

試問(wèn)哪種方案更好，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，E（l,0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線4過(guò)點(diǎn)廠與橢圓C交于A3兩

—,—.1

點(diǎn)，當(dāng)直線4,x軸時(shí)，OAOB=~.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為P,的延長(zhǎng)線分別交直線4：x=2于兩點(diǎn)，證明：

以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

20.（本小題滿分15分）

InY

己知函數(shù)/（x）=丁.

（1）判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,1）上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

（2）求證：/（x）＜1.

21.（本小題滿分14分）

已知集合MqN*,且M中的元素個(gè)數(shù)〃大于等于5.若集合M中存在四個(gè)不同的元素

a,b,c,d,使得a+b=c+d,則稱(chēng)集合M是“關(guān)聯(lián)的”，并稱(chēng)集合｛a,b,c,d｝是集合M的“關(guān)

聯(lián)子集“；若集合M不存在“關(guān)聯(lián)子集”，則稱(chēng)集合M是“獨(dú)立的

（1）分別判斷集合｛2,4,6,8,10｝與｛1,2,3,5,8｝是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨(dú)立的”？若是“關(guān)

聯(lián)的“，寫(xiě)出其所有的“關(guān)聯(lián)子集”；

（2）已知集合知=｛《,。2,6,%，%｝是“關(guān)聯(lián)的且任取集合｛《嗎七加，總存在M的

“關(guān)聯(lián)子集”A，使得｛44｝=A.若"<々</<。4<。5,求證：4，。2，。3，。4，。5是等差數(shù)

列；

（3）若集合M是“獨(dú)立的“，求證：存在xwM,使得X〉心七9.

12345678910

DDCABBBAAA

LD【解析】本題考查集合的并集運(yùn)算.由題意得，集合A=｛x|%,-1｝,若ADB=R，則

”，—1,結(jié)合各選項(xiàng)知。的值可以為-2,故選D.

【方法點(diǎn)撥】無(wú)限數(shù)集的運(yùn)算可借助數(shù)軸直觀求解.

2.D【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)^=乂丁=/?=》+?在（0,+8）上都是增函數(shù),

故選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤；函數(shù)y=|x-l|在（0,1）上單調(diào)遞減，（L+"）上單調(diào)遞增，故選D.

【規(guī)律總結(jié)】判斷函數(shù)的單調(diào)性可利用圖象，或根據(jù)定義作出結(jié)論

3.C【解析】本題考查等差數(shù)列.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4,

,,/、例+6J-Sa,8

H

vS3=a3,.-.3tz,+3d=a1+2d,即d=-24（40）,則寸~=不，故

選c.

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式得出數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)與公差的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

4.A【解析】本題考查不等式的解法、充分條件與必要條件的判斷，不等式,>1O0<x<1

X

則0<x<，是!〉1成立的一個(gè)充分不必要條件，故選A.

2x

【舉一反三】小范圍可以推出大范圍，大范圍不能推出小范圍，小范圍是大范圍的充分不必

要條件.

3

5.B【解析】本題考在三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式.由題意可得cos。='，

sin|—+?=cosa=-,故選B.

（2J5

【方法點(diǎn)撥】誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“奇變偶不變，符號(hào)看象限

6.B【解析】本題考查三視圖、空間幾何體的體積.該幾何體由兩個(gè)圓錐拼接而成，圓錐的底

面半徑為1,高為2,所以該幾何體的體積為V=2xgx（乃xf）x2=?.故選B.

【方法總結(jié)】對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體，在畫(huà)其三視圖時(shí)首先應(yīng)清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組

成的，然后再畫(huà)其三視圖.由三視圖還原幾何體的直觀圖時(shí)，要遵循以下三步：（1）看視圖，

明關(guān)系；（2）分部分，想整體；（3）綜合起來(lái)，定整體.

7.B【解析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算.如圖，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE//AD，交AB于點(diǎn)E,

?.?A8//C￡>,CE//AZ）,邊形AEC。是平行四邊形，則定=屈+而，又

_._,_,—?—?31—?1—?

AC=2AB+JLIAD,:l,AE-2+—即AE=—AB,則

\CD\\AE\1痂，毋R

___=___=—,故選B.

|AB||AB|2

靈活運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則是解題的關(guān)鍵.

8.A【解析】本題考查函數(shù)與方程.由題意可得一片+芯—2koi一女=一（片+君一2聞一女），

整理得各片-2聞=3則原題化為函數(shù)>=_?一2|乂與函數(shù)y=Z的圖象有交點(diǎn)，作出函

數(shù)y=f-2|x|的圖象如圖所示,則左...一1,故選A.

【核心素養(yǎng)】本題要求考生抓住函數(shù)與方程問(wèn)題的本質(zhì)，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了直

觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

9.A【解析】本題考查獨(dú)立事件概率的求法、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用要滿足題意，共有三種取法：

22212

（白黑黑白），（黑白黑白），（黑黑白白），其中（白黑黑白）的取法概率為=力，（黑

2221122211

黑白白）的取法概率為一X-X-X-=—,（黑白黑白）的取法概率為一x-x-x-=—,綜

444324443318

上概率2為1三1=±37±故選A.

272418216

【方法技巧］涉及獨(dú)立事件的概率求解問(wèn)題，有效地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理分類(lèi)來(lái)處理是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

10.A【解析】?.?對(duì)于ieN*,定義爾A）=<

???對(duì)于①，例如集合人={正奇數(shù)},A={正偶數(shù)},...An8=0,AUB=N*,

.?.0,.（AnB）=O；g（AUB）=l,故①正確；對(duì)于②，若0（4。3）=0,則i￡（An8）,

則ieA且z，仁8,或ieB且i定A,或ieA且i任8；「書(shū)（A）夕.（8）=0；若

^.（AAB）=1,則i?Ar|B）,則ieA且ieB；，外（A）?%（5）=1；.?.任取N*的兩

個(gè)不同子集AB,對(duì)任意MN*都有例（An6）=0（A）@（8）；正確，故②正確；對(duì)于③，

若4={1,2,3}乃={2,3,4}408={1,2,3,4},當(dāng)i=2時(shí)，例（A|JB）=1；

0（A）=1,0（B）=1；.,.0（AU6）w/（A）+0（g）；故③錯(cuò)誤；故選：A.

11.6【解析】本題考查向量共線的充要條件.由題意可得f=2x3=6

【易錯(cuò)提示】本題容易將向量共線的坐標(biāo)表示與向量垂直的坐標(biāo)表示混淆，若

。=（玉，>］）,0=（%2，）2），則。//力<=>%%=x2yx,a±Z?ox1x2+=0

12.1【解析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn).令f（x）=0,則x—?—6=0,令/=0），則

/t一6=0,解得：f=3(舍負(fù))，即J7=3,:.X=9,即函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【方法點(diǎn)撥】確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法有方程和數(shù)形結(jié)合.

13.3【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積.由題知。為=|a|?|"|cos〈a,力=|Z?|cos〈a,?,由

圖易知，當(dāng)匕=而時(shí)，?8),.=|=1*|<os〈a,才C〉==3

V10

14.野，+8)【解析】本題考查不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.由題意可得

Inn

P..|,令/（x）=2,x>0,則r（x）=上萼，令r（x）>0得0<x<e,所

n

maxXX

以函數(shù)/(X)在(o,e)上單調(diào)遞增，令/'(x)<0得尤>e,所以函數(shù)/(x)在(e,+e)上單調(diào)

遞減，所以當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)f(x)有最大值，又〃eN*，且/(2)="</(3)=?,所

In3

以p...---

3

1T

15.2乃；3【解析】本題考在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

2

①當(dāng)0>=1時(shí)，/(x)=0sin;r,g(x)=y/2cosx,令/(x)=g(x)，

得J^sinx=&cosx,則tanx=1,r.x=至+ki,攵eZ,取

4

■此時(shí)［ABC的面積最小，

所以(SA8c)mi_=gx2?x2=2?；②若存在△ABC是等腰直角三角形，當(dāng)4,B,C為

相鄰三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，口取得最小值，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半得

②=2x［&x也+&X也］=4解得啰=2

【核心素養(yǎng)】本題以函數(shù)圖象為載體，要求考生抓住三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的聯(lián)系，建立數(shù)與

形之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

16.【名師指導(dǎo)】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

由題中條件求得數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式，再結(jié)合選擇的條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及裂

項(xiàng)相消法求解即可.

由b.=2b小，I可知數(shù)列｛〃｝.是等比數(shù)列，且公比q=2,

又4=8,則bn=8-2"-3=2",所以4=2,

可得S=2(J2")=2"+I_2,

“1-2

2+|

若選①q=3,?4=S2=2-2=6

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為“

所以3d=4一4=3,即d=1,

所以q=3+(n-l)=n+2,

1_1_Ip__1_

故〃^wlog2Z?/J〃(〃+2)2\n〃+2

42[〃+1〃+2)

時(shí)-，--1--+---1---->0

n+1/14-2

33

所以此時(shí)幾的最小值為

若②,則％=偽=4,4=&-/7]=8-2=6,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d

所以2d=/一。3=2,即d=l,

所以aa=4+(〃-3)=〃+1

111I

故&=~；一(,1\=----------

anlog2ba+n〃+1

1111

=1--+1—

223，n〃+1〃+1

芙"f時(shí),

H+1

所以7；<1此時(shí)幾的最小值為L(zhǎng)

若選③，則q=么一2=2,%=§2-3=3,

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d

所以d=%-%=1

所以%=2+(〃-l)xl=〃+l

_1_1_]___1_

故anlog2/??“(〃+l)nn+\

而/=1,--1-1--1---11-…-I--1---1--,=1-1----,

"223nn+1n+1

彗nf+x時(shí),->0,1--->1,

n+\n+\

所以(<1此時(shí)2的最小值為1.

17.【名師指導(dǎo)】本題考查線而垂直的判定和性質(zhì)、面而垂直的判定、二面角、線面所成角.

(1)證明：連接AC,因?yàn)槭珺=PC,E為線段的中點(diǎn)，

所以PE_L3C.

又AB=BC,ZABC=60°,

所以AA3C為等邊三角形，

所以BCJ.AE.

因?yàn)锳EcPE=E,所以3C，平面Q4E，

又BCu平面BCP,所以平面PAE_L平面BCP.

(2)解：設(shè)A8=PA=a,則P3=0a=PC，

因?yàn)?2+.2=依2，

所以E4_LA6，

同理可證Q4_LAC,

所以QA_L平面ABC。.

如圖，設(shè)40^80=0,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)

系。一盯z.

34

易知NFOA為二面角4一8￡）-尸的平面角，所以cosNFOA=—,從而tan/FOAu—.

53

AF4c

----=—2

由a3，得AF1——a.

23

又由尸(0,_*朗,B冬,0,0,

得麗J-尊,號(hào)閘,"=(。,號(hào),等.

(223J123J

設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z),

+aa2a八

-----x——y+——z=0

22-3

由冗J_而，n±OF>得'

a2a八

—y+——z=0

23

不妨設(shè)z=3,則可得平面BDF的一個(gè)法向量得打=（0,4,3）.

,D一當(dāng)a,0,0,所以P￡)=

[2JI22J

設(shè)PO與平面Bo/7所成角為e,

所以尸。與平面所成角的正弦值為立

10

18.【名師指導(dǎo)】本題考查頻率分布直方圖、二項(xiàng)分布、對(duì)立事件的概率以及數(shù)學(xué)期望，考查

考生的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

（I）利用頻率分布直方圖和對(duì)立事件、二項(xiàng)分布的概率公式求解；

（2）建立概率分布表，分別求出數(shù)學(xué)期望，再比較大小即可.

解：（1）由頻率分布直方圖可知河流水位Xe[26,30）的概率

為（0.075+0.025）x2='

記”在未來(lái)4年中，至少有2年河流水位xe[26,30）”為事件A,

則P（A）=1-P（X）

113

625

（2）記A工廠的工程費(fèi)與損失費(fèi)之和為y（單位：元）.

①若采用方案一，則y的分布列為

Y050000300000

P0.780.20.02

"=Ox0.78+50000X0.2+300000X0.02=16000(元)

②若采用方案二，則Y的分布列為

Y8000308000

P0.980.02

EY=8(XX)x0.98+3080()0x0.02=14(XX)(元)

③若采用方案三：￡丫=20000(元)

因?yàn)?4000<16000<20000,

所以A工廠應(yīng)用方案二

19.【名師指導(dǎo)】本題考在橢圓的方程和性質(zhì)、橢圓的離心率和方程的運(yùn)用、聯(lián)立直線方程、運(yùn)

用韋達(dá)定理、向量垂直的條件，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.

（1）設(shè)橢圓C的方程為部十瓦=1（“〉人>0）,則一〃=1，當(dāng)/］垂直于X軸時(shí)，A,B

（b2）（b2}______1

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是1,一和1,一一，由0403=—知/=2/，由此能求出橢圓C的

Ika）2

方程；

（2）由對(duì)稱(chēng)性，若定點(diǎn)存在，則定點(diǎn)在x軸上，設(shè)直線AB的方程為：x=my+\,與橢圓

方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，通過(guò)直線力和直線PB的方程表示出M,N的坐標(biāo)，得出

戶訪.成=0，可知尸在以MN為直徑的圓上，結(jié)論得證.

22

（1）由題意，設(shè)橢圓C的方程為W+?=13>8>0）,c=必二層，貝Ijc=l

,（b2]（b2、

當(dāng)/1_Lx軸時(shí)，不妨設(shè)A1,—,B1,---

a）aJ

/7412

0A-OB—1—=—=片=2（/—1）=>fz2=2?

a22v7

「c=l,:.a>c=\

a=2=/=1

2

.??橢圓。的方程為三+丁=1

2-

（2）設(shè)AB的方程為％=陽(yáng)+1,3（乙,%）

9

廠,2

2+，=>（歷+2）y2+2y-1=0

由Vm

x-iny+1

.二大+工2=〃2（乂+%）+2，+〃2（X+%）+1

直線PA的方程為y=1為（"+"）

直線PB的方程為>=；匕卜+吟

%

令x=2,得為

%+A/24T

_______（2+⑷2yM,（2+碼

FMFN=l+—1--------=1+--------T_E--------------------1=

x,x2+v2（x,+x2）+2"X%+研1+J2）（）1+%）+3+2j2

（2+匈2M%

//y%+"?（1+應(yīng)）（M+必）+3+2企

6+4加

=0

2（3+2人）

:.~FMVFN

.■尸在以MN為直徑的圓上，

..?以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

20.【名師指導(dǎo)】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合.

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解；

（2）證明：等價(jià)于證“/（X）max<g"，求出函數(shù)/（X）最大值即可.

函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,1）上是單調(diào)遞增函數(shù).

理由如下：

,1,

由tr〃{\上彳，得.尸（土--三--Inx

因?yàn)閄￡（0,l）,

所以l>l,ln元<0.

x

因此—Inx>0.

x

又因?yàn)椋?gt;0,

所以r(x)>o恒成立.

所以/(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)遞增函數(shù).

⑵證明"/(x)<g”等價(jià)于證明“小)2

由題意可得，xe(0,+oo).

因?yàn)閞(x)=與

令g(x)=』一/nx,則g，(x)=--y--<0.

所以g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減

因?yàn)間(l)=l>0,g(e)=；_l<0,

所以存在唯一實(shí)數(shù)題,使得8(毛)=0,其中無(wú)。6。").

(40，"°)

X(。，跖)玉)

+0—

“X)□極大值□

x,/'(x),/(x)的變化如表所示:

所以〃xo)為函數(shù)“X)的極大值.

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在(0,+8)有唯一的極大值.

所以小L=〃％)=警

1,

因?yàn)橐?lnx0,

%

所以〃4^="%)=黑=/

因?yàn)?e(l,e)

所以7（4政

所以〃x）＜；

21.【名師指導(dǎo)】本題考查新定義、等差數(shù)列的性質(zhì)、不等式以及推理與證明的綜合.

（1）利用新定義直接求解；（2）利用新定義，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解；（3）利用新定

義，結(jié)合反證法求解.

解：⑴｛2,4,6,8,10）是“關(guān)聯(lián)的“關(guān)聯(lián)子集有｛2,4,6,8｝,｛4,6,8,10｝,｛2,4,8,10｝；

｛1,2,3,5,8）是“獨(dú)立的”

（2）記集合M的含有四個(gè)元素的集合分別為：

A=｛4,%,%，％｝，A2=[a],a3,a4,a5],

A,乂％%%，4｝，A=｛《,。2,生，4｝，

A=｛q,出,生,包｝.

所以，M至多有5個(gè)“關(guān)聯(lián)子集

若4=｛q,a3M4，/｝為“關(guān)聯(lián)子集”，

則A=｛4,%,%，%｝不是“關(guān)聯(lián)子集"，否則6=。2

同理可得若&=｛q,03M4，4｝為“關(guān)聯(lián)子集”，則4,不是“關(guān)聯(lián)子集”.

所以集合M沒(méi)有同時(shí)含有元素%，生的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾.

所以4=｛q,%,%，4｝一定不是“關(guān)聯(lián)子集”

同理A=｛《,％,小，4｝一定不是“關(guān)聯(lián)子集”.

所以集合M的“關(guān)聯(lián)子集”至多為A，A3,A.

若4不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合M一定不含有元素為，%的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；

若A,不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合M一定不含有元素4，%的“關(guān)聯(lián)子