高中數(shù)學必修4平面向量知識點總結(jié)兩份

高中數(shù)學必修4知識點總結(jié)平面向量知識點歸納一.向量的基本概念與基本運算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標表示法向量的大小即向量的模（長度），記作||即向量的大小，記作｜｜向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。诹阆蛄浚洪L度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件．（注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量｜｜＝1④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設，則+==（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”．3向量的減法①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：①實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關學習本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點例1給出下列命題：①若||＝||，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若=，=，則=，④=的充要條件是||=||且//；⑤若//，//，則//，其中正確的序號是解：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵，∴且，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此，．③正確．∵=，∴，的長度相等且方向相同；又＝，∴，的長度相等且方向相同，∴，的長度相等且方向相同，故＝．④不正確．當//且方向相反時，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要條件，而是必要不充分條件．⑤不正確．考慮=這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號是②③．點評：本例主要復習向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，復習一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想．例2設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：①，②③解：①原式=②原式=③原式=例3設非零向量、不共線，=k+，=+k(kR)，若∥，試求k解：∵∥∴由向量共線的充要條件得：=λ(λR)即k+=λ(+k)∴(kλ)+(1λk)=又∵、不共線∴由平面向量的基本定理二.平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關2平面向量的坐標運算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則3向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標表示和性質(zhì)運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:>0時,與同向;<0時,與異向;=0時,=∥向量的數(shù)量積是一個數(shù)或時,=0且時,,例1已知向量，，且，求實數(shù)的值解：因為，所以，又因為所以，即解得例2已知點,試用向量方法求直線和（為坐標原點）交點的坐標解：設，則因為是與的交點所以在直線上，也在直線上即得由點得，得方程組解之得故直線與的交點的坐標為三．平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關系：5乘法公式成立：；6平面向量數(shù)量積的運算律：①交換律成立：②對實數(shù)的結(jié)合律成立：③分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量，則·=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥10兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；⑷若，則當且僅當時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有解：⑴錯；⑵對；⑶錯；⑷錯；⑸錯；⑹對例2已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角解：由題意，，且與的夾角為，所以，，，，同理可得而，設為與的夾角，則點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑例3已知，，，按下列條件求實數(shù)的值（1）；（2）；解：（1）；（2）；點評：此例展示了向量在坐標形式下的基本運算高中數(shù)學必修4知識點總結(jié)平面向量知識點歸納一.向量的基本概念與基本運算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標表示法向量的大小即向量的模（長度），記作||即向量的大小，記作｜｜向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。诹阆蛄浚洪L度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件．（注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量｜｜＝1④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設，則+==（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”．3向量的減法①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：①實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關學習本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點例1給出下列命題：①若||＝||，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若=，=，則=，④=的充要條件是||=||且//；⑤若//，//，則//，其中正確的序號是解：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵，∴且，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此，．③正確．∵=，∴，的長度相等且方向相同；又＝，∴，的長度相等且方向相同，∴，的長度相等且方向相同，故＝．④不正確．當//且方向相反時，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要條件，而是必要不充分條件．⑤不正確．考慮=這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號是②③．點評：本例主要復習向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，復習一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想．例2設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：①，②③解：①原式=②原式=③原式=例3設非零向量、不共線，=k+，=+k(kR)，若∥，試求k解：∵∥∴由向量共線的充要條件得：=λ(λR)即k+=λ(+k)∴(kλ)+(1λk)=又∵、不共線∴由平面向量的基本定理二.平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關2平面向量的坐標運算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則3向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標表示和性質(zhì)運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:>0時,與同向;<0時,與異向;=0時,=∥向量的數(shù)量積是一個數(shù)或時,=0且時,,例1已知向量，，且，求實數(shù)的值解：因為，所以，又因為所以，即解得例2已知點,試用向量方法求直線和（為坐標原點）交點的坐標解：設，則因為是與的交點所以在直線上，也在直線上即得由點得，得方