專題19 乘法公式六種常考題型分類訓(xùn)練（解析版）

專題19乘法公式六種?？碱}型分類訓(xùn)練（解析版）題型一乘法公式的基本運(yùn)算典例1（2023春?東昌府區(qū)期末）計(jì)算：（1）（2a+3b）（2a﹣3b）；（2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）；（3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣（7x2+30）．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）連續(xù)利用平方差公式即可得出答案；（3）根據(jù)完全平方公式將原式化為4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）原式＝（2a）2﹣（3b）2＝4a2﹣9b2；（2）原式＝（x2﹣y2）（x2+y2）＝x4﹣y4；（3）原式＝4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30＝﹣4x﹣2．【總結(jié)提升】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．典例2（2023春?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算．（1）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）；（2）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2．【思路引領(lǐng)】（1）利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行求解即可；（2）利用平方差公式或完全平方公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）＝[（x﹣2）+3y][（x﹣2）﹣3y]＝（x﹣2）2﹣3y2＝x2﹣4x+4﹣3y2；（2）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2＝（3ab+4+3ab﹣4）[（3ab+4）﹣（3ab﹣4）]＝6ab（3ab+4﹣3ab+4）＝6ab×8＝48ab．【總結(jié)提升】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知這兩個(gè)乘法公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．題型二利用乘法公式進(jìn)行簡便運(yùn)算典例3（2023秋?榆樹市期中）利用乘法公式計(jì)算：（1）20192﹣2018×2020．（2）99.82．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式即可求解．【解答】解：（1）原式＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）＝20192﹣20192+1＝1．（2）原式＝（100﹣0.2）2＝10000﹣40+0.04＝9960.04【總結(jié)提升】本題考查了完全平方公式和平方差公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握并熟練運(yùn)用公式．典例4（2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）用簡便方法計(jì)算：（1）20232﹣2022×2024；（2）982+4×98+4．【思路引領(lǐng)】（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）20232﹣2022×2024＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）＝20232﹣（20232﹣1）＝20232﹣20232+1＝1；（2）982+4×98+4＝（98+2）2＝1002＝10000．【總結(jié)提升】本題考查的是平方差公式及完全平方公式，熟記平方差公式及完全平方公式的形式是解題的關(guān)鍵．典例5（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）利用乘法公式計(jì)算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）；（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【思路引領(lǐng)】（1）把所求算式乘以（2﹣1），再連續(xù)用平方差公式可算出答案；（2）逆用平方差公式，再求和即可．【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1＝256﹣1＝255；（2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）＝100+99+98+97+...+2+1=(100+1)×100＝5050．【總結(jié)提升】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．典例6（2023春?新泰市期末）計(jì)算：（1）20232﹣2022×2024；（2）112+13×66+392．【思路引領(lǐng)】（1）原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可求出值；（2）原式變形后，利用完全平方公式計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）＝20232﹣（20232﹣1）＝20232﹣20232+1＝1；（2）原式＝112+2×11×39+392＝（11+39）2＝502＝2500．【總結(jié)提升】此題考查了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．題型三完全平方式和配方法典例7（2023秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）若多項(xiàng)式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，則k的值為（）A．±7 B．7或﹣1 C．7 D．﹣1【思路引領(lǐng)】根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)列式即可確定出k值．【解答】解：∵x2+（k﹣3）xy+4y2＝x2+（k﹣3）xy+（2y）2，∴（k﹣3）xy＝±2x×2y，解得k＝7或﹣1．故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．如果x2+16x+m2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是±8．【思路引領(lǐng)】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m2的值，進(jìn)而求得m的值．【解答】解：∵x2+16x+m2是一個(gè)完全平方式，∴m2＝82，∴m＝±8，故答案為：±8．【總結(jié)提升】此題考查完全平方式，解題關(guān)鍵在于掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)．2．已知m為整數(shù)，多項(xiàng)式x2+mx+4是完全平方式，則m＝±4．【思路引領(lǐng)】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值．【解答】解：∵x2+mx+4＝x2+mx+22，∴mx＝±2×2×x，解得m＝±4．故答案為：±4．【總結(jié)提升】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．3．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）如果4x2+（k+1）x+1是一個(gè)完全平方式，那么k的值是3或﹣5．【思路引領(lǐng)】根據(jù)完全平方公式得k+1＝4，進(jìn)行計(jì)算即可得．【解答】解：∵4x2+（k+1）x+1是一個(gè)完全平方式，∴k+1＝±4k＝3或k＝﹣5，故答案為：3或﹣5．【總結(jié)提升】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．4．（2019秋?鎮(zhèn)原縣期末）如果多項(xiàng)式1+9x2加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)整式的完全平方式，那么加上的單項(xiàng)式可以是6x或﹣6x或814x4或﹣1或﹣9x2．【思路引領(lǐng)】分9x2是平方項(xiàng)與乘積二倍項(xiàng)，以及單項(xiàng)式的平方三種情況，根據(jù)完全平方公式討論求解．【解答】解：①當(dāng)9x2是平方項(xiàng)時(shí)，1±6x+9x2＝（1±3x）2，∴可添加的項(xiàng)是6x或﹣6x，②當(dāng)9x2是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，1+9x2+814x4＝（1+92x∴可添加的項(xiàng)814x4③添加﹣1或﹣9x2．故答案為：6x或﹣6x或814x4或﹣1或﹣9x2【總結(jié)提升】本題考查了完全平方式，熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．典例85﹣（a﹣b）2的最大值是5，當(dāng)5﹣（a﹣b）2取最大值時(shí)，a與b的關(guān)系是a＝b．【思路引領(lǐng)】根據(jù)完全平方式的最小值為0，得到代數(shù)式最大值為5，此時(shí)a﹣b＝0，即可得到a與b的關(guān)系．【解答】解：∵（a﹣b）2≥0，∴代數(shù)式5﹣（a﹣b）2的最大值為5，此時(shí)a﹣b＝0，即a＝b．故答案為：5；a＝b．【總結(jié)提升】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．典例9（2023秋?天心區(qū)期中）閱讀材料，解決后面的問題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m﹣n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，即：（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，解得：m＝﹣3，n＝3，∴m﹣n＝﹣3﹣3＝﹣6．（1）若x2+y2+6x﹣8y+25＝0，求x+2y的值；（2）已知等腰△ABC的兩邊長a，b，滿足a2+b2＝10a+12b﹣61，求該△ABC的周長；（3）已知正整數(shù)a，b，c滿足不等式a2+b2+c2+36＜ab+6b+10c，求a+b﹣c的值．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)完全平方公式配方得：x2+y2+6x﹣8y+25＝（x+3）2+（y﹣4）2，據(jù)此即可求解；（2）將a2+b2＝10a+12b﹣61配湊成（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，分類討論當(dāng)a是腰，b是底時(shí)和當(dāng)b是腰，a是底時(shí)，兩種情況即可求解；（3）將已知式配方后可得（2a﹣b）2+3（b﹣4）2+4（c﹣5）2＜4，結(jié)合a，b，c是正整數(shù)可得c＝5；分類討論當(dāng)b＝4時(shí)，當(dāng)b＝5時(shí)，當(dāng)b＝3時(shí)三種情況即可．【解答】解：（1）∵x2+y2+6x﹣8y+25＝0，∴（x+3）2+（y﹣4）2＝0．∴x+3＝0，y﹣4＝0，解得：x＝﹣3，y＝4．∴x+2y＝﹣3+8＝5；（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61，∴a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，解得a＝5，b＝6．∵a，b是等腰△ABC的兩邊長，當(dāng)a是腰，b是底時(shí)，△ABC的周長＝5+5+6＝16；當(dāng)b是腰，a是底時(shí)，△ABC的周長＝5+6+6＝17．（3）∵a2+b2+c2+36＜ab+6b+10c，∴4a2+4b2+4c2+144＜4ab+24b+40c，∴（2a﹣b）2+3（b﹣4）2+4（c﹣5）2＜4，∵a，b，c為正整數(shù)，所以c﹣5＝0，即c＝5，b﹣4＝0或1或﹣1，即b＝4或5或3，當(dāng)b＝4時(shí)，2a﹣b＝0或1或﹣1，則a＝2或2.5或1.5且a，b，c為正整數(shù)，∴a＝2，b＝4，c＝5，∴a+b﹣c＝2+4﹣5＝1；當(dāng)b＝5時(shí)，2a﹣b＝0，即a＝2.5，與題意不符，舍去；當(dāng)b＝3時(shí)，2a﹣b＝0，即a＝1.5，與題意不符，舍去．綜上所述，a+b﹣c＝2+4﹣5＝1．【總結(jié)提升】本題考查了配方法的應(yīng)用．熟記完全平方公式的形式是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（1）多項(xiàng)式9x2+1加上單項(xiàng)式6x，﹣6x或814x4后．能成為一個(gè)含x（2）試說明：不論x，y取何值，代數(shù)式x2+y2+6x﹣4y+15的值總是正數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征求解即可；（2）原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）如果把9x2和1看作兩個(gè)平方項(xiàng)，則缺少的項(xiàng)應(yīng)該是±6x；如果把9x2看作是首尾積的2倍，則缺少的另一個(gè)平方項(xiàng)應(yīng)該是814x4即多項(xiàng)式9x2+1加上單項(xiàng)式6x，﹣6x或814x4后，能成為一個(gè)含x故答案為：6x，﹣6x或814x4（2）x2+y2+6x﹣4y+15＝（x2+6x+9）+（y2﹣4y+4）+2＝（x+3）2+（y﹣2）2+2，∵（x+3）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+3）2+（y﹣2）2+2≥2＞0，則不論x，y取何值，代數(shù)式x2+y2+6x﹣4y+15的值總是正數(shù)．【總結(jié)提升】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．題型四乘法公式在幾何背景下的運(yùn)用典例10（2022春?蓮池區(qū)期末）如圖1，將一個(gè)大長方形沿虛線剪開，得到兩個(gè)長方形，再將這兩個(gè)長方形拼成圖2所示圖形，正好是邊長為x的大正方形剪去一個(gè)邊長為1的小正方形（陰影部分）．這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x【思路引領(lǐng)】用代數(shù)式分別表示出圖1和圖2中白色部分的面積，由此得出等量關(guān)系即可．【解答】解：圖1的面積為：（x+1）（x﹣1），圖2中白色部分的面積為：x2﹣1，∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用白色部分面積不變列出等式是解決問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2023春?和平區(qū)期末）用4塊完全相同的長方形拼成如圖所示的正方形，用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可得到一個(gè)關(guān)于a，b的等式為（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【思路引領(lǐng)】由觀察圖形可得陰影部分的面積為4ab，也可以表示為（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得結(jié)果．【解答】解：∵圖形中大正方形的面積為（a+b）2，中間空白正方形的面積為（a﹣b）2，∴圖中陰影部分的面積為（a+b）2﹣（a﹣b）2，又∵圖中陰影部分的面積還可表示為4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故選：D．【總結(jié)提升】此題考查了用數(shù)形結(jié)合思想解決整式運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形面積找出整式間的關(guān)系式．題型五利用乘法公式變形求代數(shù)式的值典例11（2023春?寶應(yīng)縣期中）已知a+b＝3，（a+3）（b+3）＝20，求下列代數(shù)式的值：（1）ab；（2）a2+5ab+b2：（3）a﹣b．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算，再代入即可求得ab；（2）根據(jù)完全平方公式變形，再代入即可求解：（3）先求得（a﹣b）2，進(jìn)一步即可求解．【解答】解：（1）∵a+b＝3，∴（a+3）（b+3）＝ab+3（a+b）+9＝ab+3×3+9＝20，解得ab＝2；（2）a2+5ab+b2＝（a+b）2+3ab＝32+3×2＝9+6＝15；（3）∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝32﹣4×2＝9﹣8＝1，∴a﹣b＝±1．【總結(jié)提升】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵．此題的關(guān)鍵，注意：完全平方公式有：①a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．變式訓(xùn)練1．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）若n滿足（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，（n﹣2014）（2019﹣n）＝﹣2．【思路引領(lǐng)】把（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5配成完全平方式得到[（n﹣2014）+（2019﹣n）]2﹣2（n﹣2014）（2019﹣n）＝5，然后整理即可得到（n﹣2014）（2019﹣n）＝10．【解答】解：∵（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，∴[（n﹣2014）+（2019﹣n）]2﹣2（n﹣2014）（2019﹣n）＝5，∴1﹣2（n﹣2014）（2019﹣n）＝5，∴（n﹣2014）（2019﹣n）＝10．故答案為10．【總結(jié)提升】本題考查了完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是關(guān)鍵．題型六乘法公式的綜合運(yùn)用典例12（2021秋?贛縣區(qū)期末）實(shí)踐與探索如圖1，邊長為a的大正方形有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是A；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝4．②計(jì)算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【思路引領(lǐng)】（1）分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積即可得出答案；（2）①利用平方差公式將4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入計(jì)算即可；②利用平方差公式將原式轉(zhuǎn)化為1+2+3+…+99+100即可．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2中的陰影部分是長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：A；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴6（2a﹣b）＝24，即2a﹣b＝4，故答案為：4；②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，…22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．【