【高頻考點題型】27.1 圖形的相似（拔高篇）（解析版）

【沖刺高分】人教版九年級數(shù)學下學期學神考霸養(yǎng)成優(yōu)選練測卷【高頻考點題型】27.1圖形的相似（拔高篇）（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷試題共三大題，共22小題，單選8題，填空8題，解答6題，限時90分鐘，滿分120分，本卷題型精選核心常考重難易錯典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學生雙基綜合能力！選擇題：本題共8個小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2022·陜西秦都·九年級期末）已知、、、是成比例線段，其中，，，則線段的長為（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【答案】A【分析】根據(jù)成比例線段的性質(zhì)可得，再根據(jù)比例性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵、、、是成比例線段，∴，∵，，，∴，解得：d=0.4，故選：A．【點睛】本題考查成比例線段，熟知成比例線段的等基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·合肥市第六十八中學九年級期末）已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，代入化簡即可得出答案．【詳解】解∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，分式的求值，能靈活運用比例的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇秦淮·九年級期末）2021年12月28日，南京市第一條跨市域地鐵S6（寧句城際）正式運營，在比例尺為1：100000的工程示意圖上，南京地鐵S6號線全長約為43.7cm，它的實際長度約為（）A．0.437km B．4.37km C．43.7km D．437km【答案】C【解析】根據(jù)比例尺等于圖上距離：實際距離求解即可，最后轉(zhuǎn)化單位【詳解】解：∵設實際cm∴1：100000=43.7：x解得cm故選C【點睛】本題考查了成比例線段，理解比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·九年級課前預習）放大鏡中的多邊形與原多邊形的關(guān)系是（）A．形狀不同，大小不同 B．形狀相同，大小相同C．形狀相同，大小不同 D．形狀不同，大小相同【答案】C【解析】略5．（2022·河南·鄭州一中國際航空港實驗學校九年級期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是邊上的點，，且，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，由平行線分線段成比例性質(zhì)得到，，整理得，結(jié)合題意解題即可．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，是基礎考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．（2022·陜西秦都·九年級期末）如圖，四邊形與四邊形是位似圖形，點是位似中心，且，則四邊形與四邊形的面積之比等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)位似的性質(zhì)得到四邊形ABCD和四邊形AEFG的相似比為2：3，然后根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是以點A為位似中心的位似圖形AC：AF=2：3，∴四邊形ABCD和四邊形AEFG的相似比為2：3，∴四邊形ABCD與四邊形AEFG的面積比為4：9．故選：B．【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．位似的兩個圖形相似；在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．7．（2021·四川·成都新津為明學校九年級期中）如圖的兩個四邊形相似，則∠a的度數(shù)是（）A．120° B．87° C．75° D．60°【答案】B【解析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，即可求解．【詳解】解：如圖，∵兩個四邊形相似，∴，∵兩個四邊形相似，且四邊形的內(nèi)角和等于360°，∴．故選：B【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握相似多邊形的對應邊成比例，對應角相等是解題的關(guān)鍵．8．（2021·北京密云·九年級期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為CD、DE，直線l5被l1，l2，l3所截得的兩條線段分別為FG、GH．若CD＝1，DE＝2，F(xiàn)G＝1.2，則GH的長為（）A．0.6 B．1.2 C．2.4 D．3.6【答案】C【解析】根據(jù)平行線分線段成比例可得＝，代入數(shù)值即可求得的值【詳解】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，∵CD＝1，DE＝2，F(xiàn)G＝1.2，∴＝，∴GH＝2.4，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共8個小題，每題3分，共24分。9．（2022·安徽·合肥市第六十八中學九年級期末）已知線段，是線段的黃金分割點（），那么__________．【答案】【解析】根據(jù)黃金分割點的定義和得出，即可求出答案．【詳解】解：由于P為線段的黃金分割點，且，∴．故答案為：．【點睛】此題考查的是黃金分割的概念，熟記黃金比值是解題的關(guān)鍵．10．（2021·廣東·高州市鎮(zhèn)江第一中學九年級期中）在比例尺的地圖上，量得太原到北京的距離為6厘米，則太原到北京的實際距離為________千米．【答案】480【解析】要求兩地間實際距離是多少千米，根據(jù)“圖上距離÷比例尺=實際距離”，代入數(shù)值，計算即可．【詳解】解：(厘米)48000000厘米=480千米即太原到北京的實際距離為480千米.故答案為480.【點睛】考查比例尺，根據(jù)圖上距離，比例尺，實際距離三者的關(guān)系，進行分析解答即可得出結(jié)論.11．（2021·北京大興·九年級期中）如圖，在△ABC中，DEBC，如果AD＝3，DB＝4，AE＝2．那么EC＝____．【答案】##【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解，即可得到EC的長．【詳解】解：∵DE∥BC，∴CE：AE＝BD：AD，∵AD＝3，DB＝4，AE＝2，∴EC，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．12．（2021·重慶·七年級期中）如圖，在中，為邊上的一點，且，連接，為的中點，連接并延長交于點，若與的面積之和為，則的面積為__．【答案】【解析】作交于．首先得到，推出，再利用三角形的中線，可得S△BDE＋S△AEF＝S△ABE＋S△AEF＝S△ABF，即可解決問題．【詳解】解：作交于．，，為的中點，，，，，，，，，即，，解得：．故答案為：21．【點睛】本題考查三角形的面積、平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．13．（2021·北京昌平·九年級期中）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線l4，l5被直線l1、l2、l3所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，則EF的長是______．【答案】4.5【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【詳解】解：∵l1//l2//l3，∴，∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，∴，解得：EF＝4.5，故答案為：4.5．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海閔行·九年級期中）如圖，已知，，，，那么_____．【答案】##【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，代入得出AG即可．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵CH=2cm，DH=4cm，AB=5cm，∴，解得：AG=，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：定理（一組平行線截兩條直線，所截的線段對應成比例）中的對應成比例．15．（2022·浙江北侖·九年級期末）如圖，點在同一直線上，點在同一直線上，且，交于點交于點.若點在同一直線上，則的值是____________.【答案】【解析】根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形ACEB為平行四邊形，四邊形AFGB平行四邊形，四邊形BEFC為平行四邊形，得出AB=DE=FG，BC=EF，根據(jù)平行線截線段成比例，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)比例性質(zhì)得出，變形化為一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：∵，∴四邊形ADEB為平行四邊形，四邊形AFGB平行四邊形，四邊形BEFC為平行四邊形，∴AB=DE=FG，BC=EF，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵＞0，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，一元二次方程的解法，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．16．（2022·廣西岑溪·九年級期末）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為10cm，那么PB的長度為________cm（結(jié)果保留根號）【答案】##【解析】由P為AB的黃金分割點（AP＞PB），可得先求解再利用線段的和差求解即可.【詳解】解：P為AB的黃金分割點（AP＞PB），故答案為：【點睛】本題考查的是成比例的線段，黃金分割的含義，掌握“線段的黃金分割比”是解本題的關(guān)鍵.三、解答題：本題共6個小題，17-20每題10分，21-22每題12分，共64分。17．（2021·山東蘭山·九年級期中）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F，(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為4，∠F=30°，求DE的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）連接AD、OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理可證得∠EAD=∠ODA，根據(jù)平行線在判定與性質(zhì)可證得OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得OF、DF，再根據(jù)平行線分線段成比例求解即可．【詳解】解：(1)證明：連接AD、OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°即AD⊥BC，又AB=AC，∴∠BAD=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，又OD是半徑，∴DE是⊙O的切線；(2)解：在Rt△ODF中，OD=4，∠F=30°，∴OF=2OD=8，DF=OD=，∵OD∥AB，∴即，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、含30°角的直角三角形性質(zhì)、平行線分線段成比例，綜合性強，難度適中，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．18．（2022·福建·福州三牧中學九年級期末）如圖，在中，點D是AB邊上的一點．(1)尺規(guī)作圖：在內(nèi)，求作，DE交AC于E；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求的值．【答案】(1)作圖見解析(2)【解析】（1）以D為頂點作即可；（2）先證明再利用平行線分線段成比例可得答案.【詳解】(1)解：如圖，∠ADE為所求作的角；(2)解：∵∠ADE=∠B∴，而，∴．【點睛】本題考查的是作一個角等于已知角，平行線分線段成比例的應用，熟練的利用尺規(guī)作是解本題的關(guān)鍵.19．（2022·上海青浦·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，CE、BD相交于點F，BF=3DF．(1)求AE：ED的值；(2)如果，，試用、表示向量．【答案】(1)2(2)【解析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD//BC，AD=BC，再利用平行線分線段成比例定理解答即可；（2）利用平面向量的三角形法則進行計算即可.【詳解】(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD=BC．∴．∵BF=3DF，∴．∴．∴，即AE：ED=2．(2)解：∵AE：ED=2：1，∴．∵，∴．∵，∴．∵AD//BC，∴．∵BF=3DF，∴．∴．∴．∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面向量等知識點，靈活應用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．20．（2021·山東沂源·八年級期末）已知：在正方形ABCD的邊BC上任取一點F，連接AF，一條與AF垂直的直線l（垂足為點P）沿AF方向，從點A開始向下平移，交邊AB于點E．（1）當直線l經(jīng)過AF的中點時，與對角線BD交于點Q，連接FQ，如圖2所示，求∠AFQ的度數(shù)；（2）直線l繼續(xù)向下平移，當點P恰好落在對角線BD上時，交邊CD于點G，設AB＝2，BF＝x，DG＝y(tǒng)，求y與x之間的關(guān)系式．【答案】（1）45°；（2）（0≤x≤2）【解析】（1）連接AQ，CQ．想辦法證明△AQF是等腰直角三角形即可解決問題．（2）過點E作ET⊥CD于T，則四邊形BCTE是矩形．利用全等三角形的性質(zhì)證明BF=GT=x，再利用平行線分線段成比例定理求出BE=CT=xy，根據(jù)GT=CG-CT，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）連接AQ，CQ．∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABQ=∠CBQ=45°，∵BQ=BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴QA=QC，∠BAQ=∠QCB，∵EQ垂直平分線段AF，∴QA=QF，∴QC=QF，∴∠QFC=∠QCF，∴∠QFC=∠BAQ，∵∠QFC+∠BFQ=180°，∴∠BAQ+∠BFQ=180°，∴∠AQF+∠ABF=180°，∵∠ABF=90°，∴∠AQF=90°，∴∠AFQ=∠FAQ=45°．（2）解：過點E作ET⊥CD于T，則四邊形BCTE是矩形．∴ET=BC，∠BET=∠AET=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=ET，∠ABC=90°，∵AF⊥EG，∴∠APE=90°，∵∠AEP+∠BAF=90°，∠AEP+∠GET=90°，∴∠BAF=∠GET，∵∠ABF=∠ETG，AB=ET，∴△ABF≌△ETG（ASA），∴BF=GT=x，∵AD∥CB，DG∥BE，∴，∴，∴BE=TC=xy，∵GT=CG-CT，∴x=2-y-xy，∴（0≤x≤2）．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．21．（2021·遼寧甘井子·九年級期中）如圖，△ABC中，點D，E在邊AB上，點F在邊BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，連接DF．（1）在圖1中找出與∠ACE相等的角，并證明；（2）求證：∠BDF＝∠EFC；（3）如圖2，延長FD，CA交于點G，連接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，證明見解析；（2）見解析；（3）k【解析】（1）由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；（2）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，證明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出∠EDF＝∠EMC，證出∠EMD＝∠EFC，則可得出結(jié)論；（3）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，證明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出GF＝DC，證出GD＝DM，則根據(jù)平行線分線段成比例即可得出答案．【詳解】解：（1）∠DEF＝∠ACE．證明：∵∠DEC是△ACE的外角，∴∠DEC＝∠A+∠ACE，∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，∵∠CEF＝∠A，∴∠DEF＝∠ACE；（2）證明：連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵EM∥AC，∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，∴ED＝EM，又∵EF＝EC，∴△DEF≌△MEC（SAS），∴∠EDF＝∠EMC，∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，∴∠BDF＝∠EMC，∵EM∥AC，∴∠DEM＝∠A，∵∠A＝∠CEF，∴∠DEM＝∠CEF，∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，∴∠EMD＝∠EFC，∴∠BDF＝∠EFC；（3）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，∵EG＝AG，∴∠GAE＝∠GEA，∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，∴∠DAC＝∠GED，∵∠CEF＝∠DAC，∴∠DEG＝∠CEF，∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，即∠GEF＝∠DEC，∵△DEF≌△MEC，∴∠EFG＝∠ECD，D