大學物理- 運動學

第一章質(zhì)點運動學§1質(zhì)點參照系和坐標系自然界物質(zhì)運動的形式多種多樣,最簡單和最基本的是物體的位置隨時間的變動,稱為機械運動.力學是關于機械運動的理論,描述運動的部分稱運動學,解釋運動的部分稱動力學.首先要解決的問題是如何確定物體的位置.顯然，只有不計物體的形狀和大小，其位置才能精確表示.我們把忽略了形狀和大小的物體稱為質(zhì)點.質(zhì)點是實際物體的抽象，是理想化了的模型,突出了物體具有質(zhì)量和占有位置的主要屬性.條件：①物體作平動②線度本身足夠小.任何一個真實的物理過程都是極其復雜的。為了尋找某過程中最本質(zhì)、最基本的規(guī)律，總是根據(jù)所討論的問題，對真實過程進行簡化，忽略次要因素，抓住主要特征，把它抽象成一個可供數(shù)學描述的物理模型。運動是絕對的，但運動的描述具有相對性.同一運動物體，由于選擇的參照物不同，產(chǎn)生的運動結(jié)論也不相同.那些被選擇用來作為參照的物體稱為參照物.在參照物上配置了坐標系和時鐘就構(gòu)成完整的參照系：參照物

+

坐標系

+

時鐘坐標系是用以標定物體的空間位置而設置的坐標系統(tǒng).直角坐標系球坐標系柱坐標系為了對運動作定量描述,必須在參照系的基礎上建立坐標系.坐標系是參照系的數(shù)學抽象.因為它不僅可以定量表示物體的空間位置，同時也具有參照的作用.o§2描述質(zhì)點運動的物理量1.位置矢量位移運動方程O路程P平均速度瞬時速度瞬時速度是位置矢量對時間的一階導數(shù)，其方向沿軌道的切線并指向前進的一方。O2.速度平均速率瞬時速率如何正確理解瞬時速率？v

(t+Δt)Δvv

(t)r(t+Δt

)r(t)o加速度是速度對時間的一階導數(shù)；位矢對時間的二階導數(shù),加速度的方向指向軌道曲線的凹側(cè)

.平均加速度瞬時加速度v

(t)v

(t+Δt)3.加速度§3在坐標系中描述運動1.直角坐標系例:

勻變速直線運動（為常數(shù)，且與同向或反向）沿v0方向建立坐標系時，h解：以地面為參照建立坐標系。地板與螺母的運動方程為：螺母落到地板時例：升降機以加速度上升，有一螺母自升降機的天花板松落，天花板與升降機的地板相距。求螺母自天花板落到底板所需的時間.例:在重力場中將一物體以初速度拋出，拋射角為

.

求：物體在任意時刻的速度；運動方程；軌道方程.解：

gxyv0O令，可得飛行時間：令,可得上升高度：把飛行時間代入得射程：

gxyv0OO拋體運動的矢量描述槍打落猴MonkeyandHunterMonkeyandHunter例：如圖所示，大炮向小山上的目標開火，此山的山坡與地平線的夾角為

，試求發(fā)射角β為多大時炮彈沿山坡射得最遠？解：建立坐標系如圖所示.炮彈的運動方程為設炮彈落于坡上距O為s位置處,則：聯(lián)立以上四個方程可得炮彈的飛行時間例：從一高塔上向同一鉛直平面內(nèi)的各個方向同時拋出許多小球,

初始速率相同,證明在任何時刻所有的質(zhì)點都在同一圓上.解：已知各質(zhì)點的初速率相同，但拋出時速度與水平方向夾角不同。取拋出點為坐標原點建立坐標系，取所有質(zhì)點拋出的時刻為t=0。質(zhì)點拋出后其運動方程為：方程表示一個圓,圓心坐標為,半徑為v0t.在任一時刻t

所有的質(zhì)點坐標都滿足這個方程,可見它們都在圓上.我們可以看出,這個圓是運動的,圓心是初速為0的自由落體,半徑

v0t隨時間不斷增大.若質(zhì)點在空中向四面八方拋出,上述的圓就變?yōu)榭臻g中的球面.

對于不同質(zhì)點相同而不同,在上兩式中消去,得到所有質(zhì)點都滿足的方程：yxv0v0例：在離水面高度為h的岸邊，有人用繩拉一小船在水面上向岸邊靠近，并以勻速v0收繩.求船與岸相距s時的速度和加速度.解：建立坐標系，如圖所示t時刻繩長小船：并非收繩速度的投影2.極坐標系方向大小方向大小可以證明角速度和角加速度都是矢量?！?/p>

極坐標系中的圓周運動角速度:角加速度:角坐標:角位移:o【曲線的曲率和曲率半徑】①與成正比②與成反比平均曲率曲率直線的曲率：圓的曲率：圓的曲率與半徑成反比對一般曲線把曲率的倒數(shù)稱為曲率半徑，記作3.自然坐標系

在質(zhì)點的運動軌跡上,任取一點o

作為坐標的原點.從原點o到軌跡曲線上任意一點P的弧長定義為P點的坐標s

。規(guī)定：切向坐標軸沿質(zhì)點前進方向的切向為正,單位矢量為,法向坐標軸沿軌跡的法向凹側(cè)為正,單位矢量為.s

o

P

位矢速度加速度Q

※自然坐標系中的圓周運動角量與線量的關系RPO

P0sRPOP0s

natvaan解：①②例：一質(zhì)點沿半徑為0.1米的圓周運動，其角坐標隨時間

的變化規(guī)律為

,求①t

=

2s

時質(zhì)點的切向加速度和法向加速度。②角坐標為何值時,切向加速度等于法向加速度。靜止參考系o運動參考系o’研究對象

p絕對運動：物體相對靜止參考系的運動.相對運動：物體相對運動參考系的運動.牽連運動：運動系相對

于靜止系

的運動.§4相對運動一.

動系相對靜系作加速平動重要情況：動系相對靜系作勻速直線運動時，牽連加速度為零。同一物體相對兩個參照系的速度不同，但加速度相同。他將速度增加一倍,

則感到風從正西北方向吹來.

求風速和風向。例：

例:某人騎自行車以速率

vo

向東行駛。今有風以同樣的速率由北偏西30°方向吹來。問：人感到風是從那個方向吹來？解：地:基本參考系風:研究對象

人:運動參考系人感到風是從北偏東30°方向吹來。h取螺母剛松落為計時零點.升降機問題另解：靜系:地選對象:

螺母動系:升降機建立坐標系，列投影式解：河岸為靜系，水流為動系，以人為研究對象。人對河岸的絕對速度為：，大小待求，方向在（1）問中垂直河岸，（2）問中待求。人對水的相對速度為：千米/小時，方向待求。水對岸的牽連速度為：千米/小時，方向沿河岸向東。依相互關系式可得如圖所示的幾何關系，由此可得：（1），例：某人在靜水中游泳的速度為3千米／小時，現(xiàn)在流速為2千米／小時的河水中游泳。問：（1）若此人想與河岸垂直地游到對岸，他應向什么方向游？（2）他向什么方向游時，到達對岸歷時最短？（2）,當時，到達對岸歷時最短。解：以岸為參考系，建立如圖坐標系分別寫出船和艇的運動方程，令其坐標相等，可得相遇條件。例:一條船平行于海岸航行，離岸距離為D，速率為V。一艘快艇從港口出發(fā)進行攔截，快艇速率v<V，試證明快艇必須在船駛過海岸線上某點以前出發(fā)才行，該點離港口的距離為:艇船即消去時間,令得遇相遇條件：艇出發(fā)時：如圖，艇對船的速度當最大時，最小，當?shù)难娱L線過，則、相遇。若以船為參考，最小的

x

為何值？相遇條件：當最大時，最小，當?shù)难娱L線過，則、相遇。若以船為參考，最小的

x

為何值？艇對船的速度：艇出發(fā)時：一質(zhì)點相對圓盤的位矢為.若質(zhì)點相對圓盤以速度運動若質(zhì)點在圓盤中靜止不動，則相對圓盤

的速度為設圓盤繞其圓心勻角速轉(zhuǎn)動，角速度為，為靜止參照系.顯然牽連速度與質(zhì)點的位置有關.二.

動系相對靜系作勻速轉(zhuǎn)動①速度變換則在靜止參照系

S

中的速度便是②加速度變換（設物體在轉(zhuǎn)動參照系中沿徑向加速運動）在時間內(nèi)，物體相對S

系的速度變化為相對加速度牽連加速度科里奧利加速度本章知識單元與知識點小結(jié)本章知識單元和知識點小結(jié)例：一物體沿傾角為θ的斜面下滑，設當物體相對斜面的速度大小為v’時，斜面對地的速度大小為V，求此時物體對地的速度大小和方向。xOy解：例：站臺上有一人，當火車開動時他在第一節(jié)車廂的最前面?；疖囎鰟蚣铀僦本€運動，開動后經(jīng)過Δt=24s時第一節(jié)車廂的末尾從此人前面通過。問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長時間?210x解：設每節(jié)車廂長為L，以地為參考系,以人所在點為原點建立圖示坐標o-x,以第一節(jié)車廂的前端為研究對象，t

=

0

時，前端點的坐標x=0，速度v=0，據(jù)勻加速運動公式：令

x=L，求得：

令x=6L，可求得第6節(jié)車廂尾端通過人時所需時間t6令x=7L，可求得第7節(jié)車廂尾端通過人時所需時間t7第7節(jié)車廂通過人所需時間：解：以木料和小船為研究對象，設靜系為河岸，動系為水流，則水流對河岸的速度即為牽連速度，船相對水的速度即為相對速度。以木料開始掉下處為坐標原點O,水流的順流方向為坐標的正方向，并設從發(fā)現(xiàn)木料掉下到追趕上木料所用的時間為t(小船從A到C點所用時間)，依據(jù)題意可得：例：一小船運載木料逆水而行,經(jīng)過某橋下時,一塊木料落入水中，經(jīng)過半小時后被人發(fā)覺，立即回程追趕，在橋下游5.0千米處趕上木料。設小船順流和逆流時相對水的劃行速率相等，求小船回程追上木料所需時間和水流速度。坐標系是用以標定物體的空間位置而設置的坐標系統(tǒng).坐標系是參照系的數(shù)學抽象.

直角坐標系平面直角坐標系平面極坐標系球坐標系柱坐標系為了對運動作定量描述,必須在參照系的基礎上建立坐標系.設水平圓盤繞其圓心勻角速轉(zhuǎn)動，一質(zhì)點沿圓盤徑向加速運動。質(zhì)點相對圓盤的速度和加速度分別為：②動系相對靜系作勻速轉(zhuǎn)動