大學(xué)物理- 運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)§1質(zhì)點(diǎn)參照系和坐標(biāo)系自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的形式多種多樣,最簡單和最基本的是物體的位置隨時(shí)間的變動(dòng),稱為機(jī)械運(yùn)動(dòng).力學(xué)是關(guān)于機(jī)械運(yùn)動(dòng)的理論,描述運(yùn)動(dòng)的部分稱運(yùn)動(dòng)學(xué),解釋運(yùn)動(dòng)的部分稱動(dòng)力學(xué).首先要解決的問題是如何確定物體的位置.顯然，只有不計(jì)物體的形狀和大小，其位置才能精確表示.我們把忽略了形狀和大小的物體稱為質(zhì)點(diǎn).質(zhì)點(diǎn)是實(shí)際物體的抽象，是理想化了的模型,突出了物體具有質(zhì)量和占有位置的主要屬性.條件：①物體作平動(dòng)②線度本身足夠小.任何一個(gè)真實(shí)的物理過程都是極其復(fù)雜的。為了尋找某過程中最本質(zhì)、最基本的規(guī)律，總是根據(jù)所討論的問題，對真實(shí)過程進(jìn)行簡化，忽略次要因素，抓住主要特征，把它抽象成一個(gè)可供數(shù)學(xué)描述的物理模型。運(yùn)動(dòng)是絕對的，但運(yùn)動(dòng)的描述具有相對性.同一運(yùn)動(dòng)物體，由于選擇的參照物不同，產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)結(jié)論也不相同.那些被選擇用來作為參照的物體稱為參照物.在參照物上配置了坐標(biāo)系和時(shí)鐘就構(gòu)成完整的參照系：參照物

+

坐標(biāo)系

+

時(shí)鐘坐標(biāo)系是用以標(biāo)定物體的空間位置而設(shè)置的坐標(biāo)系統(tǒng).直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系為了對運(yùn)動(dòng)作定量描述,必須在參照系的基礎(chǔ)上建立坐標(biāo)系.坐標(biāo)系是參照系的數(shù)學(xué)抽象.因?yàn)樗粌H可以定量表示物體的空間位置，同時(shí)也具有參照的作用.o§2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量1.位置矢量位移運(yùn)動(dòng)方程O路程P平均速度瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度是位置矢量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，其方向沿軌道的切線并指向前進(jìn)的一方。O2.速度平均速率瞬時(shí)速率如何正確理解瞬時(shí)速率？v

(t+Δt)Δvv

(t)r(t+Δt

)r(t)o加速度是速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；位矢對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),加速度的方向指向軌道曲線的凹側(cè)

.平均加速度瞬時(shí)加速度v

(t)v

(t+Δt)3.加速度§3在坐標(biāo)系中描述運(yùn)動(dòng)1.直角坐標(biāo)系例:

勻變速直線運(yùn)動(dòng)（為常數(shù)，且與同向或反向）沿v0方向建立坐標(biāo)系時(shí)，h解：以地面為參照建立坐標(biāo)系。地板與螺母的運(yùn)動(dòng)方程為：螺母落到地板時(shí)例：升降機(jī)以加速度上升，有一螺母自升降機(jī)的天花板松落，天花板與升降機(jī)的地板相距。求螺母自天花板落到底板所需的時(shí)間.例:在重力場中將一物體以初速度拋出，拋射角為

.

求：物體在任意時(shí)刻的速度；運(yùn)動(dòng)方程；軌道方程.解：

gxyv0O令，可得飛行時(shí)間：令,可得上升高度：把飛行時(shí)間代入得射程：

gxyv0OO拋體運(yùn)動(dòng)的矢量描述槍打落猴MonkeyandHunterMonkeyandHunter例：如圖所示，大炮向小山上的目標(biāo)開火，此山的山坡與地平線的夾角為

，試求發(fā)射角β為多大時(shí)炮彈沿山坡射得最遠(yuǎn)？解：建立坐標(biāo)系如圖所示.炮彈的運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)炮彈落于坡上距O為s位置處,則：聯(lián)立以上四個(gè)方程可得炮彈的飛行時(shí)間例：從一高塔上向同一鉛直平面內(nèi)的各個(gè)方向同時(shí)拋出許多小球,

初始速率相同,證明在任何時(shí)刻所有的質(zhì)點(diǎn)都在同一圓上.解：已知各質(zhì)點(diǎn)的初速率相同，但拋出時(shí)速度與水平方向夾角不同。取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，取所有質(zhì)點(diǎn)拋出的時(shí)刻為t=0。質(zhì)點(diǎn)拋出后其運(yùn)動(dòng)方程為：方程表示一個(gè)圓,圓心坐標(biāo)為,半徑為v0t.在任一時(shí)刻t

所有的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程,可見它們都在圓上.我們可以看出,這個(gè)圓是運(yùn)動(dòng)的,圓心是初速為0的自由落體,半徑

v0t隨時(shí)間不斷增大.若質(zhì)點(diǎn)在空中向四面八方拋出,上述的圓就變?yōu)榭臻g中的球面.

對于不同質(zhì)點(diǎn)相同而不同,在上兩式中消去,得到所有質(zhì)點(diǎn)都滿足的方程：yxv0v0例：在離水面高度為h的岸邊，有人用繩拉一小船在水面上向岸邊靠近，并以勻速v0收繩.求船與岸相距s時(shí)的速度和加速度.解：建立坐標(biāo)系，如圖所示t時(shí)刻繩長小船：并非收繩速度的投影2.極坐標(biāo)系方向大小方向大小可以證明角速度和角加速度都是矢量?！?/p>

極坐標(biāo)系中的圓周運(yùn)動(dòng)角速度:角加速度:角坐標(biāo):角位移:o【曲線的曲率和曲率半徑】①與成正比②與成反比平均曲率曲率直線的曲率：圓的曲率：圓的曲率與半徑成反比對一般曲線把曲率的倒數(shù)稱為曲率半徑，記作3.自然坐標(biāo)系

在質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上,任取一點(diǎn)o

作為坐標(biāo)的原點(diǎn).從原點(diǎn)o到軌跡曲線上任意一點(diǎn)P的弧長定義為P點(diǎn)的坐標(biāo)s

。規(guī)定：切向坐標(biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向的切向?yàn)檎?單位矢量為,法向坐標(biāo)軸沿軌跡的法向凹側(cè)為正,單位矢量為.s

o

P

位矢速度加速度Q

※自然坐標(biāo)系中的圓周運(yùn)動(dòng)角量與線量的關(guān)系RPO

P0sRPOP0s

natvaan解：①②例：一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為0.1米的圓周運(yùn)動(dòng)，其角坐標(biāo)隨時(shí)間

的變化規(guī)律為

,求①t

=

2s

時(shí)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。②角坐標(biāo)為何值時(shí),切向加速度等于法向加速度。靜止參考系o運(yùn)動(dòng)參考系o’研究對象

p絕對運(yùn)動(dòng)：物體相對靜止參考系的運(yùn)動(dòng).相對運(yùn)動(dòng)：物體相對運(yùn)動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng).牽連運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)系相對

于靜止系

的運(yùn)動(dòng).§4相對運(yùn)動(dòng)一.

動(dòng)系相對靜系作加速平動(dòng)重要情況：動(dòng)系相對靜系作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，牽連加速度為零。同一物體相對兩個(gè)參照系的速度不同，但加速度相同。他將速度增加一倍,

則感到風(fēng)從正西北方向吹來.

求風(fēng)速和風(fēng)向。例：

例:某人騎自行車以速率

vo

向東行駛。今有風(fēng)以同樣的速率由北偏西30°方向吹來。問：人感到風(fēng)是從那個(gè)方向吹來？解：地:基本參考系風(fēng):研究對象

人:運(yùn)動(dòng)參考系人感到風(fēng)是從北偏東30°方向吹來。h取螺母剛松落為計(jì)時(shí)零點(diǎn).升降機(jī)問題另解：靜系:地選對象:

螺母動(dòng)系:升降機(jī)建立坐標(biāo)系，列投影式解：河岸為靜系，水流為動(dòng)系，以人為研究對象。人對河岸的絕對速度為：，大小待求，方向在（1）問中垂直河岸，（2）問中待求。人對水的相對速度為：千米/小時(shí)，方向待求。水對岸的牽連速度為：千米/小時(shí)，方向沿河岸向東。依相互關(guān)系式可得如圖所示的幾何關(guān)系，由此可得：（1），例：某人在靜水中游泳的速度為3千米／小時(shí)，現(xiàn)在流速為2千米／小時(shí)的河水中游泳。問：（1）若此人想與河岸垂直地游到對岸，他應(yīng)向什么方向游？（2）他向什么方向游時(shí)，到達(dá)對岸歷時(shí)最短？（2）,當(dāng)時(shí)，到達(dá)對岸歷時(shí)最短。解：以岸為參考系，建立如圖坐標(biāo)系分別寫出船和艇的運(yùn)動(dòng)方程，令其坐標(biāo)相等，可得相遇條件。例:一條船平行于海岸航行，離岸距離為D，速率為V。一艘快艇從港口出發(fā)進(jìn)行攔截，快艇速率v<V，試證明快艇必須在船駛過海岸線上某點(diǎn)以前出發(fā)才行，該點(diǎn)離港口的距離為:艇船即消去時(shí)間,令得遇相遇條件：艇出發(fā)時(shí)：如圖，艇對船的速度當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)?shù)难娱L線過，則、相遇。若以船為參考，最小的

x

為何值？相遇條件：當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)?shù)难娱L線過，則、相遇。若以船為參考，最小的

x

為何值？艇對船的速度：艇出發(fā)時(shí)：一質(zhì)點(diǎn)相對圓盤的位矢為.若質(zhì)點(diǎn)相對圓盤以速度運(yùn)動(dòng)若質(zhì)點(diǎn)在圓盤中靜止不動(dòng)，則相對圓盤

的速度為設(shè)圓盤繞其圓心勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，為靜止參照系.顯然牽連速度與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān).二.

動(dòng)系相對靜系作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)①速度變換則在靜止參照系

S

中的速度便是②加速度變換（設(shè)物體在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中沿徑向加速運(yùn)動(dòng)）在時(shí)間內(nèi)，物體相對S

系的速度變化為相對加速度牽連加速度科里奧利加速度本章知識單元與知識點(diǎn)小結(jié)本章知識單元和知識點(diǎn)小結(jié)例：一物體沿傾角為θ的斜面下滑，設(shè)當(dāng)物體相對斜面的速度大小為v’時(shí)，斜面對地的速度大小為V，求此時(shí)物體對地的速度大小和方向。xOy解：例：站臺上有一人，當(dāng)火車開動(dòng)時(shí)他在第一節(jié)車廂的最前面?；疖囎鰟蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)，開動(dòng)后經(jīng)過Δt=24s時(shí)第一節(jié)車廂的末尾從此人前面通過。問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長時(shí)間?210x解：設(shè)每節(jié)車廂長為L，以地為參考系,以人所在點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)o-x,以第一節(jié)車廂的前端為研究對象，t

=

0

時(shí)，前端點(diǎn)的坐標(biāo)x=0，速度v=0，據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)公式：令

x=L，求得：

令x=6L，可求得第6節(jié)車廂尾端通過人時(shí)所需時(shí)間t6令x=7L，可求得第7節(jié)車廂尾端通過人時(shí)所需時(shí)間t7第7節(jié)車廂通過人所需時(shí)間：解：以木料和小船為研究對象，設(shè)靜系為河岸，動(dòng)系為水流，則水流對河岸的速度即為牽連速度，船相對水的速度即為相對速度。以木料開始掉下處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,水流的順流方向?yàn)樽鴺?biāo)的正方向，并設(shè)從發(fā)現(xiàn)木料掉下到追趕上木料所用的時(shí)間為t(小船從A到C點(diǎn)所用時(shí)間)，依據(jù)題意可得：例：一小船運(yùn)載木料逆水而行,經(jīng)過某橋下時(shí),一塊木料落入水中，經(jīng)過半小時(shí)后被人發(fā)覺，立即回程追趕，在橋下游5.0千米處趕上木料。設(shè)小船順流和逆流時(shí)相對水的劃行速率相等，求小船回程追上木料所需時(shí)間和水流速度。坐標(biāo)系是用以標(biāo)定物體的空間位置而設(shè)置的坐標(biāo)系統(tǒng).坐標(biāo)系是參照系的數(shù)學(xué)抽象.

直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系為了對運(yùn)動(dòng)作定量描述,必須在參照系的基礎(chǔ)上建立坐標(biāo)系.設(shè)水平圓盤繞其圓心勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)點(diǎn)沿圓盤徑向加速運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)相對圓盤的速度和加速度分別為：②動(dòng)系相對靜系作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)