離散型隨機(jī)變量的方差(不錯(cuò)的課件)20110321

離散性隨機(jī)變量的方差1溫故而知新1、離散型隨機(jī)變量X的均值〔數(shù)學(xué)期望〕2、均值的性質(zhì)3、兩種特殊分布的均值〔1〕假設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么〔2〕假設(shè)，那么反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2

復(fù)習(xí)

3如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)x1、x2的分布列如下：試比較兩名射手的射擊水平.x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？顯然兩名選手的水平是不同的,這里要進(jìn)一步去分析他們的成績(jī)的穩(wěn)定性.

探究

4方差定義一組數(shù)據(jù)的方差：方差反映了這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況在一組數(shù)：x1,x2,…,xn中，各數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，那么這組數(shù)據(jù)的方差為：類似于這個(gè)概念,我們可以定義隨機(jī)變量的方差..

新課

5離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差:則稱為隨機(jī)變量x的方差.一般地,若離散型隨機(jī)變量x的概率分布列為：············稱為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差.

定義

6它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，那么隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值.記憶方法:“三個(gè)x〞練習(xí)一下71.隨機(jī)變量x的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求Dx和σx.解：2.假設(shè)隨機(jī)變量x滿足P〔x＝c〕＝1，其中c為常數(shù)，求Ex和Dx.Ex＝c×1＝cDx＝〔c－c〕2×1＝0

練習(xí)

8練習(xí)一下結(jié)論1：則;結(jié)論2：假設(shè)ξ~B(n，p)，那么Eξ=np.可以證明,對(duì)于方差有下面兩個(gè)重要性質(zhì)：則

結(jié)論

91.隨機(jī)變量x的分布列為那么Ex與Dx的值為()(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.x~B(100,0.5),那么Ex=___,Dx=____,sx=___.E(2x-1)=____,D(2x-1)=____,s(2x-1)=_____x12P0.30.7D5025599100103、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占1％，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其次品數(shù)為X，求EX和DX.2，1.98

練習(xí)

10再看一例例2試比較兩名射手的射擊水平.如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)x1、x2的分布列如下：x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4如果對(duì)手在8環(huán)左右,派甲.

如果對(duì)手在9環(huán)左右,派乙.

思考

11例題：甲乙兩人每天產(chǎn)量相同，它們的次品個(gè)數(shù)分別為

，其分布列為

0123P0.30.30.20.2

012P0.10.50.4判斷甲乙兩人生產(chǎn)水平的上下？解答

例題

12E

=0×0.3+1×0.3＋2×0.2＋3×0.2=1.3E

=0×0.1+1×0.5＋2×0.4=1.3D=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3＋〔2－1.3〕2×0.2＋〔3-1.3)2×0.2=1.21結(jié)論：甲乙兩人次品個(gè)數(shù)的平均值相等，但甲的穩(wěn)定性不如乙，乙的生產(chǎn)水平高.期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高13例2:有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：在兩個(gè)單位工資的數(shù)學(xué)期望相等的情況下,如果認(rèn)為自己能力很強(qiáng),應(yīng)選擇工資方差大的單位,即乙單位;如果認(rèn)為自己能力不強(qiáng),就應(yīng)選擇工資方差小的單位,即甲單位.

例題

14課本第68頁(yè)習(xí)題2.3A組第1，5題課后作業(yè)15〔2〕假設(shè)，那么再回憶：兩個(gè)特殊分布的方差〔1〕假設(shè)X服從兩點(diǎn)分布，那么〔2〕假設(shè)，那么兩種特殊分布的均值〔1〕假設(shè)X服從兩點(diǎn)分布，那么16方差的性質(zhì)平移變化不改變方差，但是伸縮變化改變方差.均值的性質(zhì)推論：常數(shù)的方差為_______.017機(jī)動(dòng)練習(xí)117100.8====ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1則，～、已知==+=hxxhDD則，且、已知,138132183.假設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且E=6，D=4,那么此二項(xiàng)分布是。設(shè)二項(xiàng)分布為~B(n,p),那么E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/3194.有場(chǎng)賭博，規(guī)那么如下：如擲一個(gè)骰子，出現(xiàn)1，你贏8元；出現(xiàn)2或3或4，你輸3元；出現(xiàn)5或6，不輸不贏．這場(chǎng)賭博對(duì)你是否有利?對(duì)你不利!勸君莫參加賭博.205．隨機(jī)變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列．假設(shè)E(X)＝，那么D(X)的值是______．X－101Pabc21解析：a＋b＋c＝1.又∵2b＝a＋c，故b＝由E(X)＝故a＝D(X)＝答案：22對(duì)隨機(jī)變量X的均值(期望)的理解：(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均；(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，也就是說隨機(jī)變量X可以取不同的值，而E(X)是不變的，它描述的是X取值的平均狀態(tài)；(3)E(X)的公式直接給出了E(X)的求法．23(2023·衡陽(yáng)模擬)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有n件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)那么是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)品不放回箱子)，假設(shè)前三次沒有抽查到次品，那么用戶接收這箱產(chǎn)品；假設(shè)前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品．(1)假設(shè)這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的條件下，記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．24〔1〕利用古典概型易求.〔2〕X的取值為1、2、3，求出分布列代入期望公式.25【解】(1)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收〞為事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=26∴X的概率分布列為：X123P271．(2023·河南六市聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試．公司規(guī)定面試合格者可簽約．甲、乙面試合格就簽約；丙、丁面試都合格那么一同簽約，否那么兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求：(1)至少有三人面試合格的概率；(2)恰有兩人簽約的概率；(3)簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．28解：(1)設(shè)“至少有3人面試合格〞為事件A，那么P(A)＝(2)設(shè)“恰有2人簽約〞為事件B，“甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約〞為事件B1；“甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約〞為事件B2；那么：B＝B1＋B2P(B)＝P(B1)＋P(B2)29(3)設(shè)X為簽約人數(shù)．X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=30X01234P31(2023·貴陽(yáng)模擬)有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，其分布列如下：

32舉一反三1.某有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)設(shè)有A、B兩組相互獨(dú)立的問題，答對(duì)問題A可贏得獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，答對(duì)問題B可贏得獎(jiǎng)金6萬(wàn)元.規(guī)定答題順序可任選，但只有一個(gè)問題答對(duì)后才能解答下一個(gè)問題，否那么中止答題.假設(shè)你答對(duì)問題A、B的概率依次為、.假設(shè)你按先A后B的次序答題，寫出你獲得獎(jiǎng)金的數(shù)額ξ的分布列及期望值Eξ.ξ039p解析：若按先A后B的次序答題，獲得獎(jiǎng)金數(shù)額ξ的可取值為0,3(萬(wàn)元)，9（萬(wàn)元）.∵P（ξ=0）=,P（ξ=3）=,P（ξ=9）=.∴ξ的分布列為33題型二求隨機(jī)變量的方差【例2】編號(hào)1，2，3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)是X.〔1〕求隨機(jī)變量X的概率分布列；〔2〕求隨機(jī)變量X的期望與方差.ξ的數(shù)學(xué)期望為E〔ξ〕=34分析〔1〕隨機(jī)變量X的意義是對(duì)號(hào)入座的學(xué)生個(gè)數(shù)，所有取值為0,1,3.假設(shè)有兩人對(duì)號(hào)入座，那么第三人必對(duì)號(hào)入座.由排列與等可能事件概率易求分布列;〔2〕直接利用數(shù)學(xué)期望與方差公式求解.X013P解（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列為

(2)E(X)=D(X)=35舉一反三2.設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，每次任取1個(gè)，共取3次，并且每次取出后不再放回.假設(shè)用X表示取出次品的個(gè)數(shù).〔1〕求X的分布列；〔2〕求X的均值E(X)和方差D(X).學(xué)后反思求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟：〔1〕寫出X的所有取值；〔2〕計(jì)算P〔X=xi〕;(3)寫出分布列，并求出期望E(X)；〔4〕由方差的定義求出D(X).36解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列為

(2)X的均值E(X)和方差D(X)分別為E(X)=;D(X)=X012P37題型四期望與方差的綜合應(yīng)用【例4】(14分)〔2023·廣東〕隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而生產(chǎn)1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)〔單位：萬(wàn)元〕為ξ.(1)求ξ的分布列；〔2〕求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)〔即ξ的數(shù)學(xué)期望〕；〔3〕經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%,一等品率提高為70%,如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，那么三等品率最多是多少？38分析求ξ的分布列時(shí)，要先求ξ取各值時(shí)的概率.解〔1〕ξ的所有可能取值有6,2,1,-2……1′P(ξ=6)==0.63,…………………..2′P(ξ=2)==0.25,…………………..3′P(ξ=1)==0.1,…………………4′P(ξ=-2)=…………………..5′故ξ的分布列為

……………………7′ξ621-2p0.630.250.10.0239(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+〔-2〕×0.02=4.34………