【模擬測試】數(shù)學(xué)高考預(yù)測試卷及答案解析

高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

（時間120分鐘，滿分150分）

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合M={x[—4<x<2},N=則MDN=（）

A.{R-4cx<3}B.{x|-4cx<-2}

C.{x|-2<x<2}D,{x[2<x<3}

2.若復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=|4—3i],則z的虛部為（）

44

A.-B.-4C.--D.4

55

3.已知平面a,直線Wa,〃ua,貝ij“相〃?！笔恰?篦〃〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

'x+y<2

4.設(shè)x,>滿足<2x—3y?9,則（x+l『+y2的取值范圍是（）

x>0

A.[0,10]B.[1,10]C.[1,17]D.[0,17]

5.記S“為等差數(shù)列{4}的前〃項和.若4+%=24,S5=3O,貝可叫的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

6.已知a,b,c均為正實數(shù)，若2"=log2aL2“'=logJ,=iog2c.則（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

v2

7.已知雙曲線C：4—尤2=4（0>0）的一條漸近線經(jīng)過圓p：/+y2—2x—4y+4=0的圓心，則。的離

a

心率為（）

A,更B.石

2

D*

c.回

8.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：”三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一

半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走,

從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問第二天比第四天多走了

()

A.96里B.72里C.48里D.24里

9.已知函數(shù)/(x)=2sin2(x+f+Gsin(2x+m—1,則下列判斷正確的是()

A.7(x)圖象關(guān)于工=一對稱B./(x)為奇函數(shù)

6

c.f(x)的值域為[—3,1]D./(X)在0,-上是增函數(shù)

10.已知三棱錐0-A8C中，A,B,。三點在以。為球心球面上，若AB=3C=2,ZABC=120°,

且三棱錐0-ABC的體積為百，則球。的半徑為()

A.2B.5C.13D.V13

11.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點戶的直線與拋物線交于A、3兩點，且衣=2而，拋物線的準(zhǔn)線/

與x軸交于C，AACF的面積為8近，則|明=()

A.6B.9c.9cD.60

12.如圖1,在正四棱柱A5CO-4與￡〃中，E,尸分別是AB-的中點，則以下結(jié)論中不成立的

是()

A.2戶與8片垂直B.E戶與3。垂直

C.EF與CD異面D.Er與4G異面

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上)

13.某校共有高一、高二、高三學(xué)生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，為了解該校學(xué)生的身

體健康情況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生96人，則該樣本中的高三學(xué)生人

數(shù)為.

14.已知點P在曲線y=V一》上移動，設(shè)點p處切線的傾斜角為a,則角a的取值范圍是.

15.平面向量￡、否滿足(a+B){2a-B)=-4,且忖=2,網(wǎng)=4,則￡與B的夾角等于.

16.已知函數(shù)/(%)=，+。的一條切線為y=a(x+l),則ab的最小值為.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在AABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別是。，b,c,已知b=B/?=-,sC=-.

4CO5

(1)求c的值；

(2)求AA6c的面積.

18.如圖1所示，在直角梯形ABCO中，ZADC=90°,ABHCD,AD=CD=-AB=2,E為AC的

2

中點，將AACD沿AC折起，使折起后的平面ACO與平面ABC垂直，得到如圖2所示的幾何體D-ABC.

(1)求證：8CL平面ACO；

(2)點尸在棱CO上，且滿足AD〃平面孤產(chǎn)，求幾何體尸-BCE的體積.

19.改革開放以來，我國經(jīng)濟(jì)持續(xù)高速增長.如圖給出了我國2010年至2019年第二產(chǎn)業(yè)增加值與第一產(chǎn)業(yè)增

加值的差值(以下簡稱為：產(chǎn)業(yè)差值)的折線圖，記產(chǎn)業(yè)差值為y(單位：萬億元).

注：年份代碼1-10分別對應(yīng)年份2010-2019.

12345678910年份代碼t

(1)求出y關(guān)于年份代碼?的線性回歸方程;

(2)利用(1)中的回歸方程，分析2010-2019年我國產(chǎn)業(yè)差值的變化情況，并預(yù)測我國產(chǎn)業(yè)差值在哪一年約為

34萬億元；

(3)結(jié)合折線圖，試求出除去2014年產(chǎn)業(yè)差值后剩余的9年產(chǎn)業(yè)差值的平均值及方差(結(jié)果精確到0.1).

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：J-----------》=y—卯.樣本方差

2(河

/=1

1n_2_11010__10_2

公式：=一2(%一》).參考數(shù)據(jù)：>=高2?=10?8,￡hT(y-y)=i32,=211.6.

〃/=i1Ui=ii=ii=\

20.已知橢圓C:工+g=l(a>0>0)的離心率為斗，點￡,尸分別為其下頂點和右焦點，坐標(biāo)原點

為O,且△EOR的面積為0.

(1)求橢圓C方程；

(2)設(shè)直線/與橢圓相交于A,B兩點,若點尸恰為鉆的重心，求直線/的方程.

21.已知函數(shù)f(x)=x-lnx

(1)求f(x)的最小值；

(2)設(shè)，〃為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)"，(1+最")*(1+(卜…x1求機(jī)的最小值.

X=V2sina+V2cosa

rr(a為參數(shù)).經(jīng)過伸縮變換。:

(y=V2sina-v2cosa

x=——x

<2后，曲線G變?yōu)榍€a.

⑴求曲線G和曲線的普通方程；

(2)己知點尸是曲線。2上的任意一點，曲線G與X軸和>軸正半軸的交點分別為A,B,試求面

積的最大值和此時點P的坐標(biāo).

23.已知函數(shù)/(x)=|x+2］一2+4

(1)當(dāng)a=l時，畫出>=/(%)的圖象；

⑵若關(guān)于X不等式“X”3。有解，求。的取值范圍.

答案與解析

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合加={x|-4<x<2},N=7^|<O:,則A/UN=()

A.{x|-4cx<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-2<x<2}D.{x［2<x<3}

［答案］A

［解析］

［分析］化簡集合N,結(jié)合集合并集運算即可.

［詳解］解：?.?M={R_4<X<2},7V=jx|^|<oU{x|-2<x<3},

MuN={X-4<x<3},

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=|4—3i］,則Z的虛部為（）

44

A.-B.-AC.——D.4

55

［答案］C

［解析］

［分析］直接對（3+旬2=|4-3才化簡，求出z,從而可求出z的虛部

/、??55（3-4z）34

［詳解解由（3+4i）z=|4-3i|,得z=G=（3+4i）（3.4『次

,-4

:?z的虛部為一二.

故選：C.

3.已知平面a,直線wa,nua,則“加〃a”是“6〃〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］

L分析］利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合空間中線線位置關(guān)系以及線面平行的判定定理判斷可得出結(jié)論.

［詳解］因為機(jī)Ua，nua,當(dāng)加〃a時，加與〃平行或異面，即充分性不成立；

當(dāng)，〃//〃時，滿足線面平行的判定定理，成立，即必要性成立；

所以“mHa”是“的必要不充分條件.

故選：B.

'x+y<2

4.設(shè)x,>滿足2x—3yK9,則（x+lp+V的取值范圍是（）

x>0

A.［0,10］B.［1,10］C.［1,17］D.［0,17］

［答案］C

［解析］

［分析］由約束條件作出可行域，（x+lp+V的幾何意義為可行域內(nèi)動點與定點P（—l,0）距離的平方，由圖

即可求解取值范圍.

［詳解］解：由約束條件作出可行域如圖，

2x-3y=9/、

聯(lián)立《

x+y_2，解得A(3,—1),

（x+l）2+y2幾何意義為可行域內(nèi)動點與定點尸（-1,0）距離的平方,

由圖可知，可行域內(nèi)動點與定點尸（-L0）距離的最小值為儼。|=1,

最大值為|PA|=^/(-1-3)2+12=V17，

.?.(x++V的取值范圍是[117]

故選：C.

5.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若出+牝=24,$5=30,貝34｝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

［答案］c

［解析］

［分析］由已知%+%=24,55=30,列方程組求解即可

［詳解］解：因為等差數(shù)列｛4｝中，%+%=24,S5=30,

一、12q+7d=24

所以&+104=30,

解得”=4,卬=-2,

故選：C.

6.已知4,4C均為正實數(shù)，若2"=log2aL2"=logJ,（；）=iOg2C,貝女）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

［答案］C

［解析］

［分析］根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得0<a<g，g<b<l,l<c<2,由此可得答案.

［詳解］因為。>0,所以2">1，所以晦/>1=喧2,所以1〉2,所以0<”g；

因為b>0,所以0<2“<1，所以所以

22

因為c>0,所以<1，所以0<log2c<1,所以l<c<2,

\2）

所以

故選：C.

［點睛］本題考查了利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

v2

7.已知雙曲線。：4一/=4（。>0）的一條漸近線經(jīng)過圓月：/+v2-2人一4丁+4=0的圓心，則。的離

a

心率為（）

A.更B.75

2

C.VWD.叵

2

［答案］A

［解析］

［分析］

22

由題可知，先求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式」;-工=1,進(jìn)而得出漸近線方程，帶入圓心(1,2),求出a,4c,

4a24

帶入離心率公式即可得結(jié)果.

222

［詳解］因為雙曲線。：5—爐=4(。＞0),所以二—二=1,

a24a24

即焦點在y軸上的雙曲線，d=2a,b=2,則漸近線方程y=±區(qū)x=±ac,

b

圓尸：^+/一2x—4y+4=0,得。一1尸+(丁一2)2=1,圓心為(1,2),半徑為1,

由于漸近線經(jīng)過圓的圓心(1,2),圓心在第一象限，代入y=6得。=2,"=4,

又因為：c2=a'2+b2,得c=2書,

離心率6=，=拽=好.

a42

故選:A.

［點睛］本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及漸近線方程，離心率等，運用雙曲線的相關(guān)性質(zhì)特點，同時還考查

圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的圓心和半徑.

8.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：”三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一

半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走,

從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問第二天比第四天多走了

()

A.96里B.72里C.48里D.24里

［答案］B

［解析］

［分析］

人每天走的路程構(gòu)成公比為1的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為外,計算q=192,代入得到答案.

［詳解］由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為J的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為外,

3

'9I

則L」二378,解得％=192,從而可得生=192x—=96,牝=192x=24,故

I2

i—

2

a,-g=96-24=72.

故選：B.

［點睛］本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

9.已知函數(shù)/（幻=25立卜+高+小皿（2%+3—1,則下列判斷正確的是（）

7T

A.7a）的圖象關(guān)于x=一對稱B./（幻為奇函數(shù)

6

jr

c.f（x）的值域為［―3,1］D.在0,-上是增函數(shù)

［答案］A

1解析］

［分析］

利用降塞擴(kuò)角公式以及輔助角公式，將三角函數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，再對選項進(jìn)行逐一分析即可.

［詳解］/（x）=2sin2（x+f+百sin（2x+^）-l

=1-cosf2x+yj+也sinf2x+yj-1

=2可2x+f丁

2sin[2x+?).

因為/（m］=2sin［=2是該函數(shù)的最大值，故工=工是函數(shù)的對稱軸，故A正確;

16J26

因為/（-力=-2$42不一看卜一/（元）,

故該函數(shù)不是奇函數(shù)，故8錯誤;

因為2sin（2元+工卜［-2,2］,故“力的值域為［—2,2］,故C錯誤;

jl式冗54

由xw0,-,可得2x+/G,在此區(qū)間內(nèi)，正弦函數(shù)不單調(diào)，故。錯誤;

_3J6［_66_

綜上所述，正確的是A.

故選：A.

［點睛］本題考查利用降哥擴(kuò)角公式以及輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及正弦型函數(shù)性質(zhì)的求解，屬綜合性基

礎(chǔ)題.

10.已知三棱錐o—ABC中，A,B,。三點在以。為球心球面上，若/W=BC=2,NABC=120。，

且三棱錐0-ABC的體積為石，則球。的半徑為（）

A.2B.5C.13D.V13

［答案］D

［解析］

［分析］設(shè)AABC的外接圓的圓心為。I,半徑為「，由正弦定理求得，，由三棱錐體積求得。。，由勾股定

理得球半徑.

［詳解］解：如圖，抽取三棱錐0-ABC,設(shè)AABC1的外接圓的圓心為。|,半徑為「，

在△ABC中，AB^BC=2,ZABC=120°,

由余弦定理可得AC=AB?+BO?一2AB-BCcosNABC=2百，

由正弦定理可得2，=一——=2也_=4,解得r=2，

sinZABCsin120°

所以=’?AB,8C-sinNA8C='x2x2x^=6，

△謝222

又三棱錐0-ABC的體積為百，

所以%.ABC=；-50苑-001=；xGxOq=6,

故三棱錐0-ABC的高。Q=3,

所以球O的半徑為我+3?=V13-

故選：D.

ti

’r4/

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題考查棱錐的外接球問題，解題關(guān)鍵是掌握球的截面圓性質(zhì)，截面圓圓心以球心連線

和截面圓垂直.由勾股定理可得球半徑與截面圓半徑，球心到截面圓距離的關(guān)系.

II.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點E的直線與拋物線交于A、3兩點，且通=2萬，拋物線的準(zhǔn)線/

與X軸交于C,AACF的面積為8板，則|蝴=()

A.6B.9C.9&D.672

［答案JB

［解析］

［分析］

設(shè)點A(X1,yJ、網(wǎng)與,當(dāng)),并設(shè)直線的方程為x由衣=2而得X=-2%，將直線

的方程代入韋達(dá)定理，求得|x|，結(jié)合AACF的面積求得。的值，結(jié)合焦點弦長公式可求得MM.

［詳解］設(shè)點A(x”yJ、8(%,必)，并設(shè)直線A8的方程為x=+

將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，2,消去x得y2-2pmy-p2=0,

)2=2px

2

由韋達(dá)定理得y+%=2p〃?，y,y2=-p>

通=［1為，-%)，而=［吃',%)，Q器=2法，二-%=2%，??,=-2>2,

?,"%=-2￡=-22,可得聞=手〃,|x|=2|%|=及P，

拋物線的準(zhǔn)線/與X軸交于c-o

AACF的面積為』xpx&p=^p2=8a,解得，=4,則拋物線的方程為/=8x,

22

,32

所以'|陰=%1+/+〃=>；"+4=3~+〃=9?

故選：B.

［點睛］本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.

12.如圖1,在正四棱柱ABCD—AgGR中，E,歹分別是8G的中點，則以下結(jié)論中不成立的

是（）

A.防與垂直B.EF與BD垂直

C.所與CD異面D.E/與4G異面

［答案］D

［解析］

［詳解］如圖所示，連結(jié)48,由幾何關(guān)系可得點￡為48的中點，且5尸=尸￡,

由三角形中位線的性質(zhì)可得：EFPAJ,即EF與4G不是異面直線，

很明顯，EF與CZ）異面，

由幾何關(guān)系可得：AG-LBBpAG則EF1BBt,EF1BD,

綜上可得，選項。中的結(jié)論不成立.

本題選擇。選項.

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上)

13.某校共有高一、高二、高三學(xué)生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，為了解該校學(xué)生的身

體健康情況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生96人，則該樣本中的高三學(xué)生人

數(shù)為.

［答案］78

［解析］

［分析］由題意求出高三學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)高一學(xué)生的抽樣比計算高三抽樣人數(shù)即可.

［詳解］設(shè)學(xué)校有高三學(xué)生x人，則高二學(xué)生x+30人，(*+30)+480=1290,解得x=390人，該樣本

96

中的高三人數(shù)為——X390=78人.

480

［點睛］本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的基本運算能力，屬于中檔題.

14.已知點尸在曲線y=上移動，設(shè)點p處切線的傾斜角為a,則角e的取值范圍是.

［答案］°，,卜彳，萬

［解析］

［分析］求出導(dǎo)函數(shù)的值域后可得切線的斜率的范圍，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可求a的取值范圍.

［詳解］y=d-x,

y=3x2-i>-i,

tana>-1,

O<a<7r,

\3萬

.?.過P點的切線的傾斜角的取值范圍是ae0,yu—,n

故答案為：弓，方］

［點睛］本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線傾斜角的范圍的計算，一般地，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系是：直

線都有傾斜角，但不一定都有斜率.

15.平面向量滿足(。+孫僅4-6)=-4,且忖=2,網(wǎng)=4,則￡與石的夾角等于.

［答案號

［解析］

［分析］設(shè)的夾角為氏則利用題設(shè)條件可求cos6=g,從而可計算￡與行的夾角.

［詳解］解：由題設(shè)(a+B)(2a—B)=-4得8-16+。3=一4，故a4=4

41

所以兩向量夾角的余弦為——=一

2x42

兀

可求得兩向量夾角大小是一

3

TT

故答案為：一

3

16.已知函數(shù)/(x)=e*+Z?的一條切線為y=a(x+l),則"的最小值為.

［答案］一丁

Ie

［解析］

［分析］設(shè)切點為(根,〃)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程與己知切線方程建立等式得。。=片Ma，設(shè)

g,)=〃Ina再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得答案.

［詳解］設(shè)切點為(加,〃)，可得e"'+人=〃，

由函數(shù)/(x)=e*+Z?的導(dǎo)數(shù)/'(x)=e"

可得切線的斜率為e"'=a，且e'"+/?=a(根+1),

可得匕=alna,則。匕二宗后。，

設(shè)g(a)=a21na,a>Q,則g'(a)=a(21na+l),

當(dāng)0<a<+時，gr(a)<0,g(a)遞減：a>十時,gr(a)>0,g(a)遞增,

,、11

可得g(a)在a=一尸處取得最小值一丁，

1

故答案為:

2e

［點睛］本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，解題的關(guān)鍵點是利用導(dǎo)數(shù)再求切線方程與已知切線方程

建立等式，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,己知6=6，B=-,cosC=迪.

45

(1)求c的值；

(2)求AABC的面積.

［答案］(1)、歷；(2)答案見解析.

［解析］

［分析］(1)由cosC=^，求出sinC=蟲，再利用正弦定理可求得。的值；

55

(2)先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果

［詳解］解：(1)因為b=布,8=m，cssC=空,

45

所以sinC=^^,

5

bc

由正弦定理得

smBsinC

77V5

j?「5/5x—

故，

sinBV2

~T

⑵由余弦定理得cosC=——，

2ab

2\/5ci~+5-2

故----=——7=-，

52yj5a

整理得，4_4〃+3=0，

解得a=1或“=3,

1

-X]_

當(dāng)"1時，S^BC2IX"舟

2

當(dāng)a=3時，SA,?r=—acsinB=—x3xV2x^-=—

△ABC2222

18.如圖1所示，在直角梯形ABC。中，ZADC=90°,AB//CD,AD=CD=-AB=2,￡為AC的

2

中點，將AAC。沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直,得到如圖2所示的幾何體D-ABC.

(1)求證：8CJ■平面ACD：

⑵點尸在棱CZ)上，且滿足AD〃平面班廣，求幾何體尸-3CE的體積.

［答案］(1)證明見解析：⑵旦.

3

［解析1

［分析］(1)由已知條件可得AC2+BC2=AB2，從而有AC±BC,^AC中點￡,連接。E,則DE1AC,

再由面面垂直的性質(zhì)可得互>，平面ABC,則E￡>_LBC，而=所以由線面垂直的判定定理

可證得結(jié)論；

(2)當(dāng)尸為QC的中點時，可證得AD〃平面弼'，由(1)知，BC為三棱錐8—AC。的高，所以

VF-BCE=VR-CEF=2S^CEF'BC,從而可求得結(jié)果

［詳解J(l)證明：由圖1可知4C=BC=2a，

所以AC2+BC2=AB2,所以ACL3C,

取AC中點E，連接OE，則￡>E_LAC,又平面ACD_1"平面ABC,

又平面AC￡>D平面A5C=AC,D￡u平面AC。，所以EDI.平面ABC,

而BCu平面A8C,所以又AC_L8C,AC^ED=E,

所以3CL平面AC。；

(2)解：取0c中點連接E/,BF,因為E是AC的中點，所以砂〃AD,

又EFu平面BEF，ADZ平面所以AD〃平面8石尸，

由(D知，8C為三棱錐3—ACD的高，即為三棱錐3—CEE的高，

因為瓦廠分別為AC,。。的中點,

所以SKEF=WS/CD=1x萬x2x2=5,

所以VF-BCE=VH-CEF=1S“即.8C=gXgX2行=當(dāng)

19.改革開放以來，我國經(jīng)濟(jì)持續(xù)高速增長.如圖給出了我國2010年至2019年第二產(chǎn)業(yè)增加值與第一產(chǎn)業(yè)增

加值的差值（以下簡稱為：產(chǎn)業(yè)差值）的折線圖，記產(chǎn)業(yè)差值為y（單位：萬億元）.

注：年份代碼1-10分別對應(yīng)年份2010-2019.

12345678910年份代碼t

（1）求出y關(guān)于年份代碼t的線性回歸方程；

（2）利用（1）中回歸方程，分析2010-2019年我國產(chǎn)業(yè)差值的變化情況，并預(yù)測我國產(chǎn)業(yè)差值在哪一年約為

34萬億元;

（3）結(jié)合折線圖，試求出除去2014年產(chǎn)業(yè)差值后剩余的9年產(chǎn)業(yè)差值的平均值及方差（結(jié)果精確到0.1）.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：》=/=1街=5—標(biāo).樣本方差

2

1n__11010__10_

公式：益=一工（丁-y）2.參考數(shù)據(jù):y=—^y*=10,8,_y）=132,2=211.6.

n/=11Ui=ii=ii=i'

［答案］（Dy=L6/+2；（2）2010-2019年我國產(chǎn)業(yè)差值逐年增加，平均每年增加1.6萬億元，預(yù)測我國產(chǎn)業(yè)

差值在2029約為34萬億元；（3）平均值為10.8,方差為23.5.

［解析］

［分析］（1）求出回歸系數(shù)，求出回歸方程即可；

（2）根據(jù)》的值，即可分析變化情況，令1.61+2=34即可求解；

（3）結(jié)合折線圖求出平均值和方差即可.

［詳解］解：⑴由題意可得，i=1-x(l+2+3+…+10)=5.5,亍=10.8,工［一)=82.5,

10/=i'

犯T

/=1_____________________132

所以〃=-ioZ-825=1.6,

Z；=1M

故。=y-Br=10.8-1.6x5.5=2，

所以回歸直線為y=L6/+2；

⑵由⑴值，5=1.6>0，

故2010-2019年我國產(chǎn)業(yè)差值逐年增加，平均每年增加1.6萬億元，

令16+2=34,解得。=20,

故預(yù)測我國產(chǎn)業(yè)差值在2029約為34萬億元；

(3)結(jié)合折線圖，2014年產(chǎn)業(yè)差值為10.8萬億元，

除去2014年"=5時)產(chǎn)業(yè)差值外的9年的產(chǎn)業(yè)差值的平均值為Jx(10x10.8—10.8)=10.8,

又￡(%一亍丫=211.6，故除去2014年(f=5時)產(chǎn)業(yè)差值外的9年的產(chǎn)業(yè)差值的方差為

/=I'

?211.6-(10.8-10.8)2a23.5.

20.已知橢圓C:二+￡=l(a>b〉0)的離心率為孚，點￡,E分別為其下頂點和右焦點，坐標(biāo)原點

為。，且△EOF的面積為J5.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/與橢圓相交于A,3兩點，若點尸恰為△E48的重心，求直線/的方程.

22

［答案］(1)二+2=1;(2)0x+y-4=0.

64

［解析］

［分析J(l)根據(jù)橢圓離心率公式與的面積列方程求得b=2,即可求解方程；

—2—

(2)延長E廠交直線/于點。，由=-求得點。坐標(biāo)，再根據(jù)點差法列式可求得斜率從而求得直

3

線/的方程.

￡=也

a3

［詳解］解：(1)依據(jù)題意得，^bc=y/2,解得a=娓,b=2,c=&,

a2^b2+c2

所以橢圓。的方程為工+)-=l.

64

(2)延長EF交直線/于點。，

因為點尸為AEAB的重心，

所以點。為線段AB的中點，設(shè)。(x,y)

由點E(0,-2),川及,0),則訪=［而，所以(后,2)=|(x,y+2)得。［半,1

設(shè)A(X［，M),B(x2,y2),

則卜+“3及

〔X+%=2

f22

JJ

,64

由，2,

強(qiáng)+互=］

I64

得i)=。，

o4

所以30(%「々)+2(?—%)=0,

64

所以^^二上三二一夜，

王一々

所以直線/的方程為y—1=—&x~2),

即y/2x+y-4=0.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵求出點O坐標(biāo)，然后結(jié)合點差法求取直線斜率.

21.已知函數(shù)/(x)=x-lnx.

(1)求的最小值:

［1+4)<力，求機(jī)的最小值.

(2)設(shè)，〃為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)〃，+…x

［答案］⑴1;(2)2.

［解析］

1分析］(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求出最小值;

(1+妥)進(jìn)行放縮，最后利用裂項相消法

(2)由(1)可得，f(x)=%-lnxNl即InxKx—1,對此可以對In

求出tn的最小值.

［詳解懈：⑴，(x)=l-

XX

當(dāng)X€(O,1)時，r(x)<0,故/(X)在(0,1)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(i,+8)時，r(x)>o,在。,內(nèi))單調(diào)遞增；

故〃X)N/(I)=I,故f(x)的最小值為i.

(2)由(1)可得，/(x)=x-lnx21即InxWx—l,

所以對任意ZwN*,有l(wèi)n[l+￡)W1_44_22

上2-4左2((2%-1)(2々+1),2Z-12Z+1'

則In(l+!)+ln(l+?)+L+山(1+〃2卜13一5卜(5一7卜1+(2〃_1-2〃+1)'

即In(l+*)+ln(l+5)+L+ln(l+1、2222

—<---~~-<7)因為e?<8所以;<ln2，

nJ32T?+133

所以ln(l+委~卜(1+于上L+—)<ln2,所以(l+5)x(l+康卜Lx[l+J)<2.

又因為+(■卜Lx^l+—

故對任意正整數(shù)〃，[1+*卜(1+—jx...xfl+—j<m的整數(shù)”的最小值為2.

［點睛］本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求最小值問題，考查了通過放縮法求不等式恒成立時參數(shù)的

取值問題.

x=V2sin(7+V2cosa