2023-2024學年四川省綿陽市高三上學期12月月考數(shù)學（文）模擬試題（含解析）

2023-2024學年四川省綿陽市高三上學期12月月考數(shù)學（文）模擬試題一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．-12．已知，則（

）A．1 B． C． D．3．若拋物線的焦點到直線的距離等于，則（

）A．1 B．4 C． D．24．已知，則（

）A．25 B．5 C． D．5．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（

）A． B． C． D．6．在菱形中，若，則等于A．2B．－2C．D．與菱形的邊長有關7．過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．8．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．9．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．310．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果是（

）A． B． C．1 D．211．橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．12．設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．經(jīng)過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為．14．若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為．15．如圖所示，一隧道內(nèi)設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行車道總寬度AB為6米，則車輛通過隧道的限制高度是米（精確到0.1米）16．已知拋物線的焦點為，直線為：，設點為上的一個動點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點，則的最小值為．三?解答題：共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和．18．在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上.（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求a的值.19．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)已知分別為中角的對邊，且滿足，求的周長的最大值．20．已知長軸長為的橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，且以F1、F2為直徑的圓與C恰有兩個公共點.（1）求橢圓C的方程；（2）若經(jīng)過點F2的直線l與C交于M，N兩點，且M，N關于原點O的對稱點分別為P，Q，求四邊形MNPQ面積的最大值.21．已知函數(shù)．討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；若函數(shù)有兩個極值點，，證明：．（二）選考題：共10分．請考生在第22?23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．已知直線l經(jīng)過點P，傾斜角，在極坐標系下，圓C的極坐標方程為．（1）寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標方程；（2）設l與圓C相交于A，B兩點，求點P到A，B兩點的距離之積．[選修4-5：不等式選講]23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，．（1）當時，解不等式；（2）若對任意實數(shù)，的最大值恒為，求證：對任意正數(shù)，當時，．1．C【分析】根據(jù)題意得到圓心必在直線上，列出方程，即可求解.【詳解】由圓，可圓心坐標為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心必在直線上，即，解得.故選：C.2．C【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，求得，得到，即可求得，即可求解.【詳解】由復數(shù)，可得，所以.故選：C.3．D【分析】先將拋物線方程化為標準方程，進而得到焦點坐標，然后利用點到直線的距離求解.【詳解】拋物線的標準方程為，焦點坐標為，所以焦點到直線的距離為，解得，故選：D4．C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.5．A【分析】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關于關系式，即可求出結論.【詳解】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.本題以數(shù)學文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質(zhì)應用是解題的關鍵，屬于中檔題.6．B【詳解】試題分析：由題在菱形中，若，由，考點：向量的運算及幾何意義．7．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

8．D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D9．A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A10．C【分析】模擬運行程序，當為整數(shù)時，結束循環(huán)，輸出的值.【詳解】初始條件：，進行循環(huán)體，，，，不是整數(shù)，再進行循環(huán)體，，，，不是整數(shù)，再進行循環(huán)體，，，，是整數(shù)，結束循環(huán)，輸出，故選：C11．A【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.12．D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．13．【詳解】由題意設所求雙曲線的方程為，∵點在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即．答案：14．7【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因為，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當經(jīng)過A點時截距最大，此時z最大，由，得，，所以.故7.【點晴】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應用，涉及到求線性目標函數(shù)的最大值，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道容易題.15．3．2【分析】根據(jù)題意可以建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑥亩梢缘玫綊佄锞€的解析式，然后根據(jù)要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，可以得到當x=-3時，求出相應的y值，此時汽車的頂部離隧道的頂部距離至少是0.5m，從而可以求得車輛經(jīng)過隧道時的限制高度是多少米．【詳解】取拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標系，c（4，-4），設拋物線方程x2=-2py（p＞0），將點C代入拋物線方程得p=2，∴拋物線方程為x2=-4y，行車道總寬度AB=6m，∴將x=3代入拋物線方程，y=-2.25m，?∴限度為則車輛通過隧道的限制高度是3.2米.本題主要考查了二次模型的實際應用，解題的關鍵是理解題意.16．##4.5【分析】設切點為，，求導得到導函數(shù)，確定，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系，計算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計算最值即可.【詳解】設切點為，，，即，，則，整理得到，恒成立.設，，則，是方程的兩個根，，，則，當時，的最小值為.故答案為.關鍵點點睛：本題解題關鍵是利用拋物線的定義將用點的橫坐標表示，結合二次函數(shù)的性質(zhì)解決.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）根據(jù)題意，結合等差數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列的求和公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）證明因為，所以，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為2，公比為2．（2）解由（1）知，所以．所以．18．（1）（2）【分析】（1）求出曲線與坐標軸的三個交點，根據(jù)這三個交點在圓上可求出圓心坐標和半徑，從而可得圓的方程；（2）設A，B，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得，，根據(jù)得，化為，進而可解得.【詳解】（1）曲線與坐標軸的交點為(0，1)，(,0)，由題意可設圓C的圓心坐標為(3，)，∴，解得，∴圓C的半徑為，∴圓C的方程為.（2）設點A、B的坐標分別為A，B，其坐標滿足方程組，消去得到方程，由已知得，判別式①，由根與系數(shù)的關系得，②，由得.又∵，，∴可化為③，將②代入③解得，經(jīng)檢驗，滿足①，即，∴.本題考查了由圓上三個點的坐標求圓的方程，考查了直線與圓的位置關系、根與系數(shù)的關系，考查了運算求解能力，屬于中檔題.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可由周期公式求解，代入即可求解，（2）根據(jù)可得，即可由余弦定理結合基本不等式求解最值.【詳解】（1）因為最小正周期為，所以，解得，所以，所以．（2）由得，由余弦定理有，即（當且僅當時取“=”），故，即為等邊三角形時，周長有最大值20．（1）y2＝1（2）2（1）由題意可得的值及，再由，，之間的關系求出，進而求出橢圓的方程；（2）由（1）可得右焦點的坐標，由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，由題意可得四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積等于一個三角形面積的4倍，求出三角形的面積，由均值不等式可得面積的最大值．【詳解】解：（1）由題意可得，且，又，所以可得，，所以橢圓的方程為：；（2）由（1）可得右焦點，再由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程為，設，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得整理可得，所以，，由題意可得四邊形為平行四邊形，所以，當且僅當即時取等號，所以四邊形面積的最大值為．本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，及四邊形的面積公式及均值不等式的應用，屬于中檔題.21．(1)見解析(2)見解析【分析】先求出函數(shù)的導函數(shù)，通過討論a的范圍確定導函數(shù)的符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而判斷函數(shù)極值點個數(shù)；由可知當且僅當時有極小值和極大值，且，是方程的兩個正根，則，根據(jù)函數(shù)表示出，令，通過對求導即可證明結論．【詳解】解：函數(shù)，，，當時，，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，有極小值；當時，，故，在上單調(diào)遞減，故此時無極值；當時，，方程有兩個不等的正根，．可得，．則當及時，，單調(diào)遞減；當時，；單調(diào)遞增；在處有極小值，在處有極大值．綜上所述：當時，有1個極值點；當時，沒有極值點；當時，有2個極值點．由可知當且僅當時有極小值點和極大值點，且，是方程的兩個正根，則，．；令，；，在上單調(diào)遞減，故，．本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，注意分類討論思想的運用，屬于難題