2023-2024學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）模擬試題一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．-12．已知，則（

）A．1 B． C． D．3．若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離等于，則（

）A．1 B．4 C． D．24．已知，則（

）A．25 B．5 C． D．5．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（

）A． B． C． D．6．在菱形中，若，則等于A．2B．－2C．D．與菱形的邊長(zhǎng)有關(guān)7．過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．8．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．310．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是（

）A． B． C．1 D．211．橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為．14．若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為．15．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行車道總寬度AB為6米，則車輛通過(guò)隧道的限制高度是米（精確到0.1米）16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線為：，設(shè)點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為．三?解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，求a的值.19．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)已知分別為中角的對(duì)邊，且滿足，求的周長(zhǎng)的最大值．20．已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且以F1、F2為直徑的圓與C恰有兩個(gè)公共點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q，求四邊形MNPQ面積的最大值.21．已知函數(shù)．討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，傾斜角，在極坐標(biāo)系下，圓C的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．[選修4-5：不等式選講]23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最大值恒為，求證：對(duì)任意正數(shù)，當(dāng)時(shí)，．1．C【分析】根據(jù)題意得到圓心必在直線上，列出方程，即可求解.【詳解】由圓，可圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心必在直線上，即，解得.故選：C.2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，得到，即可求得，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以.故選：C.3．D【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)到直線的距離為，解得，故選：D4．C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.5．A【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6．B【詳解】試題分析：由題在菱形中，若，由，考點(diǎn)：向量的運(yùn)算及幾何意義．7．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

8．D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長(zhǎng).故選：D9．A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A10．C【分析】模擬運(yùn)行程序，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，結(jié)束循環(huán)，輸出的值.【詳解】初始條件：，進(jìn)行循環(huán)體，，，，不是整數(shù)，再進(jìn)行循環(huán)體，，，，不是整數(shù)，再進(jìn)行循環(huán)體，，，，是整數(shù)，結(jié)束循環(huán)，輸出，故選：C11．A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.12．D【分析】通過(guò)是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)椋?，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．在解決函數(shù)性質(zhì)類問(wèn)題的時(shí)候，我們通?？梢越柚恍┒?jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果．13．【詳解】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即．答案：14．7【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因?yàn)?，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，由，得，，所以.故7.【點(diǎn)晴】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.15．3．2【分析】根據(jù)題意可以建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，從而可以得到拋物線的解析式，然后根據(jù)要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，可以得到當(dāng)x=-3時(shí)，求出相應(yīng)的y值，此時(shí)汽車的頂部離隧道的頂部距離至少是0.5m，從而可以求得車輛經(jīng)過(guò)隧道時(shí)的限制高度是多少米．【詳解】取拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，c（4，-4），設(shè)拋物線方程x2=-2py（p＞0），將點(diǎn)C代入拋物線方程得p=2，∴拋物線方程為x2=-4y，行車道總寬度AB=6m，∴將x=3代入拋物線方程，y=-2.25m，?∴限度為則車輛通過(guò)隧道的限制高度是3.2米.本題主要考查了二次模型的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意.16．##4.5【分析】設(shè)切點(diǎn)為，，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算最值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，即，，則，整理得到，恒成立.設(shè)，，則，是方程的兩個(gè)根，，，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義將用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解決.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列的求和公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2．（2）解由（1）知，所以．所以．18．（1）（2）【分析】（1）求出曲線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)這三個(gè)交點(diǎn)在圓上可求出圓心坐標(biāo)和半徑，從而可得圓的方程；（2）設(shè)A，B，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)得，化為，進(jìn)而可解得.【詳解】（1）曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0，1)，(,0)，由題意可設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(3，)，∴，解得，∴圓C的半徑為，∴圓C的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A，B，其坐標(biāo)滿足方程組，消去得到方程，由已知得，判別式①，由根與系數(shù)的關(guān)系得，②，由得.又∵，，∴可化為③，將②代入③解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足①，即，∴.本題考查了由圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，即可由周期公式求解，代入即可求解，（2）根據(jù)可得，即可由余弦定理結(jié)合基本不等式求解最值.【詳解】（1）因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，解得，所以，所以．?）由得，由余弦定理有，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），故，即為等邊三角形時(shí)，周長(zhǎng)有最大值20．（1）y2＝1（2）2（1）由題意可得的值及，再由，，之間的關(guān)系求出，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）由（1）可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，由題意可得四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積等于一個(gè)三角形面積的4倍，求出三角形的面積，由均值不等式可得面積的最大值．【詳解】解：（1）由題意可得，且，又，所以可得，，所以橢圓的方程為：；（2）由（1）可得右焦點(diǎn)，再由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得整理可得，所以，，由題意可得四邊形為平行四邊形，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以四邊形面積的最大值為．本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，及四邊形的面積公式及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.21．(1)見解析(2)見解析【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；由可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值和極大值，且，是方程的兩個(gè)正根，則，根據(jù)函數(shù)表示出，令，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)即可證明結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有極小值；當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，故此時(shí)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等的正根，．可得，．則當(dāng)及時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，；單調(diào)遞增；在處有極小值，在處有極大值．綜上所述：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)．由可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，是方程的兩個(gè)正根，則，．；令，；，在上單調(diào)遞減，故，．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，注意分類討論思想的運(yùn)用，屬于難題