遼寧省錦州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

遼寧省錦州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含答案2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，滿分150分．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．3．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答題標(biāo)號；答非選擇題時，將答案寫在答題卡上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域或?qū)懺诒驹嚲砩蠠o效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）度A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角.【詳解】將直線的方程變形為，該直線的斜率為，因此，該直線的傾斜角為度.故選C.【點睛】本題考查直線的傾斜角，解題的關(guān)鍵就是求出直線的斜率，利用斜率與傾斜角的關(guān)系來求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.算盤是中國古代的一項重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤，取其兩檔（如圖一），自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)的個位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖二算盤表示整數(shù)51）.若撥動圖1的兩枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A.6 B.8 C.10 D.15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分類加法和分步乘法計數(shù)原理即可求得.【詳解】撥動兩枚算珠可分為以下三類（1）在個位上撥動兩枚，可表示2個不同整數(shù).（2）同理在十位上撥動兩枚，可表示2個不同整數(shù).（3）在個位、十位上分別撥動一枚，由分步乘法計數(shù)原理易得，可表示個不同整數(shù).所以，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共可表示個不同整數(shù).故選：B.3.如圖，在四面體中，M是棱上靠近O的三等分點，N，P分別是，的中點，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的基底表示，再利用向量線性運算求解作答.【詳解】在四面體中，N是的中點，則，又，而P是的中點，所以.故選：A4.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離等于雙曲線的實軸長，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得出關(guān)于的齊次等式，變形后可求得離心率．【詳解】不妨設(shè)，一條準(zhǔn)線方程為，即，所以，即，，所以．故選：A．5.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C.5 D.25【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的展開式中和項，即可求解作答.【詳解】展開式中項是與展開式中項相乘加上與展開式中項相乘的和，于是，所以所求系數(shù)為25.故選：D6.直線的方向向量為，且過點，則點到l的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量為，取直線的一個單位方向向量為，計算代入空間中點到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因為直線的方向向量為，所以取直線的一個單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.7.如圖，直三棱柱的所有棱長均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點，若點P到平面的距離，則點P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分【答案】D【解析】分析】如圖，作，做，連接.可證得及，則，據(jù)此可得答案.【詳解】如圖，作，做，連接.因幾何體為直三棱柱，則平面，又平面，則，又平面，平面，，則平面.又由題可得平面，則.因，，則.又平面EPD，平面EPD，，平面，平面，，則平面EPD平面.因平面平面EPD，平面平面，則.故，結(jié)合平面，平面，可得，則.又，則.由題又有，結(jié)合，則，即為點P到直線距離.故點P到定點距離等于點P到直線距離，則點P軌跡為拋物線的一部分.故選：D8.已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對的正負(fù)分類討論，去掉絕對值轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的曲線方程，根據(jù)的幾何意義利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，當(dāng)時，方程為，是雙曲線在第一象限的部分；當(dāng)時，方程為，不能表示任何曲線；當(dāng)時，方程為，是雙曲線在第三象限的部分；當(dāng)，方程為，是橢圓在第四象限的部分；其圖象大致如圖所示：的幾何意義是曲線上的點到直線的距離的兩倍，雙曲線的漸近線與平行，所以曲線在第一、三象限上的點到

的距離，由圖象可知直線與橢圓在第四象限的部分相切時，距離取得最小值，設(shè)切線為：且，由，可得，由，解得或（舍去），所以曲線在第四象限上的點到的距離.所以的取值范圍是：.故選：A.【點睛】(1)本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法．(2)解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在的展開式中，下列說法正確的有（）A.所有項的二項式系數(shù)和為256 B.所有項的系數(shù)和為1C.二項式系數(shù)最大的項為第4項 D.有理項共4項【答案】AB【解析】【分析】利用二項式定理以及展開式的通項，賦值法對應(yīng)各個選項逐個判斷即可．【詳解】選項A：所有項的二項式系數(shù)和為，故A正確；選項B：令，則，所以所有項的系數(shù)的和為1，故B正確；選項C：二項式系數(shù)的最大的項的上標(biāo)為，故二項式系數(shù)最大的項為第5項，故C不正確；選項D：通項為，，1，，8，當(dāng)，2，4，6，8時為有理項，共5項，故D不正確，故選：AB10.已知雙曲線：，P是該雙曲線上任意一點，，是其左、右焦點，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.的最小值為C.的最小值為1 D.若是直角三角形，則滿足條件的P點共4個【答案】BC【解析】【分析】由雙曲線的定義可判斷A；設(shè)，由兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，C；當(dāng)或與軸垂直時，直角三角形有個，以為直徑的圓與雙曲線有個交點可判斷D．【詳解】因為雙曲線：，則，，所以，因為，，所以或，故A不正確；設(shè)，，所以或，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，的最小值為，故的最小值為，故B正確；設(shè)，，所以或，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，的最小值為：.故的最小值為1，故C正確；當(dāng)或與軸垂直時，直角三角形有個，以為直徑的圓與雙曲線有個交點，直角三角形有個，則若是直角三角形，則滿足條件的點共個，故D錯誤；故選：BC.11.已知曲線，則下列結(jié)論正確的有（）A.曲線C關(guān)于原點對稱B.曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于C.曲線C不是封閉圖形，且圖形有漸近線D.曲線C上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】A選項，即判斷曲線上任意點關(guān)于原點的對稱點是否在曲線上；BC選項，由范圍可知曲線是否為封閉圖形，再由極限可知其漸近線；D選項，設(shè)曲線上一點坐標(biāo)為，即判斷最小值是否為2.【詳解】A選項，設(shè)在曲線上，其關(guān)于原點的對稱點為，則，即在曲線上，則曲線C關(guān)于原點對稱，故A正確；BC選項，由，可得，故，，則曲線C不是封閉圖形.又注意到時，，則曲線有漸近線；時，，則曲線有漸近線.故B錯誤，C正確；D選項，設(shè)曲線上一點坐標(biāo)為，則其到原點距離為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即曲線C上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為2，故D正確.故選：ACD12.已知邊長為的正三角形中，為中點，動點在線段上（不含端點），以為折痕將折起，使點到達(dá)的位置．記，異面直線與所成角為，則對于任意點，下列成立的是（）A.B.C.存在點，使得D.存在點，使得平面【答案】ABC【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷A選項；利用空間向量夾角的數(shù)量積表示可判斷B選項；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷C選項；利用反證法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，由圖可知，為銳角，故，A對；對于B選項，因為，因為，，所以，，因為、均為銳角且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，B對；對于C選項，，過直線作平面，使得平面，設(shè)，連接，因為平面，平面，則，在翻折的過程中，當(dāng)時，，故存在點，使得，C對；對于D選項，若平面，平面，則，，事實上，，矛盾，故假設(shè)不成立，D錯.故選；ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線，，若，則實數(shù)a的值是__________．【答案】【解析】【分析】對參數(shù)分兩類進(jìn)行討論，利用斜率相等即可求解.【詳解】依題意，當(dāng)時，直線為：，直線為：，此時與不平行，不符合題意；當(dāng)時，直線的斜率，直線的斜率，因為，所以，即，解得：，當(dāng)時，與重合，不符合題意，所以.故答案為：.14.已知向量，，是空間向量一組基底，，，，若A，B，C，D四點共面．則實數(shù)的值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點共面可得向量共面，進(jìn)而根據(jù)平面向量基本定理即可列等式求解.【詳解】由于A，B，C，D四點共面，所以存在唯一的實數(shù)對，使得,即，所以，故答案為：15.設(shè),且,若能被整除,則__________.【答案】1【解析】【分析】由,利用二項展開式可知只需能被整除整除即可,由的范圍即可得到結(jié)果.【詳解】,要使能被整除,則能被整除,又,,,解得.故答案為:.16.在中，，，，P為所在平面內(nèi)的動點，且，則面積的最大值是__________，的取值范圍是__________【答案】①.34②.【解析】【分析】根據(jù)，以為原點，分別為軸建系，由，可得的軌跡為圓，圓心為，半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)即可得到直線的最大值，即可得面積的最大值；設(shè)，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得，設(shè)，即將問題轉(zhuǎn)化為圓與直線有交點，可求的取值范圍，即得所求.【詳解】因為，，，，如圖以為原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，因為為所在平面內(nèi)的動點，且，則的軌跡為圓，圓心為，半徑為，因為，則要求面積的最大值，即點到直線的距離最大，又直線的斜率為，所以直線的方程為：，即，則點到直線的距離為：，點到直線的距離的最大值為，則，所以面積的最大值是；設(shè)，則，所以，設(shè)，即，可表示直線，又在圓上，則直線與圓有交點，所以圓心到直線距離小于或等于半徑，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為動點到圓上的點的最值問題，直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.電影《奪冠》講述了中國女排姑娘們頑強拼搏、為國爭光的勵志故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（1）女生必須坐在一起坐法有多少種？（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？（3）甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)采用捆綁法即可求解；(2)采用插空法即可求解；(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中即可；【小問1詳解】先將3個女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，與4個男生進(jìn)行排列，共有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，共有(種)排法；【小問2詳解】先將4個男生排好，有種排法，再在這4個男生之間及兩頭的5個空擋中插入3個女生有種方法，故符合條件的排法共有(種)；【小問3詳解】先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中有種排法，故符合條件的排法共有(種)；18.已知點，，，動點M滿足，記動點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）求過點N與曲線C相切的直線方程；（3）曲線C與圓相交于E，F(xiàn)兩點，求．【答案】（1）（2）和（3）【解析】【分析】（1）設(shè)出點，根據(jù)已知結(jié)合兩點間距離列式化簡即可得出答案；（2）分類討論過點N的直線方程斜率存不存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓相切的判定，即可得出答案；（3）根據(jù)兩圓方程相減得出直線所在的方程，即可根據(jù)圓的弦長求法得出答案.【小問1詳解】設(shè)，因為M滿足，所以，整理可得：，即．【小問2詳解】，點在圓外，①過點的直線斜率不存在時，直線方程為，與圓C相切，符合題意；②直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，由直線到圓心的距離得，即，解得，所以直線方程為整理得．綜上，過點N與圓C相切得直線方程為和．【小問3詳解】圓與圓相交于E、F兩點，兩個方程作差得直線所在的方程為，所以圓的圓心到直線的距離，所以．19.如圖，正方體的棱長為2，點E為的中點．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.（3）利用向量法求得點到平面的距離.【小問1詳解】如圖以點D為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，所以．【小問2詳解】設(shè)平面的一個法向量為，又，，則，令，則，又，則，所以直線與平面的正弦值為．【小問3詳解】點到平面的距離為，所以點到平面的距離為．20.動點到定點的距離比它到直線的距離小，設(shè)動點的軌跡為曲線，過點的直線交曲線于，兩個不同的點，過點，分別作曲線的切線，且二者相交干點．（1）求曲線的方程；（2）求證：；（3）求的面積的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）將動點到直線的距離轉(zhuǎn)化為到直線的距離，由拋物線的定義求解即可；（2）設(shè)過點的直線方程，與曲線方程聯(lián)立，得到，，再分別求出過，的切線和點坐標(biāo)，證明即可；（3）由拋物線定義求出焦點弦長，由知，即到的距離，由進(jìn)行計算，并求出最小值即可.【小問1詳解】∵動點到定點的距離比它到直線的距離小，∴動點在直線上方，且動點到定點的距離等于它到直線的距離，∴由拋物線定義，動點的軌跡曲線是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，∴曲線的方程為．【小問2詳解】∵過點的直線交曲線于，兩個不同的點，∴該直線斜率存在，設(shè)其方程為，由，消去，整理得（），設(shè)，，則，，∵，∴，∴曲線過的切線的斜率，（也可以設(shè)切線方程為與拋物線方程聯(lián)立，令求切線斜率）∴曲線過的切線：，即，同理可求得曲線過的切線：，由，解得，即，∴，又∵，∴，∴，∴.【小問3詳解】由（2）及拋物線定義，，由（3）∵，∴點到的距離，∴的面積，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運算能力等，通常采用設(shè)而不求的方法，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，借助韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），結(jié)合題目中的幾何背景進(jìn)行求解.21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，Q為的中點，M是棱上的點，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求異面直線與所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點M，使二面角大小為？若存在，請指出點M的位置，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，點M位于靠近點C的四等分處【解析】【分析】（1）由面面垂直證平面，再證平面平面；（2）以Q為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由向量法求線線角；（3）設(shè)，，由向量法利用二面角建立方程求解.【小問1詳解】證明：因為，，Q為的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以．所以，即．又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．平面，所以平面平面．【小問2詳解】由（1）知平面，且平面，平面，則，．又，Q為的中點，所以．以Q為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，由，，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦．【小問3詳解】假設(shè)存在點M，設(shè)且，得，所以，又，設(shè)平面法向量為，所以，令，則，，則．由（2）知平面的法向量為