2023年廣西貴港市港南高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，且“。一尸(幻=111(1+幻一111(1一劃一匚，，若對7%6，,；],|/3+11<|/(%-1)|

恒成立，則。的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-4,-1)C.(-3,0)D.(-4,0)

2,已知數(shù)列｛4｝是公比為q的等比數(shù)列，且為,為%成等差數(shù)列，則公比夕的值為()

1一1-1

A.一一B.-2C.一1或一D.1或---

222

3.設(shè)i是虛數(shù)單位，aeR,史竺=3—2"則。=()

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

4若1,3,3^e[2,3],使得/(xj?g(￡),則實(shí)數(shù)4的取值范圍

4.已知函數(shù)/(元)=1+一送(%)=2，+0,

是()

A.a<\B.a>l

C.a<0D.a>Q

5.復(fù)數(shù)z=(2+i)(l+i)的共朝復(fù)數(shù)為()

A.3-3zB.3+3iC.l+3zD.l-3z

6.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若q=5,S9=81,則如)=()

A.23B.25C.28D.29

7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+?)上單調(diào)遞增的是()

A.y=\[xB./(x)=xsinxC./(^)=^+|x|D.y=|x+l|

sinlx+—I,XG2左4一,，2左4+,J(&Gz),

8.己知函數(shù)y=,的圖象與直線y=m(x+2)(m>0)恰有四個(gè)公共

C74C73冗/7、

-sinx-\——,XG2斯+—，2癡+——(KGz),

I2)22)

點(diǎn)4(玉,川,5(石,%),。.(七,%)，。(%4，%)，其中玉<%2<%3<工4，則(/+2加11%=()

B

A.-1B.0C.1D.—+2

2

9.函數(shù)f(x)=sin(wx+0)(w>O,M|v彳)的最小正周期是n,若將該函數(shù)的圖象向右平移弓個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象

7T

關(guān)于直線*=二對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為()

2

TT7T

A.f(x)=sin(2x+-)B.f(x)=sin(2x—y)

TTJI

C.f(x)=sin(2xd—)D.f(x)=sin(2x——)

66

10.某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平，實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對指導(dǎo)形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師

都有一位老教師指導(dǎo)，現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對方式共有()種.

A.360B.240C.150D.120

11.集合A=｛x[x>2,xeR｝,8=卜產(chǎn)一2X-3>()｝,則Afl8=()

A.(3,+00)B.(-00,-DU(3,a)C.(2,+00)D.(2,3)

,,fx-(zy+3>0

12.已知y=ox+b與函數(shù)/(x)=21nx+5和g(x)=/+4都相切，則不等式組〈「。，、所確定的平面區(qū)域在

x+by-2>0

/+/+2%一2'一22=0內(nèi)的面積為()

A.2兀B.3兀C.6"D.124

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

n

13.曲線y=xcosx在x=]處的切線的斜率為.

14.記S“為等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，已知出=-2,53=?2+3?M則q=.

15.函數(shù)，。)=|/一1|+/+履+9在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是.

22

16.已知K分別是橢圓c：=+二=1(。>。>0)的左、右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)”的直線與橢圓C交于A、B兩

ah

點(diǎn)，且|AFJ|=3|%|,|AB|=|3用，則橢圓的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝滿足％=1,公差4>0,等比數(shù)列也｝滿足a=q,b2=a2,%=%.

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

⑵若數(shù)列｛%｝滿足￡+*今+…+*4川，求｛%｝的前〃項(xiàng)和S“.

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)尸(0,6),曲線C：1*=夜cosa(夕為參數(shù))以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

'7[y=2sin?

軸正半軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為pCOS^-^=y.

(I)判斷點(diǎn)P與直線/的位置關(guān)系并說明理由；

11

(U)設(shè)直線與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,求網(wǎng)+兩的值.

2

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln(2x+a)曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線在丁軸上的截距為ln3—§.

(1)求a；

2x

(2)討論函數(shù)g(x)=/(x)-2x(無>0)和h(x)=f(x)-------(x>0)的單調(diào)性；

2x+l

2/5—2"”1

(3)設(shè)4=不，。,用=/(a.)，求證：———<—-2<o(n>2).

a

3,n

20.(12分)已知橢圓。：1+與=13>8>0)的左右焦點(diǎn)分別是耳，罵，點(diǎn)P(l,g)在橢圓C上，滿足西?至=之

4N/A

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線4過點(diǎn)P,且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線4與〃的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)M,N,與

直線x=l交于點(diǎn)K(K介于兩點(diǎn)之間)，是否存在直線％,使得直線心4，PM，PN的斜率按某種排序能構(gòu)

成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.

21.(12分)已知等差數(shù)列加/的前〃項(xiàng)和為S”，且勺+%=加，*=24

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列/當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和7“.

x-t

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系直萬中，直線/的參數(shù)方程為1二(/為參數(shù))，直線/與曲線C:(x—lf+y2=i交于

A、8兩點(diǎn).

(1)求|AB|的長;

(2)在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)”

的距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得/(x),/'(x),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)“X)是奇函數(shù)，

所以函數(shù)/'(%)是偶函數(shù).

2

/(-x)-f\-x)=ln(l一％)-ln(l+x)-----豆,

2

即一f(%)-f\x)=ln(l-x)-ln(l+x)---r,

l-x-

2

又/(幻一/(x)=ln(l+x)-ln(l-幻一-_￡,

1-x

2

所以/(x)=ln(l+幻-ln(l—x),f\x)=-_7.

［一r

2

函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1),所以/(%)=；-7>0,

1-x

則函數(shù)/(X)在(-1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù),又在(0,1)上，

/(%)>/(0)=0,所以|/(x)|為偶函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增.

Ltr+ll<|X-1|11

可得對4匕9恒成立'

,2,

|ax+l|<1-x1—<a<一1

x對xej，3恒成立,,

則2八

——<?<02?62

x——<a<0

x

—3<a<-l

得

-4<a<0

所以。的取值范圍是(—3,—1).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.

2.D

【解析】

由小，a3,a2成等差數(shù)列得2a3=a1+a2,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開即可得到公比q的方程.

【詳解】

由題意2a3=a1+a?,.".2a,q2=a|q+a,,.*.2q2=q+l,；.4=1或4=-3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟

練.

3.C

【解析】

由士絲=3—2i,可得5+切=(a+z)(3-2i)=3a+2+(3-2a)i,通過等號左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出a的

a-\-i

值.

【詳解】

解：?.?^^=3—2".,.5+ai=（a+i）（3—2i）=3?+2+（3—2a）i

a+i

5=3。+2

,解得：a=\.

3—2。=。

故選:c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運(yùn)算類問題，易錯(cuò)點(diǎn)是把i2當(dāng)成1進(jìn)行運(yùn)算.

4.C

【解析】

試題分析：由題意知，當(dāng)占6-,3時(shí)，由/(x)=x+?22k-2=4,當(dāng)且僅當(dāng)》=二時(shí)，即x=2等號是成立，

所以函數(shù)/(X)的最小值為4,當(dāng)馬?2,3]時(shí)，g(x)=2'+a為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g"%”=g(2)=a+4,又因

為1,3，切e[2,3],使得了(xjig優(yōu))，即“X)在xe1,3的最小值不小于g(x)在xe[2,3]上的最小

值，即0+444,解得“40,故選C.

考點(diǎn)：函數(shù)的綜合問題.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱

命題與存在命題的應(yīng)用等知識點(diǎn)的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的

能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為“X)在XG；,3的最小值不小于g(x)在xe[2,3]上的最小

值是解答的關(guān)鍵.

【解析】

直接相乘，得l+3i,由共甄復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果

【詳解】

Vz=(2+0(1+0=1+3/

???其共機(jī)復(fù)數(shù)為l-3i.

故選：D

【點(diǎn)睛】

熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共朝復(fù)數(shù)的性質(zhì).

【解析】

由59=81可求生=9,再求公差，再求解即可.

【詳解】

解：?:{4}是等差數(shù)列

S9=9%=81

，%=又

9,a4=5,

公差為d=4,

aw=%+6d=29,

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：y=J7為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

B：/（力=%而%在（0,+。）上不單調(diào)，不符合題意；

C：丁=/+|尤|為偶函數(shù)，且在（0,+"）上單調(diào)遞增，符合題意；

D：y=|x+l|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

先將函數(shù)解析式化簡為y=|cosx|,結(jié)合題意可求得切點(diǎn)5及其范圍尤46、，不，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得

(%+2)12!1%的值.

【詳解】

_.71_,71

2K7T------,2k7VT——(kez),

I2j22)

函數(shù)y=<

-sinx+-,xeIk7t+—,Ikn+—(kez),

l222

即y=|cosx|

直線y=m(x+2)("?＞0)與函數(shù)y=|cosx|圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象知直線y=機(jī)(x+2)(加＞0)與函數(shù)

’.一(兀

y=-8sx相切于％,x4e\-,7r

因?yàn)閥'=sinx,

,.-cosx4

故Z=sinx4=—,

sinx22)x&=t

所以(Z+2)tanx4=(%+2)x4

cos%

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.

9.D

【解析】

由函數(shù)的周期求得w=2,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線x=g對稱，得到2x工+8-工=k;r+-,由此求得滿

2232

足條件的。的值，即可求得答案.

【詳解】

Ji7LIIJi

分析：由函數(shù)的周期求得(0=2,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線x=上對稱，得到2x"+(p-2=k7T+'，由此求

2232

得滿足條件的＜P的值，即可求得答案.

詳解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(3x+(p)的最小正周期是兀，

27r

所以一=無，解得3=2,所以f(x)=sin(2x+(p),

(D

將該函數(shù)的圖像向右平移￡個(gè)單位后，

6

得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2|x-y|+(p=sin|2x+(p-^|,

TT

由此函數(shù)圖像關(guān)于直線x=±對稱，得：

2

7T7TJTTT

2x—+(p——=k7t+—,即(p=k7i——,kGZ,

2326

取k=0,得=滿足|<p|<W，

62

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(2xq}故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到

TT

y=sin(2x+e-§),再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

10.C

【解析】

可分成兩類，一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對，其他一新一老結(jié)對，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，一個(gè)老

教師帶一個(gè)新教師，分別計(jì)算后相加即可.

【詳解】

分成兩類，一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對，有C；A；=6()種結(jié)對結(jié)對方式，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教

師，有受試=90.

2!

二共有結(jié)對方式60+90=150種.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對這個(gè)事情，是先分類還是先分步，確定方法后再

計(jì)數(shù).本題中有一個(gè)平均分組問題.計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò).兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為空

2!

11.A

【解析】

計(jì)算B=(—,—1)U(3,+S),再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】

B-I%!%2—2x-3>0j=(-<?,—l)u(3,+oo),A={x[x>2,xe7?},故AnB=(3,+oo).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡單題.

12.B

【解析】

根據(jù)直線>=斯+人與/(%)和g(x)都相切，求得a力的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓

x2+y2+2x-2y-22^0,由此求得正確選項(xiàng).

【詳解】

22

/(x)=—，g'(x)=2x.設(shè)直線y=ax+。與“X)相切于點(diǎn)A(Xo,21nx0+5),斜率為一，所以切線方程為

X/

22.21?1|1

y-(21n/+5)=—(X—/),化簡得y=-x+21nx0+3①.令g(x)=2x=—,解得x=—,g—=—+4,

X。玉)/龍oI%J*o

12，］、211

所以切線方程為y——+4=—x――，化簡得,=-x--r+4②.由對比系數(shù)得21n/+3=_f+4,

X0<X0J“0X。x0

化簡得21n%)+4一l=O③.構(gòu)造函數(shù)〃(x)=21nx+■4—l(x>O),"(6=2-3=乂上羋二'L所以人(同在

玉)XXXX

(0,1)上遞減，在(1,內(nèi))上遞增，所以〃(力在x=l處取得極小值也即是最小值，而〃⑴=0,所以力(x)=0有唯一

x-ay+3>0x-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解.%=1.所以切線方程為、=2工+3.即。=2/=3.不等式組<,即《

x+/?y-2>0x+3y-2>0

畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓f+V+2x—2y—22=0可化為(x+lp+(y—1)2=24,圓心為A(—1,1).而方程

x-2y+3=0\x=~]|x-2y+3>0

組(J.八的解也是,.畫出圖像如下圖所示，不等式組/c，、所確定的平面區(qū)域在

x+3y-2=0[y=l[x+3y-2>0

Y+V+2%一2y-22=0內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線x-2y+3=0的斜率為；，直線x+3y-2=0的斜率

11

—

為1.所以tanNB4C=tan(NA￡D+NADE)=$-二--j=l,所以/氏4。=色，而圓A的半徑為@=2?，所

31——x-?

23

以陰影部分的面積是gx?x僅甸2=3萬.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考

查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

16兀

lu?------------

26

【解析】

7T

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令x=即可求出切線斜率.

【詳解】

,/y=/(%)=xcosx,

/r(x)=cosx-xsinx,

即曲線^=%以為工在》=三處的切線的斜率上=_1一叵

326

故答案為：1.一叵

26

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.——

2

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，求解即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為4,

S3=a、+3al,。鼻=2q,..q~=2,

a5——4a,=—2,ax——.

故答案為：-

2

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

對函數(shù)零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】

由題：函數(shù)/（外=|一一1|+/+自+9在區(qū)間（0,3）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

10

,X2+|X2-1|+9工”(0川

k——v

x2x+-,xe(l,3)

--,XG(0,1]

等價(jià)于函數(shù)y=-Z,g（x）X

Q恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

2x+—,xG(1,3)

X

作出大致圖象:

所以左---

故答案為：k,-8^j

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對函數(shù)零點(diǎn)問題恰當(dāng)變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形

結(jié)合求解.

16加

10.-----

5

【解析】

設(shè)忸制=左,則|A用=3攵,|A卻=忸國=4攵,由忸制+忸閭=|A浦+|4閭=2”知，5Z=2a,|A周=2%,作

BC1AF2，垂足為C,則C為入鳥的中點(diǎn)，在&A48c和人4耳居中分別求出cosNBA居，進(jìn)而求出c,%的關(guān)系式，即可

求出橢圓的離心率.

【詳解】

如圖,設(shè)忸用“，則%|=4&,

由橢圓定義知，忸耳|+忸聞=|紳|+|伍|=2,

因?yàn)殁钪?忸閭=5%，所以5左=2a,|A聞=24,

作BCLAF?,垂足為C,則C為AF2的中點(diǎn),

在RtAABC中，因?yàn)閆BCA=90°,

國

所以acrki,

cosZBAC==-=—=—

ABAB4k4

在入4耳用中，由余弦定理可得,

一二嗎轆料q

即")2+(2獷-4c2

=_L解得c四,

2x3kx2k42

Vio,

k

c2回

所以橢圓的離心率為e

a5k

2

故答案為:典

5

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于

中檔題、常考題型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n

17.(l)a?=2/1-1,bn=y-';(2)s?=3.

【解析】

(1)由q=1,公差d>0,有1,I+d,l+4d成等比數(shù)列，所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.進(jìn)而求出數(shù)列{q},

也｝的通項(xiàng)公式；

⑵當(dāng)〃=1時(shí)，由*=々，所以4=3,當(dāng)〃..2時(shí)，由*+菅+.+…+?=。，川，?+暮+今+…+^

'/仇瓦b24bnUb2b.%

可得c.=2?3"T,進(jìn)而求出前?項(xiàng)和S”.

【詳解】

解：(1)由題意知，6=1,公差d>0,有1,\+d,l+4d成等比數(shù)列，

所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。，=2〃-1.

數(shù)列也｝的公比4=3,其通項(xiàng)公式bn=3"T.

(2)當(dāng)“=1時(shí)，由￡=%,所以G=3.

當(dāng)〃22時(shí)，由?+?+今+…+務(wù)=%+i，?+皂+也+…+^/，

b\b2&b,b、b2bybn_,

兩式相減得子=%+「4,

b”

所以C“=23'T.

3,H=1

^Cn=[2-3n-',n>2

所以｛%｝的前"項(xiàng)和S“=3+2X3+2X32+2X33+--+2X3"T

3X(1-3"Ty

=3+2」-----L=3",n>2.

1-3

又〃=1時(shí)，5,=67,=3',也符合上式，故S“=3".

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，方程思

想，分類討論思想，應(yīng)用意識，屬于中檔題.

18.(I)點(diǎn)P在直線/上；見解析(II)/+康=舊

【解析】

(I)直線/：2pcos=百，即6pcose+psine=G所以直線/的直角坐標(biāo)方程為小+y=百,

因?yàn)镚xO+6=6,所以點(diǎn)P在直線/上;

(D)根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.

【詳解】

(I)直線/：2pcos[o-^\=y/3,即百/?cos6+/?sine=G,

所以直線/的直角坐標(biāo)方程為瓜+y=百,

因?yàn)榘賦O+6=6,

所以點(diǎn)P在直線/上;

1

X——t

2

直線/的參數(shù)方程為〈廠為參數(shù)),

(D)烏a

)=6+

2

29

曲線。的普通方程為爭『I,

將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得5產(chǎn)+12,-4=0，

設(shè)兩根為4，，2，所以f]+f2=一~~9E[?4=—g<。,

故。與％異號，

所以|PA|+|PB|=M-胃=J(：+f2)2-4V2=

|尸山.|尸耳=用也|=—%,

1\PA\+\PB\

所以河+網(wǎng)_歸川療卻=V14.

【點(diǎn)睛】

本題考查在極坐標(biāo)參數(shù)方程中方程互化，還考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

19.(1)a=l(2)g(x)=/(%)-2x(x>0)為減函數(shù)，h(x)=f(x)——「(x>0)為增函數(shù).(3)證明見

1+2%

解析

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),求出切線方程，令尤=()得切線的縱截距，可得。(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；

5-2,,+|1■?”

(3)不等式一^<一一2變形為0“<*-,由g(x)遞減，得g(x)>g(0)=0(x>0),即〃x)<2x,即

2a”5

4=/(2%+1)<2%,依次放縮，4<2%a-<???<2"%=、.

1?r

不等式一一-------遞增得

2<0,h(x)=f(x)A(x)>/z(0)(x>0),

+先證,_2=7二一2<0,然后同樣放縮得出結(jié)論.

2x+lf(x)2x以x)2[x)%/(q)

【詳解】

2

解:(1)對〃x)=ln(2x+a)求導(dǎo),得/(工)=二——.

2

因此八1)=T—.又因?yàn)?⑴=ln(2+a),

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為

2

y-ln(2+a)=------(x-1),

22

即>=----x+ln(2+a)--------.

2+。2+a

22

由題意，ln(2+a)--------=In3—,

2+Q3

顯然。=1,適合上式.

2

令(p(a)=ln(2+a)--------(a>0),

求導(dǎo)得“(a)=>0,

2+。(2+a)

因此。(。)為增函數(shù)：故。=1是唯一解.

2%

(2)由(1)可知，g(x)=ln(2x+l)-2x(x〉0),〃(x)=ln(2x+l)----:—(x>0),

2x+l

所以g(x)=/(x)-2x(x>0)為減函數(shù).

因?yàn)椤?x)>0,

2x+l(2x+l>(2x+l)

2x

所以h(x)=f(x)一——(x>0)為增函數(shù).

l+2x

2

(3)證明：由弓=1，4+1=/(%)=ln(2a,,+l),易得％〉0.

5-2,,+|J-2=4<二

2"an5

由（2）可知，8（%）=/（%）-2犬=111（2犬+1）-2X在（（）,+8）上為減函數(shù).

因此，當(dāng)x>()時(shí)，g(x)<g(O)=O,即/(x)<2x.

令x=a,-(〃22),得/(??_])<%,i,即an<2an_].

2"

因此，當(dāng)〃22時(shí)，a<2a?_<22a_<■■<2"-'a

n1n2}5

5-2'用

所以f-<---2成立.

冊

1-八

下面證明：----2<0.

4

2x2x

由(2)可知，〃(x)=/(x)-一—=ln(2x+l)一一=在(0,+8)上為增函數(shù).

2x+l2x+l

因此，當(dāng)x〉0時(shí)，因”）>當(dāng)0）=0,

2Y

即“X)>=>().

2x+l

1I,

因此----<----1，

/(x)2x

11

即-----2<---2I.

/（X）2\x

1c11c

令x=%("22),得-2<-------2,

2\an-\7

(1\

即----2<一-2

a

n27

當(dāng)〃=2時(shí),

J」-2=j2

an4/(《)

因?yàn)镮n1.8>InV3>InVe=—,

2

11cc

所以------2<0,所以—一2<o.

In1.8%

所以，當(dāng)〃N3時(shí),

所以，當(dāng)“之2時(shí)，」--2<0成立.

5-21

綜上所述，當(dāng)〃22時(shí)，f—<一―2<0成立.

2"a.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)

化與化歸的能力，把不等式變形后利用第（2）小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系：a?<2a?_t,

1c1/1c、

一一2<彳（-----2）（〃22）.這是最關(guān)鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.

424T

20.（1）—+^-=1；（2）不能，理由見解析

43

【解析】

（1）設(shè)耳（一。,0）,6（。,0）,則尸耳，a=1-02+:=（,由此即可求出橢圓方程；

311

（2）設(shè)直線乙的方程為丁-3=攵。-1）,聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得攵二-萬，則直線4斜率為5,設(shè)其方程為

y=gx+f,M（X，y）,N（X2，%），聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于％=1對稱，可求得

勺=—；《=（，假設(shè)存在直線〃滿足題意，設(shè)kpM=—k,kpN=k,可得左=g,由此可得答案.

【詳解】

解：（1）設(shè)耳（一。,0）,瑪（c,0）,則P￡-PK=1—

c—l,a=2,b2—3,

r2v2

所以橢圓方程為七+二=1;

43

3

(2)設(shè)直線4的方程為,一5=%*—1),

與工+匕=1聯(lián)立得(3+4k2)x2+4Z(3-2k)x+(3-2k)2-12=0,

43

A=0,A：=-■-,

2

因?yàn)閮芍本€的傾斜角互補(bǔ)，所以直線〃斜率為:，

設(shè)直線的方程為y=^x+t,M(xi,yl),N(x2,