2021年遼寧省撫順市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一模）

2021年遼寧省撫順市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一模）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合4={-3,-2,-1,2,3},B={x|（x+3）（x-2）＜0},則Ap|8=（

）

A.（-3,-2,-1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,-1}

D.{-2,-1,2,3}

2.（5分）已知復(fù)數(shù)Z1=l-2i,z2=3-z（其中i為虛數(shù)單位），若z=4司，則|z|=（）

A.5B.5忘C.VioD.275

3.（5分）在邊長為1的正三角形A8C中，若成=2而，則而?詼的值是（）

1

A1R「2n2

3333

4.（5分）2020年12月18日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了2019年《中國兒童發(fā)展綱要（2011-2020

年）》統(tǒng)計監(jiān)測報告，報告指出學(xué)前教育得到進(jìn)一步重視和加強(qiáng).如圖為2010年-2019年全

國幼兒園數(shù)及學(xué)前教育毛入園率的統(tǒng)計圖：

2010年一2019年幼兒園數(shù)及學(xué)前教育毛入園率

則以下說法正確的是（）

A.2015年我國約有75萬所幼兒園

B.這十年間我國學(xué)前教育毛入園率逐年增長且增長率相同

C.2019年我國幼兒園數(shù)比上年增長了約5.2%

D.2019年我國學(xué)前教育毛入園率比上年提高了1.7%

5.（5分）（2-x）（l+x）5展開式中九2的系數(shù)為（）

A.15B.16C.24D.32

6.（5分）已知函數(shù)》=Asin3?x+°）（A>0,ty>0\（p\<^）,其部分圖象如圖所示，則這

個函數(shù)的解析式為（）

y=|sin(4x+y)

B.

y=|sin(2x+?)y=|sin(2x-y)

C.D.

2

y=13>0,6>0）的右焦點為尸（4,0）,直線丫=手》與雙曲

7.（5分）已知雙曲線C:

線C相交于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，線段AF、3P的中點分別為P、Q,且聲乂^一,

則雙曲線C的離心率為（）

A.y/3B.V5C.4D.2

8.（5分）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),f（x）滿足尸（x）+/（x）>0,令a=""一）（又eR）,

—zn+l

b=f（1）,則有（）

A.a..bB.a>bC.a,,bD.a<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（5分）已知函數(shù)/（幻=9-3*<1,則下列結(jié)論正確的是（）

[lnx,x..l

A.函數(shù)/（x）的定義域為RB.函數(shù)/（x）在R上為增函數(shù)

C.函數(shù)/（x）的值域為（-3,+8）D.函數(shù)/（x）只有一個零點

10.（5分）如圖，在正方體ABCD-A4GA中，E,F,G分別是棱AA，BC,GQ的

中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.FG_L平面A8CB.即，平面4BCQ

C.尸G//平面BBQ。D.EG//平面ACR

11.(5分)已知直線4：x+y-4=O與圓心為M(O,1)且半徑為3的圓相交于A,B兩點，

直線/2：2,nx+2y-3,〃-5=0與圓M交于C,。兩點，則四邊形ACBO的面積的值可以是(

)

A.94B.9&C.6&D.9(0+1)

12.(5分)下列說法正確的是()

A.已知函數(shù)f(x)的定義域為(a,b),若“大e(ci,b),使得/(x)+/(-x)N0”是假命題,

則f(a+b)=O

B.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且/(x+1)為偶函數(shù)，若x2eR,占<&，1都有

.上)二/四2<0,則/(3)>/(o)

9-X,

C.已知函數(shù)/(?=’一,若對定義域內(nèi)的任意x值，均有f(x)+f(2“-x)=2b,貝I」

x-\

a+b=2

D.已知偶函數(shù)”x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則對任意實數(shù)”，勿”是"/(a)

>f(b)”的充要條件

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知數(shù)列｛4｝、｛"｝都是等差數(shù)列，若生+2偽=6,4+次=12,則6+2a的

值是—.

14.(5分)已知函數(shù)/(x)=cos(x-C),若鹵a=1，且c為銳角，則/(a+的值是.

15.(5分)已知拋物線C：V=6x的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,P是/上一點，。是直線PF與C

的一個交點，若麗=3用，則|/|的值是.

16.（5分）己知正三棱柱ABC-AqG的所有棱長之和為36,則當(dāng)此正三棱柱的側(cè)面積取

得最大值時，其外接球的體積為一.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①3S,,+|=S,,+l,%=/②5“+4=1；③4=1，”,向=2S“+1這三個條件

中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛《,｝的前”項和為S”，且滿足—.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）求4a3+a5ai+.-+〃2”_|々2〃+1的值.

18.（12分）已知AABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且〃=遙，b=2,

c-b=2bcosA.

（1）求sinB的值；

（2）若AQ平分N8AC交BC于Q,求三角形AOC的面積S的值.

19.（12分）如圖，在直三棱柱A8C-A4G中，CA=CB=1,=2,D,E分別是棱CQ，

AA的中點，EBA.AD.

（1）證明：BC±EC,；

（2）求二面角A--8的余弦值.

20.（12分）為了解籃球愛好者小張每天打籃球的時長與投籃的命中率之間的關(guān)系，將小張

某月1日到10日每天打籃球的時長x（單位：〃）與當(dāng)天投籃的命中率y的數(shù)據(jù)記錄如表：

X（時11.522.533.544.555.5

長)

y(命0.40.40.50.60.60.70.60.40.40.3

中率)

(1)當(dāng)X不取整數(shù)時，從中任取兩個時長，求小張的命中率之和為1的概率；

(2)從小張的命中率為0.4和0.6的幾天中選出3天，用X表示所選3天中命中率為0.6

的天數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)當(dāng)x取整數(shù)時，設(shè)r表示變量x與y之間樣本相關(guān)系數(shù)，求r(精確到0.01),并說明

此時去求回歸直線方程是否有意義？

相關(guān)性檢驗的臨界值表

n-2小概率

0.050.01

10.9971.000

20.9500.990

30.8780.959

40.8110.917

50.7540.874

注：表中的〃為數(shù)據(jù)的對數(shù).

J(x,.-x)(y,.-y)

附：710?3.16；r==?

￡(%-君2汽(,_y)2

V<=i?=1

21.(12分)已知橢圓C：m+y=l(a>b>0)的離心率為也，點A(2,l)在橢圓C上.

a-b2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)不過點A的直線I與橢圓相交于不同的兩點M,N,若直線AM與直線AN的斜率k、,

女2總滿足K=-g，求證：直線/必過定點.

22.(12分)已知函數(shù)J'(x)=//i￥+a(尤之+幻，^(x)=x3+5x.

(1)討論函數(shù)/。)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=2時，證明：/(x)<g(x)~~.

2021年遼寧省撫順市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(一模)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合4={-3,-2,-1,2,3},B={x|(x+3)(x-2)<0},則Ap|8=(

)

A.(-3,-2,-1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,-1}

D.{-2,-1,2,3)

【解答】解：?.?集合A={-3,-2,—1,2,3},

3={x[(x+3)(x—2)<0}={x|—3<x<2},

Ap|B={-2,-1).

故選：c.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)Z1=l-2i,Z2=3-i(其中，為虛數(shù)單位)，若2=嗝，則|z|=()

A.5B.5&C.VioD.2亞

【解答】解：2=2,^=(1-20(3+0=5-5/,

.-JZ|=V52+(-5)2=572,

故選：B.

3.(5分)在邊長為1的正三角形A8C中，若比=2而，則而?麗的值是()

1192

A.上B.一士C.-D.--

3333

【解答】解：???在邊長為1的正三角形ABC中，D^G=2~~B,??.

______2__2____1

ABCD=AB-CB=-\AB\\CB\cos600=-.

333

故選：A.

4.(5分)2020年12月18日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了2019年《中國兒童發(fā)展綱要(2011-2020

年)》統(tǒng)計監(jiān)測報告，報告指出學(xué)前教育得到進(jìn)一步重視和加強(qiáng).如圖為2010年-2019年全

國幼兒園數(shù)及學(xué)前教育毛入園率的統(tǒng)計圖：

2010年—2019年幼兒園數(shù)及學(xué)前教育毛入園率

則以下說法正確的是（）

A.2015年我國約有75萬所幼兒園

B.這十年間我國學(xué)前教育毛入園率逐年增長且增長率相同

C.2019年我國幼兒園數(shù)比上年增長了約5.2%

D.2019年我國學(xué)前教育毛入園率比上年提高了1.7%

【解答】解：對于A,由統(tǒng)計圖可知，2015年我國約有22.4萬所幼兒園，故選項A錯誤;

對于3,這十年間我國學(xué)前教育毛入園率逐年增長，但是增長率不相同，故選項8錯誤；

對于C,2019年我國約有28.1萬所幼兒園，2018年我國約有26.7萬所幼兒園，

所以增長了281一26.7752%,故選項C正確；

26.7

對于。，2019年入園率為83.4%,2018年入園率為81.7%,

所以增長了83±透B合？％,故選項。錯誤.

81.7

故選：C.

5.（5分）（2—x）（l+x）5展開式中f的系數(shù)為（）

A.15B.16C.24D.32

【解答】解：因為（1+4展開式的通項為

所以（2-X）（1+X）5展開式中/的系數(shù)為2xC^-C=20-5=15,

故選：A.

6.（5分）已知函數(shù)丫=Asin（（wx+8）（A>0,a>>0,|^|<^）,其部分圖象如圖所示，則這

個函數(shù)的解析式為（)

A.y=—sin(4x---)B.y=—sin(4x+—)

2323

3jr371

C.y=^sin(2x+y)D.y=—sin(2x-y)

【解答】解：根據(jù)函數(shù)y=4sin(3x+0)(A>O,。:>0,|夕|<1),其部分圖象,

=i*4日，32zr5冗7C八

□JA=-，—=--1—，.,.(0=2..

2G66

結(jié)合五點法作圖，可得2x2+e=2萬，/.9=工，故/(x)=』sin(2x+E),

故選：C.

7.（5分）已知雙曲線C:0—1=l（a>O/>0）的右焦點為尸（4,0）,直線y=九Bx與雙曲

線C相交于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，線段AF、3尸的中點分別為P、Q,且歹4^一,

則雙曲線C的離心率為（）

A.s/3B.y/5C.4D.2

【解答】解：設(shè)點A在第一象限，設(shè)坐標(biāo)為⑺，"加）（機(jī)>0）,

因為點尸，Q,。分別為三角形他廠的三邊的中點，且麗_L而，

所以四邊形O尸尸Q為矩形，所以AFJ_BF,而OF=4,

則OA=OB=4,所以J，"？+（之^〃）2=J?士2=4，解得，〃=?。ㄘ?fù)值舍去），

所以點A的坐標(biāo)為（6，3）,代入雙曲線方程可得：4-4=1-

arb-

又。24-h2=16,解得a=2,b=2A/3,

所以雙曲線的離心率為《=￡=9=2,

a2

故選：D.

8.（5分）己知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f'（x）+f（x）>0,令a=，'（m；":）Q”eR）,

b=f(l),則有()

A.a..bB.a>bC.6、bD.a<b

【解答】解：設(shè)g(x)=e"(x),

?.?r(x)+fa)>o,

g'(x)=e'(f'(x)+/(%))>0

函數(shù)g(x)為R上的增函數(shù)，

11

x2

-機(jī)l+<

m—，n~2-z4-

g(1),

即(1),

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.(5分)已知函數(shù)=則下列結(jié)論正確的是()

[lnx,x..l

A.函數(shù)/(x)的定義域為/?B.函數(shù)/*)在R上為增函數(shù)

C.函數(shù)/(x)的值域為(-3,+8)D.函數(shù)/(x)只有一個零點

【解答】解：選項A：由已知可得函數(shù)定義域為R,故A正確；

選項8：當(dāng)x<l時，函數(shù)/(x)為增函數(shù)，當(dāng)X..J時,函數(shù)為增函數(shù)，且4一3=1>加1=0,

所以函數(shù)在R上不單調(diào)，故B錯誤；

選項C：當(dāng)xvl時,-3<f(x)<1,當(dāng)x..l時,f(x)..O,所以函數(shù)的值域為(-3,+oo),故C

正確；

選項￡)：當(dāng)x<l時，令4*-3=0,解得xulog”，當(dāng)x..l時，令//u=0,解得x=l,

故函數(shù)有兩個零點，故。錯誤，

故選：AC.

10.(5分)如圖，在正方體ABCD-AAG"中，E,F,G分別是棱AP，BC,的

中點，則下列結(jié)論正確的是()

A.FG_L平面A8CB.砂_L平面4片如。

C.尸G//平面BBQ。D.EG//平面ACR

【解答】解：設(shè)正方體的棱長為2,以。為坐標(biāo)原點，分別以D4,DC,所在直線為x,

y,z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

貝0,2),F(1,2,0),G(0,1,2),A(2,0,0),8,(2,2,2),D(0,0,0),

而=(-1,-1,2),￡F=(0,2,-2),福=(0,2,2),屬=(2,0,0),

?.?而?麗=-2+4=2*0,，F(xiàn)G與不垂直，則尸G_L平面4與。錯誤，故A錯誤；

VEFAB^=4-4=0,EFDA=0,EF±AB,,EFLAD,有用。仞=4,

.?.所_1平面4801。，故8正確；

取4G中點〃，連接尸”，GH,可得FW//B4，

FHU平面BBRD,BB、u平面BBRD，得FH”平面BB、D、D,同理GH//平面BBRD,

又尸”「|6〃=”，.,.平面尸GH//平面8BQ。，則FG//平面8BQQ,故C正確；

連接AG，可得AG//AC,又EG//AG，?■?EG//AC,

ACu平面ACDt,EGC平面ACD,,EG//平面ACDt,故。正確.

故選：BCD.

11.(5分)已知直線/1:x+y-4=0與圓心為M(O,1)且半徑為3的圓相交于A,8兩點,

直線4:2,nx+2y-35=0與圓M交于C,。兩點，則四邊形4c8/)的面積的值可以是(

)

A.90B.90C.6夜D.9(72+1)

【解答】解：根據(jù)題意，圓M的圓心為例(0,1)且半徑為3,則圓M的方程為V+(y-lf=9,

即/+/一2丫-8=0,

直線4:x+y-4=0與圓M相交于A,B兩點,

則有卜、"2y-8=0,解可得：「=3或5=0,即A、的坐標(biāo)為(3,1),(0,4),

x+y-4=0[y=l(y=4

M|AB|=79+9=3>/2,且AB的中點為(|,|),

直線4恒過定點g，|)'

直線/2:2mx+2y—3加一5=0,變形可得m(2x-3)+2y—5=()

設(shè)N(3,—),

22

當(dāng)C。與垂直時，四邊形AC8。的面積最大,

此時CO的方程為y-|=x-|,變形可得y=x+l,經(jīng)過點/(0,1),

則此時181=6，

故S四邊形ACBD的取大值=SoCB+S川)8=2X6x3夜=9叵，

故S四邊..，9版,

分析選項：BC符合題意,

故選：BC.

12.(5分)下列說法正確的是()

A.已知函數(shù)f(x)的定義域為(凡份，若“l(fā)ve(a,b),使得f(x)+f(-x)#O”是假命題,

則f(a+b)=O

B.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+l)為偶函數(shù)，若x2eR,占<&，1都有

:上)二/?<o,則f(3)>/(0)

9-X,

C.已知函數(shù)/(?=’一,若對定義域內(nèi)的任意x值，均有f(x)+f(2“-x)=2b,貝I」

x-\

a+b=2

D.已知偶函數(shù)”x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則對任意實數(shù)。，1,”是“/(a)

>f(b)”的充要條件

【解答】解：對于A：若“法€(々力)，使得/(X)+/(-X)HO”是假命題，則對Vxe(a,份，

使得fM+/(-%)=0”是真命題，故函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故a+b=0,所以/(“+b)=/(O)=0,

故A正確；

對于B：函數(shù)，(x)的定義域為R,且f(x+l)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x+l)關(guān)于y軸對稱，則

/(X)關(guān)于X=1對稱，

故/(l-x)=f(l+x),由于,X,e7?,X1<男”1者B有~<0,

所以函數(shù)在(-8,1］上單調(diào)遞減，

所以7(3)=/(-1)>/(0)故8正確；

對于C：函數(shù)/'(x)=上=1+」_,

X—1X—1

故f(2a-x)=1+--------,

2a—x—1

所以/。)+/(2。一X)=1+—^-+1+——-——=2+-------------=2b,

%-12a-x-l(x-l)(2t?-x-l)

該式對任意的x恒成立，故26=2,2?-2=0,所以“=8=1,故。+/;>=2,故C正確；

對于。：偶函數(shù)/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則在(-8,0|上單調(diào)遞減，對“/(a)>/

(b)"o|4l?b,所以，“a>|切”或非充要條件，故。錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知數(shù)列｛%｝、｛"｝都是等差數(shù)列，若出+2々=6,q+次=12,則4+24的

值是9.

【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得，%+花+%+24=2（%+次），

因為4+24=6,%+24=12,

所以4+2優(yōu)=9.

故答案為：9.

14.（5分）已知函數(shù)/（x）=cos（x->若sina=1,且a為銳角，則/（a+含的值是

衛(wèi)

101

【解答】解：Tsina=9,且a為銳角，

5

/.cosa=Jl-s加2a=],

.1545汽冗7T41./34及

..fyccH）=cos（aH---------）=cos（6zH—）=—（coscc—sinCC）=—x（-------）=-------.

121264225510

故答案為：-

15.（5分）已知拋物線C：V=6x的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,P是/上一點，Q是直線PF與C

的一個交點，若麗=3用，則I斯I的值是2.

【解答】解：設(shè)/與x軸的交點為過。向準(zhǔn)線/作垂線，垂足為N,

?/FP=3FQ,.?.埋=2,

MF3

又|M尸"=3,:\NQ\=2,

?.1NQRQFI，：.\QF\=2.

故答案為：2.

16.（5分）已知正三棱柱A8C-A4c的所有棱長之和為36,則當(dāng)此正三棱柱的側(cè)面積取

得最大值時，其外接球的體積為_32G；r_.

【解答】解：設(shè)正三棱柱ABC-ABC底面邊長為x，側(cè)棱為）'，則6x3y&=，即2尤+），旦

三棱柱ABC-A8C側(cè)面積S=3孫.

/.S=?）xy=-6x2+36x,

.?“=3時，S取最小值，此時，y=6,

此時底面外接圓半徑為：?—―=43,

2sin60°

正三棱柱ABC-ABC的外接球的球心。到頂點A的距離為R=3+（后=2百,

.?.該球的體積為網(wǎng)=326萬.

3

故答案為：3267T.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①3S,m=S,+l,a2=1；②5“+勺=1；③4=1,=2S“+1這三個條件

中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且滿足—.

（1）求｛《,｝的通項公式；

a

（2）求4a3+%%+a5aj+…+^2n-]2n+\的值.

【解答】解：若選①：

（1）3sz=Sn+l,當(dāng)〃=1時，3s2=S]+1,即34+3%=4+1,

因為〃2=[，所以4=g，

當(dāng)〃..2時，35?=5?_,+1,所以3。,用=。“，即—=:，

%3

又竺=’,所以也=L,“cN*,

q3an3

所以數(shù)列｛%｝是以;為首項，;為公比的等比數(shù)列，

所以〃,=（4".

44

所以44++a5al+…+%〃-必2”+1=4+(￥+…+e"

(了［1-(;)力

1-3-

Y)480

若選②：

（1）因為S“+%=1,當(dāng)〃=1時，可得a1=g,

當(dāng)”..2時，S,,.,+an_t=1,可得2a“=a,i，即烏-=：，

所以數(shù)列數(shù)列｛%｝是以;為首項，；為公比的等比數(shù)列，

所以4=（/

（2）=（g）4"，所以qo,+4a5+a5a7+…+%1%加=（萬）4++…+

若選③:

(1)q=l,an+l=2Sn+1,

當(dāng)〃=1時，a2=2sl+1=3,

1

當(dāng)〃?.2時,an=2sl+?

兩式相減得。同=34,即烏d=3,

a?

又空=3,所以馱=3,neN*,

4凡

所以數(shù)列｛2｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列,

所以4〃二3〃.

(2)出“T/〃+1=34",所以4%+%%+為%+…+4“-14〃+1=34+3?+…+3‘”

唱X知-，.

18.（12分）已知&4BC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且。="，6=2,

c-b=2Z?cosA.

（1）求sin8的值；

（2）若">平分N8AC交8c于。，求三角形AOC的面積S的值.

【解答】解：（1）因為c-b=2bcosA,

又由余弦定理可得"=/?24-c2-2bccosA,

所以=從+。2一《_力,可得從+1。=。2,

因為a=&,b=2,

可得c=1，

由余弦定理a2=h2+c2-2Z?ccosA,將〃=迷，b=2,c=\,代入，可得

6=4+l-2x2xlxcosA,可得cosA=」，

4

所以sinA=姮，由正弦定理，_=_2_,可得sinB=Rl°.

4sinAsinB4

(2)由(1)可知sinA=MX,a=瓜,c=1,

4

則由正弦定理可得一L=—J,可得sinC=沙，

sinAsinC8

在A4B￡>中，———=———,①

sin/BADsinZADB

在&4c。中，一——=———,②

sinZDACsinZADC

又因為A。平分乙4￡>C,

所以sinZADB=sinZADC,

②十①，W-=—=—=2,可得8=迎，

cABBD3

訴NcXnrAr-r1276.710x/15

r)\以S^DC="DC?ACsinC=-x——x2x——=——.

2ZjoO

19.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，CA=CB=\,A4,=2,￡>,E分別是棱CG，

AA,的中點，EB±AD.

(1)證明：BC±EC,；

（2）求二面角A--8的余弦值.

【解答】(1)證明：連結(jié)EC,在直線棱柱A8C-A與G中，因為。，E分別是棱CG，AA

的中點，

所以GO//E4,且GO=E4,

所以四邊形EADQ是平行四邊形，故EQ//AO,

又因為￡B_LA￡>,所以E8J.EG，

因為CA=CB=1,AA,=CC,=2,

所以EG=EC=6,因此EC：+EC2=CC：,

所以Eg_LEC,又因為屈門員;二七，EB,ECu平面ECB,

所以EC；_L平面ECB,因為BCu平面ECB,

所以BCLEG；

(2)解：因為CC；_L平面ABC,8Cu平面A8C,所以CC；_L8C,

由(1)可知，BC±EC,,又因為CC；nfiC=C1,CG，EC；u平面AACC1,

所以BCJ.平面AACG，又CAu平面AACq,故BCJ,CA,

所以CB,CA,CG兩兩垂直，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(l,0,0),8(0,1,0),D(0,0,1),4(0,1,2),

所以函=(0,1,1),旗=(-1,0,1),

設(shè)平面ADB,的一個法向量為元=(x,y,z),

EI士[n-DB.=y+z=O

則有{_!),

n-AD=—x4-z=0

令X=l,則y=-l,Z=1,故乃=(1,-1,1),

因為X軸，平面。耳3,

所以取平面DB}B的一個法向量為in=(1,0,0),

匚匚1“r—萬?比1V3

以cos<n,m>=---------=—=■=——,

\n\\m\百3

又因為二面角隹-8是銳二面角,

20.（12分）為了解籃球愛好者小張每天打籃球的時長與投籃的命中率之間的關(guān)系，將小張

某月1日到10日每天打籃球的時長x（單位：〃）與當(dāng)天投籃的命中率y的數(shù)據(jù)記錄如表：

X（時11.522.533.544.555.5

長）

y（命0.40.40.50.60.60.70.60.40.40.3

中率）

（1）當(dāng)x不取整數(shù)時，從中任取兩個時長，求小張的命中率之和為1的概率;

（2）從小張的命中率為0.4和0.6的幾天中選出3天，用X表示所選3天中命中率為0.6

的天數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）當(dāng)x取整數(shù)時，設(shè)r表示變量x與y之間樣本相關(guān)系數(shù)，求r（精確到0.01）,并說明

此時去求回歸直線方程是否有意義？

相關(guān)性檢驗的臨界值表

n-2小概率

0.050.01

10.9971.000

20.9500.990

30.8780.959

40.8110.917

50.7540.874

注：表中的〃為數(shù)據(jù)的對數(shù).

f（%-君（y-5）

附：710?3.16；r=--.

\位（％-君2￡（%-y）2

\/=1?=!

33

【解答】解：（1）由題意可知，小張的命中率之和為1的概率為尸=二=士；

C；10

（2）由題意可得，X的可能取值是0,1,2,3,

又尸（X=&）=1,2,3),

所以X的分布列為:

X0123

P418121

35353535

所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0x&+lx羽+2x竺+3X-L=2；

353535357

(3)由題意可知,x=3,y=0.5,

52

所以刃=0.1,^U,-x)=10,Z(X-y)2=0.04,

1=1i=l1=1

0.1

所以r=?0.16

V10x0.04

由相關(guān)性檢驗的臨界值表可得，缶5=°-878,因此|川<小5,

所以此時去求回歸直線方程是毫無意義的.

21.（12分）已知橢圓C:[+與=l（a>b>0）的離心率為也，點42,1）在橢圓C上.

a~b~2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)不過點A的直線/與橢圓相交于不同的兩點M,N,若直線AM與直線AN的斜率占，

自總滿足匕?e=-！，求證：直線/必過定點.

【解答】解：⑴由已知可得￡=變，且之+士”又/=從+。2,

a2a2b2

解得/=6,b2=3,所以橢圓的方程為：工=1；

63

(2)證明：當(dāng)/與x軸垂直時，設(shè)/方程為：x=t,由已知可得|“＜庭,

可得M,N的坐標(biāo)分別為億J?),NO,—1等),

則k,k2=寸,解得「2(舍去)或"0,

所以直線x=0經(jīng)過原點(0,0),

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)/:>="+小，M(Xj,y}),N(X2,y2),

下22

將y=Ax+m代入一+—=1,得(1+222)f+4mkx+2n^-6=0,

63

△=16m2k2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,解得6〃一加？+3>0,

所以整，為w德…①

1s

由已知可得勺?&2=2L"二=一,，BP2(y,-l)(y2-1)+(x,-l)(x2-2)=0,

x.—2—22

所以2yly2-2(^+y2)+x}x2-2(x1+—)+6=0，

又必必=(3+6)(履2+m)(kx2+m)=/CX{X2+mk(x1+x2)-^nr，y+y2=k(%+々)+2%，,

12

代入上式有(1+lk)x{