2015高中數(shù)學(xué)2.1合情推理與演繹推理練習(xí)新人教A 版選修2-2

2015高中數(shù)學(xué)2.1合情推理與演繹推理練習(xí)新人教A版選修2-2

基礎(chǔ)鞏固強化

一、選擇題

1.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為（）

A.□B.△

C.°D.O

［答案］A

［解析］觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)?次，②

每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果.

2.在數(shù)列｛aj中，ai=0,a?+i=2a?+2,則猜想a〃=（）

A.2"-2-1B.2"-2

C.2"~'+\D.2n+1-4

［答案］B

［解析］Va=0=2l—2,

.,.檢=2團+2=2=2，—2,

33=2a2+2=4+2=6=2：'—2,

a=2as+2=12+2=14=2'—2,

猜想a=2"-2.故應(yīng)選B.

3.數(shù)列｛a〃｝：2,5,11,20,王,47,…中的x等于（）

A.28B.32

C.33D.27

［答案］B

［解析］因為5-2=3X1,11-5=6=3X2,20-11=9=3X3,猜測*—20=3X4,47

-x=3X5,推知x=32.故應(yīng)選B.

4.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示，

><>><><>></></></>

③

按照上面的規(guī)律，第〃個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（）

A.6/7—2B.8〃-2

C.6刀+2D.8刀+2

［答案］C

［解析］從①②③可以看出，從第②個圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴

棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第〃個“金魚”

圖需火柴棒的根數(shù)為6/7+2.

5.圖(1)、圖(2)、圖(3)、圖⑷分別包含1、5、13和25個互不重疊的單位正方形,

按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第〃個圖包含個互不重疊的單位正方形.()

口甘

圖(1)圖(2)

A.n—2〃+1B.In—2〃+1

C.2/+2D.In—z?+l

［答案］B

［解析］觀察題中給出的四個圖形，圖⑴共有『個正方形，圖⑵共有『+2?個正方形;

圖(3)共有2?+32個正方形；圖(4)共有3?+42個正方形；則第〃個圖中共有即

2n-2/7+1個正方形.

6.〃個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表:

01234567891011-

根據(jù)規(guī)律，從2010到2012箭頭的方向依次為()

A.IB.

C.tD.

［答案］C

［解析］觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由234可知

從2010到2012為t-,故應(yīng)選C.

二、填空題

7.觀察下列等式:

『=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于nEN*l2-22+32-42+-+(-l)n+l/22=

［答案］(一1)"'空

［解析］注意到第n個等式的左邊有n項,右邊的結(jié)果的絕對值恰好等于左邊的各項的

所有底數(shù)的和，即右邊的結(jié)果的絕對值等于1+2+3+…+〃=U^—=鋁，注意到右

邊的結(jié)果的符號的規(guī)律是：當(dāng)〃為奇數(shù)時，符號為正；當(dāng)〃為偶數(shù)時，符號為負(fù)，因此所填

的結(jié)果是(-1)尸.

8.(2013?陜西文，13)觀察下列等式：

(1+1)=2X1；

(2+1)(2+2)=22X1X3；

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5；

照此規(guī)律，第〃個等式可為.

［答案］(〃+1)(〃+2)…(〃+力=2"X1X3X…X(2/?-1)

［解析］觀察規(guī)律，等號左側(cè)第"個等式共有〃項相乘，從〃+1到〃+〃，等式右端是

2"與等差數(shù)列｛2〃一1｝前n項的乘積，故第n個等式為(〃+1)(〃+2)…(〃+〃)=

2"X1X3X-X(2/7-1).

9.觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有〃(〃22)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是S,

按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為.

n=2S=4?=3S=8"=4S=12

［答案］S=4(〃-1)(〃22)

［解析］每條邊上有2個圓圈時共有S=4個；每條邊上有3個圓圈時、共有S=8個；

每條邊上有4個圓圈時，共有S=12個.可見每條邊上增加-個點，則S增加4,；.S與〃

的關(guān)系為S=4(〃-1)(〃22).

三、解答題

10.證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結(jié)論.

2cos彳=、2+g,

2cosm=++也+*,

觀察上述等式可以發(fā)現(xiàn)，第n個等式右端有n個根號，〃個2,左端“角”的分母為

2*232,…，故第〃個等式的左端應(yīng)為2cos冊，由此可歸納出?般性的結(jié)論為：

2COS^7H=他+也成+…

能力拓展提升

一、選擇題

11.已知數(shù)列｛aj的前〃項和$=//a,,(z?22),而a=l,通過計算a?、a3>a”猜想a”

等于()

22

2

A，n+1B?nn+l

22

C-------n--------

J2〃一l2n-l

［答案］B

［解析］因為S=//4,ai=l,

12

所以$=482=團+&o/=§=3x2’

..a+412

5；—9&—Q\Ia+&今&—Z一7―，

o04X3

S=16&=a+/+&+&

_-+/+用_1_2

0&=~is-=W=5X4,

2

所以猜想a,=——二故應(yīng)選B.

nn+\

12.觀察(f)，=2x,(x')’=4-(cos%)f=—sinx,由歸納推理可得：若定義在R

上的函數(shù)/'(X)滿足/1(—x)=f(x),記g(x)為/1(X)的導(dǎo)函數(shù)，則g(—x)=()

A.f{x}B.—f(x)

C.g(x)D.—g(x)

［答案］D

［解析］本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成

了奇函數(shù)，

.?.g(-x)=-g(x),選D,體現(xiàn)了對學(xué)生觀察能力，概括歸納推理能力的考查.

13.把1、3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以

排成一個正三角形(如下圖)，

.△△&...

1361015

試求第七個三角形數(shù)是()

A.27B.28

C.29D.30

［答案］B

［解析］觀察歸納可知第〃個三角形數(shù)共有點數(shù)：1+2+3+4+…+〃=生告J個,

...第七個三角形數(shù)為27一X產(chǎn)7-1-一I=28.

二、填空題

14.下面是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，圖中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“連線”

表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第〃個圖有個原子，有個化學(xué)鍵.

OCOCW"

123

［答案］4/7+2,5/?+1

［解析］第1、2、3個圖形中分別有原子個數(shù)為6,6+4,6+4X2,故第〃個圖形有原

子6+4X子-1)=4〃+2個.

第1、2、3個圖形中，化學(xué)鍵個數(shù)依次為6、6+5、6+5X2、…

.??第〃個圖形化學(xué)鍵個數(shù)為

6+5X(〃-l)=5〃+l.

15.(2014?三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)觀察下列不等式：

i+?+?4

i+打抖器

照此規(guī)律，第孔個不等式為

［答案］1+抖抖抖打記片

［解析］本題考查了歸納的思想方法.

觀察可以發(fā)現(xiàn),第力5N2)個不等式左端有n+1項，分子為1,分母依次為1\2\3、…、

(〃+1)2；右端分母為〃+1,分子成等差數(shù)列,因此第〃個不等式為1+抖升1

2/?+1

〈〃+1'

所以第五個不等式為:

1

1119

16.(2013?新疆兵團二師華山中學(xué)高二期中)在△48C中，不等式彳+萬+企工成立，

在四邊形力功力中，不等式;+)+;、+》=成立，

ADCZzZJi

在五邊形4式加中，不等式成立，猜想在〃邊形44…4中，有不

A13CDE3M

等式成立.

I1I2

［答案］Y+YH---|-彳2---------(77^3)

A\44〃-2n

91621sn

［解析］根據(jù)已知特殊的數(shù)值:二二、二,…，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律:——^―

n2兀3冗/?—2n

(423).

111萬2

???在〃邊形44…4中：-r+yH-------------------(423).

A\A-2Ann—2冗

三、解答題

3

17.(2013,西寧質(zhì)檢)已知等式sin10°+cos240°+sinl0°cos40°=彳，sin'6°+

COS236°+sir)6°cos36°=不請寫出一個具有一般性的等式，使你寫出的等式包含已知的

4

等式，并證明結(jié)論的正確性.

3

［解析］等式為sin'。+cos'(30°+a)+sinacos(30°+。)=］.證明如下：

sin2ci+COS2(30°++sincos(300+a)

,.1+cos60°+2a../八八。.\1.

=sin2a+-------------------+sina(cos30?cosa-sm30,sin4)=5+

.2.COS60。+2a?1.21,.2,14Q亞.?！?/p>

sina+-----------------+^-sm2a--sma=-+sina+-(-cos2a—^~sin2a)+

乙T：乙乙乙乙乙

<in2a-|sin2a￡+sin%+%s2a-平sin2a+乎sin2。凸in%=昇那a

4乙乙qTTq乙乙A

13

+-（1—2sin2。）=［

選修2-2第二章2.12.1.1第2課時

基礎(chǔ)鞏固強化

一、選擇題

1.下面幾種推理是合情推理的是（）

①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)

②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°,歸納出所有三角形的內(nèi)

角和都是180。

③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的所有椅子都壞了

④三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得出

凸〃邊形的內(nèi)角和是5-2）?180°（〃CN*,且心3）

A.①②B.①@④

C.①②④D.②④

［答案］C

［解析］①是類比推理；②④是歸納推理，.??①②④都是合情推理.

2.（2013?華池一中期中）平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之

和為定值乎4類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任?點到四個面的距離之和為（）

A.當(dāng)aB.坐a

C.乂5@D.

44

［答案］B

［解析］將正三角形一邊上的高坐a類比到正四面體一個面上的高羋a,由正三角形

乙0

“分割成以三條邊為底的三個三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面

體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明.

3.類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)

論：

①垂直于同??條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；

③垂直于同?條直線的兩個平面互相平行；④垂直于同平面的兩個平面互相平行，則其中

正確的結(jié)論是（）

A.①②B.②③

C.③④D.①④

［答案］B

［解析］根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系知，②③是正確的結(jié)論.

4.（2014?長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模）設(shè)△/比的三

2s

邊長分別為a、b、c,的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則「=」上；類比這個結(jié)論

a+b+c

可知：四面體P-4%的四個面的面積分別為s、w、s、s,內(nèi)切球的半徑為八四面體〃

一/a1的體積為V,則r=（）

V2P

A，S+S+S+S?s+s+s+s

4y

C.——

S+S+&+S*s+s+s+s

［答案］c

［解析］將△/回的三條邊長a、b、。類比到四面體尸一力回的四個面面積S、W、S、

S,將三角形面積公式中系數(shù)1類比到三棱錐體積公式中系數(shù);，從而可知選C.

4O

證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心0為頂點的各三棱錐體枳的和為匕.?.勺Jsr

,3

3/

S+S+S+SJ

5.給出下面類比推理命題（其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：

①“若&Z?eR,貝lj3一￡>00心人”類比推出“若外力￡C,貝lja—￡>0=>a>b"；

②“若播b,c,d￡R,則復(fù)數(shù)a+6i=c+Moa=c,6="'類比推出“若a,b,c,

貝ijb=cff；

③若“a,6eR,則a—6=0=>a=8"類比推出“若a,beC,則z—6=0=>a=6".其

中類比結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

［答案］C

［解析］在實數(shù)集中，金丘a一力0,但在復(fù)數(shù)集中，不全為實數(shù)的兩個數(shù)不能比較大

小,如a=2+i,b=1+i,有a-6=1>0,但不成立;*.*a>b、。、d￡Q,/.a-c,b

a=c

==Ja—c=0

—d￡Q,Va~\~b\[2c~\~d\f2,:?(a—c)+(Z?—(J)yj20f,故

[b~d=0b=d

②正確；由復(fù)數(shù)相等的定義知，若a=x\+y\i（^i>yieR）,人=生+%式%、%￡R）,則由a

{x\一及=0\x\=Xi

一，=（小一及）+（為一%）i=。/，/?］，:?a=b,故③正確.

〔弘一%=05=也

6.由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運算法則：

①"mn=nnf'類比得至!J"a?b=b,a”；

②“（勿+〃）t=mt+nt”類比得到“（a+b）?c=a?c+2?c”；

③“（加?〃）t=ni（n?t）類比得到“（a?6）?c=a?（8?c）”；

④“方WO,mt=xt0m=x”類比得到“p#0,a?p=x*°今a=x”；

⑤“|勿?〃|=|R|?\n\ff類比得到“|a?引=㈤?\b\ff；

⑥‘管號’類比得到嘖上=，'?

bebb9cb

其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

［答案］B

［解析］由向量的有關(guān)運算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應(yīng)選B.

二、填空題

設(shè)4）=*

7.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法,可求得A-5）

+f（—4）+…+F（0）+…+f（5）+f（6）的值為.

［答案］3^2

［解析］本題是“方法類比”.因等比數(shù)列前〃項和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，亦即

首尾相加，那么經(jīng)類比不難想到/1(—5)+A-4)+-+r(0)+-+A5)+r(6)=[r(-5)+

f(6)]+[y(-4)+A5)]+???+[AO)+f⑴]，

11

而當(dāng)Xi+X2=1時，有/（矛1）+f（X2）

2荀+，^2x2~\~yf2

____2xi+2茲_________________2^\/^+2小+2至

yf22汨+2才2+2汨+及+2y）22汨+2尼+2*\^

=/=乎，故所求答案為6X平=3啦.

8.在等差數(shù)列｛差中,若&o=O,則有等式團+a2H--&=a+g4---卜89-〃（尿19,n

WN+）成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列優(yōu)｝中，若A=L則有等式成立.

［答案］b也,,,bn=b\bz…bn-人n<17,〃&N*）

［解析1解法L從分析所提供的性質(zhì)入手：由&。=0,可得8+&。7=0,因而當(dāng)〃<19

一〃時,有句+4+…+劭9—〃=向+也-|---1-&+a+1+員升2~1----1-519-,,,

而&+|+&+2+”.+@9-”=19-2"+a”“=0,...等式成立.同理可得〃>19

一〃時的情形.

由此可知：等差數(shù)列｛4｝之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：a”

+1+319-77=2510=0,類似地，在等比數(shù)列｛4｝中，也有性質(zhì):1+1?仇7-〃=0=0因而得到答

案：bb…bn=bb…bi”人K17,〃￡N"）.

解法2：因為在等差數(shù)列中有“和"的性質(zhì)----卜&=&+/T--卜89-〃（〃〈19,

刀WN*）成立，故在等比數(shù)列伉｝中，由6）=1,可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)61〃…。"=6也…加一〃（〃

<17,刀￡N*）成立.（1）

證明如下：當(dāng)〃V8時，等式⑴為bb…bn=bb…bnbm…bn,

即：b,r\-\*?！?2…b7-〃=1.（2）

?:為=1,bk+1?b\i-k=&-1.

；.bn+lbn+2…thl-n=￡'~'=1.

???（2）式成立，即（1）式成立；

當(dāng)〃=8時，（1）式即：慶=1顯然成立；

當(dāng)8<刀<17時，（1）式即：

打員…如一〃?318—”?…4=力I慶…加一,

即:"8f?瓦-〃…4=1（3）

VZ^=1,bi8-k?bk—&—1f

/.bl8-nbl9-n*…*稼'"=1,

???（3）式成立，即（1）式成立.

綜上可知，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛成滿足A=1時，有：

b也…b尸b也…b\"n5（Vl,〃WN*）成立.

9.已知等差數(shù)列｛8,｝的公差為d,前〃項和為S”等比數(shù)列｛ZU的公比為s前〃項積

為北，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，填寫等比數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)（%，〃，七wEN*）.

等差數(shù)列等比數(shù)列

an=a\+(/?—1)d

&=&+(〃一4d

若加+〃=k+w,則&+&=ak+&

若加+n=2w,則為+an—2a

Sn,S〃一S”S〃一S〃構(gòu)成等差數(shù)列

［答案］&4=品4"—"若n=k+*則a初〃=&?小若加+〃=2%貝ija?為

=岌T,?V-告構(gòu)成等比數(shù)列

Inhn

三、解答題

10.先解答(1),再根據(jù)結(jié)構(gòu)類比解答(2).

(1)已知a、6為實數(shù)，且|a|G,\b\<l,求證：ab+l>a+b.

⑵已知a、b、c均為實數(shù),且|A|<1,|C|<L求證：abc+2>a+b+c.

［解析］(l)a6+l—(a+b)=(a—1)(6—1)>0.

(2)V|a|<1,|Z>!<1,|c|<1,據(jù)⑴得(a6)?c+l>a6+c,

abc+2=［(a6)?c+1］+1>(a6+c)+1=(aZ?+l)+c>a+Z?+c.

［點評］(1)與(2)的條件與結(jié)論有著相同的結(jié)構(gòu)，通過分析(1)的推證過程及結(jié)論的構(gòu)

成進(jìn)行類比推廣得出：(a6)?c+l>a6+c是關(guān)鍵.

用歸納推理可推出更一般的結(jié)論：a；為實數(shù)，|a；|<1,，=1、2、…、n,則有：a?…a"

+(n-1)>ai+a2+?"+a〃.

能力拓展提升

一?、選擇題

11.下列類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)

A.把a(6+c)與loga(x+力類比,則有l(wèi)og“(x+y)=log“x+log“y

B.把a(6+c)與sin(*+y)類比，則有sin(x+力=sinx+siny

C.把(a6)"與(a+0"類比，則有(a+6)"=a"+6

D.把a(6+c)與a?(6+c)類比，則有a?(b+c)=a?6+a?c

［答案］D

［解析］選項A,B,C沒有從本質(zhì)屬性上類比，是簡單類比，從而出現(xiàn)錯誤.

12.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點，尸為左焦點，當(dāng)前，荔時，其離心率為與”，

此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e

等于()

A/+lR/I

A.2氏2

C.4-1D.m+1

［答案］A

［解析］如圖所示，設(shè)雙曲線方程為4一?=l(a>0,。>0),

ab

則網(wǎng)-c,0),8(0,6),/(a,0),

:.FB=(c,Z)),AB=(—a,6),

又,/FBI.AB,：.FB?~AB=戌-ac=0,

c—a2—ac—0,

e"-e—1=0,

.1+A/5匕仝土、

..e=-e=-Ml/(舍去)，

故應(yīng)選A.

13.(2013?遼師大附中期中)類比三角形中的性質(zhì):

(1)兩邊之和大于第三邊

(2)中位線長等于底邊長的一半

(3)三內(nèi)角平分線交于一點

可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：

(1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積

(2)過四面體的交于同?頂點的三條棱的中點的平面面積等于該頂點所對的面面積的"

(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點

其中類比推理方法正確的有()

A.(1)B.(1)(2)

C.(1)(2)(3)D.都不對

［答案］C

［解析］以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比

推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不一定正確.

二、填空題

14.(2014?阜陽一中模擬)若等差數(shù)列｛a“｝的前"項和為S,則S?-1=(2/7-l)a?.山類

比推理可得：在等比數(shù)列｛4｝中，若其前A項的積為匕，則凡一=.

［答案］或T

［解析］將等差數(shù)列前〃項和類比到等比數(shù)列前〃項的積，將等差中項的“倍數(shù)”類比

到等比中項的“乘方”.因為等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為S,則S,i=（2/7-1）a?.所以類比

可得:在等比數(shù)列｛4｝中，若其前A項的積為幾則%-產(chǎn)房1.

15.（2014?湖南長沙實驗中學(xué)、沙城一中聯(lián)考）在平面幾何里有射影定理：設(shè)△力叱的

兩邊1aL/C,〃是4點在a'上的射影，則力^如。1以拓展到空間，在四面體1一戰(zhàn)中，

的，平面/8G點0是力在平面及力內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，/XABC、叢BOC、

△應(yīng)《三者面積之間關(guān)系為_______.

［答案］S4ABe=SAOBC,S^BBC

［解析］將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱4。與一側(cè)面/成?垂直的四棱錐

的側(cè)面1式的面積，將此直角邊46在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△?!回在底面的射

影及底面△6G9的面積可得^ABC—S^OBC,S&DBC.

16.在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點尸（劉，耳），則圓的面積SM=nd,過點

22

產(chǎn)的圓的切線方程為尸產(chǎn).在橢圓2+￡=1（a＞力0）中，當(dāng)離心率e趨近于0時，短

ab

半軸6就趨近于長半軸a,此時橢圓就趨近于圓.類比圓的面積公式得橢圓面積Sw=

22

.類比過圓上一點尸（刖，㈤的圓的切線方程，則過橢圓當(dāng)+看=13"0）上一點

ab

P〈x\,珀的橢圓的切線方程為.

［答案］"ab號?x+￡?尸1

［解析］當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時，橢圓趨近于圓，此時&6都趨近于圓的半徑

r,故由圓的面積S=JI?r?r,猜想橢圓面積n?a?b,其嚴(yán)格證明可用定積

分處理.而由切線方程Ab?x+jb?尸產(chǎn)變形得點,x+￡?尸1,則過橢圓上,?點P〈X\,y,）

的橢圓的切線方程為我?x+我?尸1，其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理.

三、解答題

17.點僂，期在圓G3+y=1上，經(jīng)過點尸的圓的切線方程為半x+半y=l,

又點0（2,1）在圓C外部，容易證明直線2x+y=l與圓相交，點《，9在圓C的內(nèi)部.直

線%?+：y=i與圓相離.類比上述結(jié)論，你能給出關(guān)于一點夕（a,6）與圓/+/=/的位置

關(guān)系與相應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系的結(jié)論嗎？

[解析]點P(a,力在。G/+/=/上時，直線數(shù)+勿=步與0c相切；點?在。C

內(nèi)時，直線ax+"=產(chǎn)與。C相離；點尸在。C外部時，直線ax+g產(chǎn)與。。相交.容易

證明此結(jié)論是正確的.

18.我們知道：

12=1,

22=(1+1)2=12+2X1+1,

32=(2+l)2=22+2X2+l,

42=(3+1)2=32+2X3+1,

n—(77—1)~+2(/7—1)+1,

左右兩邊分別相加，得

z/=2X［1+2+3+

1+2+3+…+〃=~-.

類比上述推理方法寫出求『+干+黑+…+)的表達(dá)式的過程.

［解析］我們記S(〃)=l+2+3+…+〃，

.S(/?)=12+22+32+,,,+Z;2,?,,5i(z?)=1*+2*+3*+,>,+Z7*(AGN*).

已知

1=1,

23=(1+1)3=13+3X12+3X1+1,

33=(2+l)3=23+3X22+3X2+l,

〃=(3+l)3=33+3X32+3X3+l,

n—(/?—1)3+3(/J—1)2+3(ZJ—1)+1.

將左右兩邊分別相加，得

Sj(ri)—[&(〃)—n~\+3[S(〃)一+3[S(〃)~n\+/?.

,...八/、〃'+3/7'!+2/?-3sn2n"+37?2+nn/?+12〃+l

由此知&(〃)=---------3-----=--6=--------6：---------.

選修2-2第二章2.12.1.2

基礎(chǔ)鞏固強化

一、選擇題

1.?四邊形力故?為矩形，，四邊形力區(qū)力的對角線相等“，以上推理省略的大前提

為（）

A.正方形都是對角線相等的四邊形

B.矩形都是對角線相等的四邊形

C.等腰梯形都是對角線相等的四邊形

D.矩形都是對邊平行且相等的四邊形

［答案］B

2.（2013?華池一中高二期中）“三角函數(shù)是周期函數(shù)，尸tanx,方）是三

角函數(shù)，所以y=tanx,一萬，句是周期函數(shù)”.在以上演繹推理中，下列說法正確

的是（）

A.推理完全正確B.大前提不正確

C.小前提不正確D.推理形式不正確

［答案］D

［解析］大前提和小前提中的三角函數(shù)不是同一概念，犯了偷換概念的錯誤，即推理形

式不正確.

3.“凡是自然數(shù)都是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)."以上三段論推理（）

A.完全正確

B.推理形式不正確

C.不正確，兩個“自然數(shù)”概念不一致

D.不正確，兩個“整數(shù)”概念不一致

［答案］A

［解析］大前提“凡是自然數(shù)都是整數(shù)”正確.

小前提“4是自然數(shù)”也正確，推理形式符合演繹推理規(guī)則，所以結(jié)論正確.

4.《論語?學(xué)路》篇中說：“名不正，則言不順：言不順，則事不成；事不成，則禮

樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措

手足.”上述推理用的是（）

A.類比推理B.歸納推理

C.演繹推理D.一次三段論

［答案］C

［解析］這是一個復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運用五次三

段論，屬演繹推理形式.

5.（2014?洛陽市高二期中）觀察下面的演繹推理過程，判斷正確的是（）

大前提：若直線a_L直線且直線8,直線/,則苕〃6.

小前提：正方體仍切一44G〃中，AxByVAAx,且

結(jié)論：AxR//AD.

A.推理正確B.大前提出錯導(dǎo)致推理錯誤

C.小前提出錯導(dǎo)致推理錯誤D.僅結(jié)論錯誤

［答案］B

［解析］由/，a,AL6得出a〃。只在平面內(nèi)成立，在空間中不成立，故大前提錯誤.

6.有這樣一段演繹推理：“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”

結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為()

A.大前提錯誤B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

［答案］C

［解析］用小前提“S是"'，判斷得到結(jié)論“S是產(chǎn)時，大前提“"是產(chǎn)必須是所

有的而不是部分，因此此推理不符合演繹推理規(guī)則.

二、填空題

7.已知推理：“因為的三邊長依次為3、4、.5,所以是直角三角形"，若

將其恢復(fù)成完整的三段論，則大前提是.

［答案］?條邊的平方等于其它兩邊平方和的三角形是直角三角形.

8.函數(shù)尸2x+5的圖象是一條直線，用三段論表示為：

大前提.

小前提?

結(jié)論..

［答案］所有一次函數(shù)的圖象都是一條直線函數(shù)y=2x+5是一次函數(shù)函數(shù)尸2/

+5的圖象是一條直線

9.以下推理中，錯誤的序號為.

①ab=ac,b=c；

②■:Bb,b>c,a>c；

③■75不能被2整除，...75是奇數(shù);

@'：a//b,6_L平面a,：.a±a.

［答案］①

［解析］當(dāng)a=0時，ab—ac,但6=c未必成立.

三、解答題

10.將下列演繹推理寫成三段論的形式.

(1)菱形的對角線互相平分.

（2）奇數(shù)不能被2整除，75是奇數(shù)，所以75不能被2整除.

［答案］（1）平行四邊形的對角線互相平分大前提

菱形是平行四邊形小前提

菱形的對角線互相平分結(jié)論

（2）一切奇數(shù)都不能被2整除大前提

75是奇數(shù)小前提

75不能被2整除結(jié)論

能力拓展提升

一、選擇題

11.“在四邊形4比》中，?.38觸微二四邊形皆是平行四邊形”.上述推理過程

（）

A.省略了大前提B.省略了小前提

C.是完整的三段論D.推理形式錯誤

［答案］A

［解析］上述推理基于大前提“一一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”.

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