多元函數(shù)的極值問(wèn)題

第四節(jié)多元函數(shù)的極值問(wèn)題二、多元函數(shù)的極值三、多元函數(shù)的最值四、條件極值一、二元泰勒公式一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式記號(hào)(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):

一般地,

表示表示定理1.到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有其中①②①稱為f

在點(diǎn)(x0,y0)的n

階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項(xiàng)

.證:令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.說(shuō)明:(1)余項(xiàng)估計(jì)式.因f

的各n+1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界

M,則有(2)當(dāng)n=0時(shí),得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D

上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上例1.

求函數(shù)解:的三階泰勒公式.因此,其中播放二、多元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,的某鄰域內(nèi)有使函數(shù)取得極值的點(diǎn)1、二元函數(shù)極值的定義稱為極值點(diǎn).類比單元函數(shù)的極值問(wèn)題:有水平切線處導(dǎo)數(shù)為零(駐點(diǎn))可能極值點(diǎn)沒(méi)有水平切線處可能極值點(diǎn)有水平切平面處沒(méi)有水平切平面處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為零(駐點(diǎn))可能極值點(diǎn)可能極值點(diǎn)(1)(2)例1例２例３(3)有水平切平面在(0,0)處偏導(dǎo)不存在,沒(méi)有有水平切平面.有水平切平面說(shuō)明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故例如,有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.駐點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？時(shí),具有極值且定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0(C<0

)時(shí)取極大值;A>0(C>0

)時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以其中

,

,

是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無(wú)窮小量,于是(1)當(dāng)AC－B2＞0

時(shí),必有A≠0,且A

與C

同號(hào),可見(jiàn),從而△z＞0,因此從而△z＜0,(2)當(dāng)AC－B2＜0

時(shí),若A,C不全為零,無(wú)妨設(shè)A≠0,則時(shí),有異號(hào);同號(hào).可見(jiàn)△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時(shí)可見(jiàn)△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),(3)當(dāng)AC－B2＝0

時(shí),若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零此時(shí)因此不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為三、多元函數(shù)的最值函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,y,z

(m),有xyz=2，于是水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.則z=解解由無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.實(shí)例：小王有200元錢，他決定用來(lái)購(gòu)買兩種喜愛(ài)物品：DVD影碟和音樂(lè)CD，設(shè)他購(gòu)買張影碟，張音樂(lè)CD達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張音樂(lè)CD8元，每張影碟10元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．四、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題.對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有{引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.如圖:在區(qū)域D可微,有穿過(guò)D的曲線問(wèn):函數(shù)上的何點(diǎn)取得極大值?構(gòu)造函數(shù)顯然在曲線上F與f

取值相同,所以Ｆ在上的極值就是f

在上的極值．Ｆ在上取極值的必要條件為利用拉格朗日函數(shù)求極值的幾何解釋：推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件解則目標(biāo)函數(shù)約束條件解即求乘積x0y0

z0在所給條件下的最大值?？傻眉蠢?.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為x,y,z,則它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為：設(shè)拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為例10已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.解:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停例11拋物面被平面截成一個(gè)橢圓.求該橢圓上點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)最短距離.解:約束條件為設(shè)拉格朗日函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為橢圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方解方程組,得由知最長(zhǎng)距離為最短距離為內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定