復(fù)變函數(shù)01復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的表示方法

復(fù)變函數(shù)與積分變換電信系通信工程教研室李廣柱電話/p>

手機(jī)Q：46860236Email：lgz1979@1/1/20241課程簡介課程性質(zhì)及特點(diǎn)課時(shí)教材及參考書教學(xué)目標(biāo)要求考核主要講授內(nèi)容1/1/20242課程簡介

1.課程性質(zhì)及特點(diǎn)是包括通信工程專業(yè)在內(nèi)的電子學(xué)專業(yè)的重要的基礎(chǔ)課程，所涉及的知識是從事通信工程專業(yè)的人員需要了解和掌握的。所需的基礎(chǔ)知識：高等數(shù)學(xué)。是后繼課程，如“信號與系統(tǒng)”、“數(shù)字信號處理”、“通信原理”等課程的基礎(chǔ)課。1/1/20243課程簡介課時(shí)24學(xué)時(shí)教材及參考書教材：林益編：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，華中科技大學(xué)。1/1/202443.主要參考書：1).西安交通大學(xué).復(fù)變函數(shù),高等教育出版社,1996.2).焦紅偉.

復(fù)變函數(shù)與積分變換，北京大學(xué)出版社,2007.3).高宗升.復(fù)變函數(shù)與積分變換，北京航空航天大學(xué)出版社,2006.課程簡介1/1/202454.教學(xué)目標(biāo)：學(xué)習(xí)和掌握復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)的基本概念；掌握解析函數(shù)，及其導(dǎo)數(shù)、積分的概念；掌握復(fù)數(shù)級數(shù)、留數(shù)的概念；掌握積分變換的定義和基本概念。課程簡介1/1/20246課程簡介考核：作業(yè)(20%)＋考試(80%)學(xué)習(xí)紀(jì)律要求：缺課達(dá)1/3者，不準(zhǔn)參加期末考查；缺作業(yè)1/3者，不準(zhǔn)參加期末考查。要求：上課認(rèn)真聽講，積極回答問題、參與討論；有問題及時(shí)問，不能積累；作業(yè)獨(dú)立按時(shí)完成。1/1/202477.主要講授內(nèi)容第一章復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章級數(shù)第五章留數(shù)定理第七章傅里葉變換課程簡介1/1/20248本次課講述的內(nèi)容復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的表示方法復(fù)平面復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的三種表示方法平面圖形和區(qū)域的復(fù)數(shù)表示1/1/20249復(fù)數(shù)的概念為什么要引入復(fù)數(shù)的概念？1/1/202410虛數(shù)單位的引入

實(shí)例：方程x2=-1在實(shí)數(shù)集中是無解的，為了解這個(gè)方程，需要引入一個(gè)新數(shù)i，稱之為“虛數(shù)單位”。且規(guī)定：(1).i2=-1；(2).i可以與實(shí)數(shù)在一起按同樣的法則進(jìn)行四則運(yùn)算。1/1/202411虛數(shù)單位的特性

虛數(shù)單位具有以下特性：根據(jù)定義可知，一般地，若n是正整數(shù)，則：1/1/202412復(fù)數(shù)的定義對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y，稱z=x+y·i或z=x+i·y為復(fù)數(shù)。其中x，y分別稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部。并記：x=Re(z)；y=Im(z)。在工程應(yīng)用中常把Re稱作求實(shí)部的運(yùn)算或操作；Im稱作求虛部的運(yùn)算或操作。

當(dāng)實(shí)部x=0，y≠0時(shí)，稱z=i·y為“純虛數(shù)”；當(dāng)虛部y=0時(shí)，z=x+0·i則可被視作實(shí)數(shù)x。1/1/202413兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，則：復(fù)數(shù)z等于0，當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0，即：1/1/202414共軛復(fù)數(shù)的概念兩個(gè)復(fù)數(shù)，若它們的實(shí)部相同而虛部互為相反數(shù)，則它們?yōu)楣曹棌?fù)數(shù)。設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi共軛復(fù)數(shù)記為，則可知：1/1/202415復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i

，z2=a2+b2i，記：(1).它們的和與差(2).它們的積

例：求復(fù)數(shù)z=a+bi

，與其共軛復(fù)數(shù)之積。結(jié)論：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之積是個(gè)實(shí)數(shù)。1/1/202416復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i

，z2=a2+b2i，記：(3).它們的商可見，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算滿足：加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律加法對乘法的分配律1/1/202417共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)滿足以下性質(zhì)：(1).(2).(3).(4).1/1/202418例：將下列復(fù)數(shù)表示成x+yi的形式：解：1/1/202419例：設(shè)，求Re(z)，Im(z)和。解：1/1/202420復(fù)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小，也就是說，復(fù)數(shù)不能比較大小。觀察復(fù)數(shù)i和0，由復(fù)數(shù)的定義可知i≠0；(1).若i>0，則i·i>0·i，即-1>0，矛盾；(2).若i<0，同樣可得i·i>0·i，即-1>0，矛盾。

由此可見，復(fù)數(shù)中無法定義大小關(guān)系。1/1/202421復(fù)平面的概念注意到：復(fù)數(shù)z=x+i·y與有序?qū)崝?shù)對(x,y)成一一對應(yīng)關(guān)系。因此，一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來表示復(fù)數(shù)，通常把橫軸叫做實(shí)軸或x軸，縱軸叫做虛軸或y軸。這種用來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面。復(fù)數(shù)z=x+i·y可以用復(fù)平面上的點(diǎn)(x,y)表示。1/1/202422復(fù)數(shù)的模從復(fù)平面上的原點(diǎn)o到點(diǎn)z=x+iy所引的向量與復(fù)數(shù)z構(gòu)成對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上也可以用向量來表示，向量的長度稱為z的?；蚪^對值，記為：顯然下列各式成立：1/1/202423平行四邊形法則兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致，滿足平行四邊形法則和三角形法則：1/1/202424復(fù)數(shù)的輻角在z≠0的情況下，由實(shí)軸正向到向量之間的夾角稱為復(fù)數(shù)z的輻角，記為。任何一個(gè)復(fù)數(shù)z≠0都有無窮多個(gè)輻角，假定是其中一個(gè)輻角，則z的全部輻角為：特別地，當(dāng)z=0時(shí)，|z|=0，此時(shí)輻角不確定。1/1/202425輻角的主值在復(fù)數(shù)z(≠0)的輻角中，把滿足的輻角稱為Argz的主值，記為。思考：輻角主值是否唯一？輻角怎么求？

例：求復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值。解：因此，輻角主值為：

輻角為：1/1/202426復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)z≠0時(shí)輻角的主值：其中：1/1/202427共軛復(fù)數(shù)的模和輻角一對共軛復(fù)數(shù)

和在復(fù)平面上的位置關(guān)于實(shí)軸對稱，因此它們的模滿足：共軛復(fù)數(shù)

和的輻角主值滿足什么關(guān)系？(1).若z=0，則輻角無意義；(2).若z位于負(fù)實(shí)軸上，則：(3).其它情況下，則有：1/1/202428例：求、。解：1/1/202429復(fù)數(shù)的三種表示方法前面已經(jīng)學(xué)過，復(fù)數(shù)z可以表示成：

利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間的關(guān)系：可得：，此所謂復(fù)數(shù)的三角表示法。1/1/202430復(fù)數(shù)的三種表示方法在三角表示法的基礎(chǔ)上，利用Euler公式：

可以將復(fù)數(shù)表示為：此所謂復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法。1/1/202431例：將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式和指數(shù)形式：解：1/1/2024321/1/2024331/1/202434平面圖形的復(fù)數(shù)表示根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示；也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定平面圖形。

例：將通過兩點(diǎn)z1=x1+y1i和z2=x2+y2i的直線用復(fù)數(shù)形式的方程表示。解：通過兩點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2)的直線方程為：1/1/202435平面圖形的復(fù)數(shù)表示所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為：因此，從z1到z2的直線段的方程為：若取t=1/2，則可知線段的中點(diǎn)為：1/1/202436例：求下列方程所表示的曲線。解：方程表示所有與復(fù)平面上的點(diǎn)-i距離皆為2的點(diǎn)的軌跡，可知該軌跡為原點(diǎn)為-i，半徑為2的圓。若將z=x+yi代入可得：由平面解析幾何可知，該軌跡是個(gè)圓。1/1/202437方程表示所有與復(fù)平面上的點(diǎn)2i和點(diǎn)-2距離相等的點(diǎn)的軌跡，可知方程表示的是連接點(diǎn)2i和點(diǎn)-2的線段的垂直平分線。將z=x+yi代入可得：由平面解析幾何可知，該軌跡是段直線。1/1/202438方程所表示的軌跡直接看不出，可將z=x+yi代入得：由平面解析幾何可知，該軌跡也是段直線。方程表示與x軸夾角為的一段射線，該射線不包括原點(diǎn)。1/1/202439例：指明下列不等式所確定的軌跡或所在范圍，并作圖。解：通常在求軌跡或者畫圖時(shí)，可以先利用輻角的幾何意義直接判斷；當(dāng)該方法不適用時(shí)，可以將z=x+yi代入，從而將復(fù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的實(shí)條件，利用平面解析幾何的知識進(jìn)行判斷。1/1/202440顯然，該表達(dá)式無法直接看出它的軌跡或者區(qū)域，因此將z=x+yi代入上式，可得：1/1/202441利用輻角的幾何意義可以得知，該方程表示的區(qū)域?yàn)椋豪媚５亩x可知，該方程表示的區(qū)域?yàn)椋?/1/202442由于表示到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)平面解析幾何可知是個(gè)橢圓，因此不等式表示的即為該橢圓的內(nèi)部區(qū)域。可知，該不等式表示的是圓環(huán)形區(qū)域。1/1/202443擴(kuò)充復(fù)平面包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面。不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面。對于復(fù)數(shù)∞來說，實(shí)部、虛部、輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大。1/1/202444無窮大的四則運(yùn)算(1