高等代數(shù)§54 正定二次型

一、正定二次型二、正定矩陣三、n元實(shí)二次型的分類§5.4正定二次型四、小結(jié)、正定二次型則稱f為正定二次型.如，二次型

是正定的；

不是正定的．

但二次型

一組不全為零的實(shí)數(shù)

都有

1、定義：實(shí)二次型

若對(duì)任意2、正定性的判定

1）實(shí)二次型正定

2）設(shè)實(shí)二次型

f正定

證：充分性顯然.下證必要性，若f正定，取

則經(jīng)過非退化線性替換X＝CY化成

則，

3）非退化線性替換不改變二次型的正定性.

任取一組不全為零的數(shù)令證明：設(shè)正定二次型

所以，非退化線性替換不改變二次型的正定性.又由于C可逆，

，所以

同理，若正定，則正定.

反之，實(shí)二次型

可經(jīng)過非退化不全為0.即線性替換變到實(shí)二次型秩

＝n＝（的正慣性指數(shù)）.4）(定理5)

n元實(shí)二次型

正定證：設(shè)

經(jīng)非退化線性替換

變成標(biāo)準(zhǔn)形

由2),正定

即，的正慣性指數(shù)p＝n＝秩.規(guī)范形為

5）正定二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

二、正定矩陣1、定義

設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，若二次型正定二次型的規(guī)范形為

是正定的，則稱A為正定矩陣.2、正定矩陣的判定

2)

實(shí)對(duì)稱矩陣A正定

1）實(shí)對(duì)稱矩陣A正定

A與單位矩陣E合同.A與E合同,即存在可逆矩陣C，使可見，正定矩陣是可逆矩陣.存在可逆矩陣C，使3）實(shí)對(duì)稱矩陣A正定A與任一正對(duì)角矩陣合同.

即，D與E合同.為任一正對(duì)角矩陣，則若例1、設(shè)

A

為

n

階正定矩陣，證明

（5）若

B

亦是正定矩陣，則

A＋B

也是正定矩陣；（2）是正定矩陣；（1）是正定矩陣；（3）是正定矩陣；（4）是正定矩陣（m為任意整數(shù)）；證：（1）由于

A

正定，則存在可逆矩陣

P，使于是有，故，正定.（2）由于A

正定，對(duì)都有因此有令故，正定.即，與單位矩陣E合同.則Q可逆，且，由（1）（2）即得正定.（3）A正定，則存在可逆矩陣C，使，于是當(dāng)

m＝2k

時(shí)，即，與單位矩陣E合同，所以

正定.（4）由于

A

正定，知為

n

階可逆對(duì)稱矩陣

，（5）由于A、B正定，對(duì)都有因此有故，A＋B

正定.當(dāng)

m＝2k＋1

時(shí)，即，與正定矩陣A合同，而

A與單位矩陣E合同，所以與E合同，即正定.3、正定矩陣的必要條件

1）實(shí)對(duì)稱矩陣正定

取正定.

證：若A正定

，則二次型則反之不然.即，為對(duì)稱矩陣，且但A未必正定.如所以A不是正定的.

注意當(dāng)時(shí)，有2)

實(shí)對(duì)稱矩陣A正定

但不是正定二次型.如注意證：若A正定，則存在可逆矩陣C，使

從而反之不然.即實(shí)對(duì)稱矩陣A，且

A未必正定.

4、順序主子式、主子式、稱為A為第k階順序主子矩陣;設(shè)矩陣稱為A的第k階順序主子式.3）k級(jí)行列式稱為A的一個(gè)k階主子式.即行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的k階子式5、（定理6）A的順序主子式

Pk

全大于零.正定實(shí)二次型

證:必要性.設(shè)正定，對(duì)每一個(gè)k令

是正定的，從而正定.對(duì)任意一不全為零的數(shù)有充分性：對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法.

n＝1時(shí)，正定.結(jié)論成立.假設(shè)對(duì)于n－1元二次型結(jié)論成立，下證n元的情形.

又A的順序主子式全大于零，所以A1的順序主子式由歸納假設(shè)，A1正定，即存在可逆矩陣G，使令

則

也全大于零.設(shè)則令

再令則由判定充要條件3).知A正定，所以正定.再令則有兩邊取行列式，得

又>0，即為正對(duì)角矩陣.例2、判定下面二次型是否正定.

其順序主子式

正定.

解：的矩陣解：的矩陣

A的第k階順序主子式Pk

（習(xí)題7）正定.

例3、證明：若實(shí)對(duì)稱矩陣A正定

，則A的任意一個(gè)k階主子式證：作二次型（習(xí)題9）其中，對(duì)任意一不全為零的數(shù),

有從而，由于A正定，有正定，即有行列式大于零，即即，是正定二次型，因此其矩陣的三、n元實(shí)二次型的分類設(shè)n元二次型

若對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有

②，則稱為半正定二次型.③，則稱為半負(fù)定二次型.

①則稱為負(fù)定二次型.

既不是半正定，也不是半負(fù)定，則稱為1．定義不定二次型.注：①正定矩陣②負(fù)定矩陣③半正定矩陣④半負(fù)定矩陣⑤不定矩陣相應(yīng)于二次型的分類，n

級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣可分類為：1）實(shí)二次型正定負(fù)定；

實(shí)對(duì)稱矩陣A正定－A負(fù)定.半負(fù)定；2）實(shí)二次型半正定實(shí)對(duì)稱矩陣A半正定－A半負(fù)定.

2、判定3）定理7①半正定

；(或A半正定；

)②秩=秩(A)=（正慣性指數(shù)）；③

A合同于非負(fù)對(duì)角陣，即存在可逆陣C，使則下列有條件等價(jià)：④存在，使⑤

A的所有主子式皆大于或等于零.（補(bǔ)充題9）

由此可得，A半正定（習(xí)題14）設(shè)n元實(shí)二次型

四、小結(jié)1、正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定）二次型；基本概念2、順序主子式、主子式正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定）矩陣；基本結(jié)論1、非退化線性替換保持實(shí)二次型的正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定）性不變.負(fù)定（半負(fù)定）.2、實(shí)二次型正定（半正定）3、實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)＝X′AX正定A與E合同，即存在可逆陣C，使A＝C′C.f的正慣性指數(shù)p

等于nA的各級(jí)順序主子式全大于零