分子對(duì)稱性與群論初步

第四章分子對(duì)稱性與群論初步Chapter4.MolecularSymmetryandIntroductiontoGroupTheory

第四章分子對(duì)稱性和分子點(diǎn)群Chapter4.MolecularSymmetryandPiontGroup4.1

對(duì)稱圖形的定義生物界的對(duì)稱性判天地之美,析萬物之理?！f子在所有智慧的追求中,很難找到其他例子能夠在深刻的普遍性與優(yōu)美簡(jiǎn)潔性方面與對(duì)稱性原理相比?！钫缹?duì)稱是自然界中普遍存在的一種性質(zhì),因而常常被認(rèn)為是最平凡、最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象。然而,對(duì)稱又具有最深刻的意義.科學(xué)家、藝術(shù)家、哲學(xué)家從各種角度研究和贊美對(duì)稱，“完美的對(duì)稱”、“可怕的對(duì)稱”、“神秘的對(duì)稱”，這些說法都表明了對(duì)稱性在人類心靈中引起的震撼。分子中的對(duì)稱性在化學(xué)中,它提供了各種化學(xué)運(yùn)動(dòng)分類的基礎(chǔ)。分子對(duì)稱性是由分子幾何構(gòu)型（及構(gòu)象）所決定的,而分子對(duì)稱性又決定著分子的許多性質(zhì),例如分子的某些電性、光學(xué)活性及光譜性質(zhì)。所以,研究分子對(duì)稱性,對(duì)了解分子結(jié)構(gòu)和性質(zhì)極為重要。對(duì)稱圖形是能被不改變圖形中任意兩點(diǎn)間的距離的操作所復(fù)原的圖形。操作：將圖形中的每一點(diǎn)按一定的規(guī)律從一個(gè)位置移到另一個(gè)位置。復(fù)原：實(shí)施操作前什么地方有什么，操作后仍有些什么，以致于無法觀察圖形中各點(diǎn)位置是否發(fā)生變化。3.1

對(duì)稱圖形的定義H2O分子旋轉(zhuǎn)180度圖形復(fù)原對(duì)稱操作：不改變圖形中任何兩點(diǎn)的距離而能使圖形復(fù)原的操作叫做對(duì)稱操作；實(shí)施對(duì)稱操作所憑借的幾何要素叫做對(duì)稱元素.

3.2

對(duì)稱操作與對(duì)稱元素對(duì)稱元素:旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱操作:旋轉(zhuǎn)

有限圖形所具有的對(duì)稱操作和對(duì)稱元素被稱為宏觀對(duì)稱操作和宏觀對(duì)稱元素。分子的宏觀對(duì)稱操作和宏觀對(duì)稱元素有5種：

一、旋轉(zhuǎn)操作與旋轉(zhuǎn)軸將圖形中的各點(diǎn)繞某一軸線旋轉(zhuǎn)一定角度的操作被稱為旋轉(zhuǎn)操作，符號(hào)為施行旋轉(zhuǎn)操作所憑借的幾何元素為一直線，稱為旋轉(zhuǎn)軸，符號(hào)為Cn

。H2O中的C2

n：軸次

：基轉(zhuǎn)角

基轉(zhuǎn)角是能使圖形繞某一對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而復(fù)原的最小非零角度.C2N2O中的C∞H2O2N2O旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)?．

N=2，θ==180°=例2．C41，n=4，φ=90cosφ=0，sinφ=1例3．C31在直角坐標(biāo)系中，n=3,φ=120°，cosφ=1/2，sinφ=/2C2=C41=C31=

二、反映操作與鏡面將圖形中的各點(diǎn)移動(dòng)到某一平面相反方向的等距離處的操作被稱為反映操作。施行反映操作所憑借的幾何元素為一平面，稱為反映面，符號(hào)為σ。

σv：包含主軸的對(duì)稱面；

σh

：垂直主軸的對(duì)稱面；

σd：包含主軸、并平分與主軸垂直的二重軸之間的夾角的對(duì)稱面。對(duì)稱面有三類：m[100]＝

對(duì)稱面垂直x軸

m[001]＝對(duì)稱面垂直z軸m[010]＝對(duì)稱面垂直y軸三、反演操作與對(duì)稱中心將圖形中的各點(diǎn)移動(dòng)到某一點(diǎn)相反方向的等距離處的操作被稱為反演操作。施行反演操作所憑借的幾何元素為一點(diǎn)，稱為對(duì)稱中心，符號(hào)為i。四、映轉(zhuǎn)操作與映轉(zhuǎn)軸先憑借某一軸線施行旋轉(zhuǎn)操作，再憑借與此軸垂直的平面進(jìn)行反映操作，這種復(fù)合操作被稱為映轉(zhuǎn)操作。施行反演操作所憑借的直線，稱為映轉(zhuǎn)軸，符號(hào)為Sn。CH4中的映軸S4與旋轉(zhuǎn)反映操作與操作的先后順序無關(guān)環(huán)辛四烯衍生物中的S4分子中心是S4的圖形符號(hào)五、旋轉(zhuǎn)反演操作與反軸先憑借某一軸線施行旋轉(zhuǎn)操作，再憑借此軸線上一點(diǎn)進(jìn)行反演操作，這種復(fù)合操作被稱為旋轉(zhuǎn)反演操作。施行反演操作所憑借的直線，稱為反軸，符號(hào)為In。映轉(zhuǎn)軸和反軸可相互代替。CH4中的反軸I4與旋轉(zhuǎn)反演操作i與操作的先后順序無關(guān)宏觀對(duì)稱操作與宏觀對(duì)稱元素當(dāng)兩個(gè)對(duì)稱元素按一定的相對(duì)位置同時(shí)存在的時(shí)候，必能導(dǎo)出第三個(gè)對(duì)稱元素，這被稱為對(duì)稱元素的組合。對(duì)稱元素的組合要服從一定的組合原則：3.3

對(duì)稱元素的組合一、兩個(gè)反映面的組合兩個(gè)夾角為α的反映面的交線，一定是一個(gè)基轉(zhuǎn)角為2α的Cn旋轉(zhuǎn)軸。推論：若有一個(gè)反映面包含Cn重軸，必有n個(gè)反映通過Cn軸。NH3分子：1C3，3σv相鄰兩個(gè)反映面夾角為60度二、兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的組合垂直于夾角為α的兩個(gè)C2軸交點(diǎn)的直線，一定是一個(gè)基轉(zhuǎn)角為2α的Cn重旋轉(zhuǎn)軸。推論：若有一個(gè)C2重軸垂直于Cn軸，必有n個(gè)C2軸垂直于Cn重軸。苯分子：1×C6，6×C2相鄰兩個(gè)2重軸的夾角為30三、偶次軸與垂直面的組合如果一個(gè)圖形中，偶次軸和垂直于偶次軸的對(duì)稱面存在，則必存在對(duì)稱中心。即偶次軸、垂直面、對(duì)稱中心三者共存。反式二氯乙烯：1×C2，1×σh，i3.4

對(duì)稱元素的周期憑借同一對(duì)稱元素進(jìn)行的獨(dú)立對(duì)稱操作的數(shù)目被稱為對(duì)稱元素的周期。一、對(duì)稱面和對(duì)稱中心的周期是2σ的周期為2二、n重軸的周期為nC4的周期為4三、映轉(zhuǎn)軸和反軸的周期S4的周期為41、當(dāng)n為偶數(shù)，周期為nS3的周期為62、當(dāng)n為奇數(shù)，周期為2n3.4

獨(dú)立的對(duì)稱元素說明映軸和反軸只有軸次為4的整數(shù)倍時(shí)才是獨(dú)立的，其他的均可由反映面、旋轉(zhuǎn)軸、對(duì)稱中心來代替。

例如,先作二重旋轉(zhuǎn)，再對(duì)垂直于該軸的鏡面作反映，等于對(duì)軸與鏡面的交點(diǎn)作反演.

重疊型二茂鐵具有S5，可以由C5和與之垂直的σ來代替。討論分子結(jié)構(gòu)時(shí)，獨(dú)立的對(duì)稱元素有：旋轉(zhuǎn)軸；反映面；對(duì)稱中心；軸次為4的倍數(shù)的映轉(zhuǎn)軸。試找出分子中所有的獨(dú)立對(duì)稱元素乙烷重疊型乙烷交錯(cuò)型交錯(cuò)型二茂鐵俯視圖苯分子：3.5

分子的對(duì)稱類型——分子點(diǎn)群有限圖形按其對(duì)稱性進(jìn)行分類，把具有相同類型和個(gè)數(shù)的對(duì)稱元素的圖形劃為一類，稱為一種對(duì)稱類型。一種對(duì)稱類型是宏觀對(duì)稱元素的一種組合方式。分子的對(duì)稱類型則由點(diǎn)群來描述。

對(duì)于分子等有限物體，在進(jìn)行操作時(shí)，分子中至少有一點(diǎn)是不動(dòng)的，叫做點(diǎn)操作。分子中全部對(duì)稱操作的集合構(gòu)成分子點(diǎn)群(pointgroups

).分子的對(duì)稱性有分子所屬的點(diǎn)群體現(xiàn)出來。點(diǎn)群的符號(hào)用Sch?nflies表示。1.操作時(shí)最少有一個(gè)點(diǎn)是不動(dòng)的；2.分子全部的對(duì)稱元素至少通過一個(gè)公共點(diǎn)。

分子點(diǎn)群

C2H2O的對(duì)稱類型是C2V點(diǎn)群，即這四個(gè)對(duì)稱操作的集合構(gòu)成C2v點(diǎn)群；它滿足群的四個(gè)條件。菲分子：1C2，2σv菲分子和水分子具有相同的對(duì)稱類型：C2V點(diǎn)群。分子點(diǎn)群可以歸為四類:(1)單軸群:包括Cn

、Cnh

、Cnv

;(2)雙面群：包括Dn、Dnh、Dnd

;(3)立方群：包括Td

、Th

、Oh

、Ih

等;(4)非真旋軸群：包括Cs

、Ci

、S4等.

C1

群：CHFClBr

一、單軸群包括Cn

、Cnh

、Cnv

點(diǎn)群.這類點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)軸只有一條.1、Cn

群：只有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn

.c.Ci

群i

C2

群

C3群部分交叉式1,1,1-三氯代乙烷2、Cnh

群：1Cn

+1σh反式二氯乙烯C2h

群：1C2，1σh，1i

C1h

群(Cs)：HODSOCl2

C3h群ClClClC3h

群：1C3，1σh3、Cnv

群：1Cn

+nσvC2v

群

C3v群C3V

群：1C3，3σVNH3CHCl3二、雙面群1、Dn

群：1×Cn

，n×C2.包括Dn

、Dnh

、Dnv

點(diǎn)群.這類點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是除了主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸.Dn

群：1Cn

，nC2

.

D3：這種分子比較少見，其對(duì)稱元素也不易看出.

[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一實(shí)例.唯一的C3旋轉(zhuǎn)軸從xyz軸連成的正三角形中心穿過,通向Co;xyzC2C2C2三條C2旋轉(zhuǎn)軸分別從每個(gè)C–C鍵中心穿過通向Co.2、Dnh

群：1×Cn

，n×C2,1×σh，n×σv

乙烯D2h

群：1C2

，2C2,1σh，2σv,1i

D3h群

：乙烷重疊型D6h群：苯D2d

群：1C2

，2C2,

2σd丙二烯3、Dnd

群：1×Cn

，n×C2,

n×σdD3d:乙烷交錯(cuò)型D4d：?jiǎn)钨|(zhì)硫D5d

:交錯(cuò)型二茂鐵俯視圖三、立方群1、Td

群：屬于該群的分子，對(duì)稱性與正四面體完全相同。包括Td

、Th

、Oh

、Ih點(diǎn)群.這類點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是有多條高次(大于二次)旋轉(zhuǎn)軸相交.

T

群：4×C3，3×C2Td

群：4×C3

，3×C2

,6×σdTh

群：4×C3

，3×C2,6×σhCH4YX4×C3Z3×I46×σd2、Oh群

:屬于該群的分子，對(duì)稱性與正八面體或正方體完全相同Oh

群：3C4

,4C3,6C2,9σ，i

立方烷6×C2zyx4×C33×C4對(duì)稱中心i在正方體中心[B6H6]2-Oh群

SF63、Ih

群

:在目前已知的分子中，對(duì)稱性最高的就屬于該群.C60Ih

群：6C5

,10C3,15C2,15σ，i

Ih

群閉合式[B12H12]2-正十二面體正二十面體四、非真旋軸群1、Ci

群：1×i.包括Cs

、Ci

、S4

這類點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是只有虛軸對(duì)稱中心2、S4群

:1×S4

3、Cs

群

:1×Cs

亞硝酸酐N2O3確定分子點(diǎn)群的流程簡(jiǎn)圖分子線形分子:有多條高階軸分子（正四面體、正八面體…)只有鏡面或?qū)ΨQ中心,或無對(duì)稱性的分子:只有S4n(n為正整數(shù)）分子:Cn軸(但不是S2n的簡(jiǎn)單結(jié)果)無C2副軸:有n條C2副軸垂直于主軸:3.6

分子的對(duì)稱性與偶極矩偶極矩是表示分子中電荷分布情況的物理量正負(fù)電荷的重心不重合的分子稱為極性分子，它有偶極矩,是分子的靜態(tài)性質(zhì)。偶極矩是一個(gè)矢量，它的大小為μ=qr。極性分子——永久偶極短

0一般分子——誘導(dǎo)偶極矩

I對(duì)稱操作不改變分子的可測(cè)物理量

1.由于任何對(duì)稱操作都使分子進(jìn)入一種與原型無法區(qū)分的狀態(tài)，所以，如果分子上具有永久偶極矩μ，任何對(duì)稱操作都不會(huì)改變它的方向和大小.推論：如果分子具有永久偶極矩μ，它必然處于該分子的每一個(gè)對(duì)稱元素上.2.什么情況下μ才為零呢？有下列幾種情況：

(1)分子有對(duì)稱中心i.μ處于i上就必然縮為一點(diǎn)而為0.

(2)分子中至少有兩個(gè)對(duì)稱元素相交于唯一的一點(diǎn).μ處于每一個(gè)對(duì)稱元素上,就必然處于其唯一交點(diǎn)上而為0.(3)分子中有四重映軸S4（任何具有S4的分子不可能有永久偶極矩.）分子偶極矩的對(duì)稱性判據(jù):分子中有反演中心、2個(gè)或多個(gè)旋轉(zhuǎn)軸、互不重合的旋轉(zhuǎn)軸和反映面，滿足其中任何一條即為非極性分子.反之，以上任何一條都不滿足的分子原則上具有極性,但極性可能太小而測(cè)量不出來.因?yàn)閷?duì)稱性判據(jù)只給出偶極矩為零的充分條件,而不是必要條件.

極性分子的點(diǎn)群有Cn、Cnv、Cs.由于Cs=C1v,所以,也可以說極性分子的點(diǎn)群有Cn、Cnv.推論：(1)烷烴的偶極矩近似為零；(2)同系物的偶極矩近似相等.

CH4的偶極矩為零這一事實(shí)，既可以看作4個(gè)C-H鍵矩矢量加和的結(jié)果，也可看作1個(gè)C-H鍵矩與反向的-CH3鍵矩矢量加和的結(jié)果.

CH3-CH2-CH2-CH2-CH3→H-CH2-CH2-CH2-CH3

即CH3-CH2-CH2-CH3→H-CH2-CH2-CH3

即CH3-CH2-CH3→H-CH2-CH3

即CH3-CH3→H-CH3

即CH4(3)由偶極矩?cái)?shù)據(jù)獲得分子構(gòu)型的信息；例H2O26.9C2點(diǎn)群；C2H20D∞h點(diǎn)群

N2H46.1C2V點(diǎn)群；C2H40D2h點(diǎn)群

5.0C2V點(diǎn)群；0D2h點(diǎn)群(4)誘導(dǎo)效應(yīng)是近程效應(yīng)；(5)偶極矩與極化率

誘

SSNN3.7

分子的對(duì)稱性與旋光性有些分子具有使平面偏振光的振動(dòng)平面發(fā)生旋轉(zhuǎn)的能力，分子的這種性質(zhì)稱為旋光性。分子的對(duì)稱性與手性的關(guān)系

任何分子，都可以設(shè)想用“鏡子”產(chǎn)生其鏡象。

但是，這鏡象是否與分子本身完全相同，卻分兩種情況：

第一種情況是,分子與其鏡象完全相同。

這就是說,可以通過實(shí)際操作將分子與其鏡象完全迭合。

換言之,對(duì)分子施加某種實(shí)際操作就能變?yōu)槠溏R象。

那么，這種分子與其鏡象的關(guān)系就與左右手關(guān)系完全不同（因?yàn)樽笥沂植荒芡ㄟ^實(shí)際操作來互換），故稱非手性分子。結(jié)論：具有σ、或i、或S4的分子,可以通過實(shí)際操作與其鏡象完全迭合，稱為非手性分子.從對(duì)稱性來看,分子上若有虛軸Sn,反而能用實(shí)操作將分子與其鏡象完全迭合.所以,具有虛軸Sn的分子是非手性分子

分子若不具有Sn

,它與鏡象就只是鏡象關(guān)系而已，并不完全相同，不能用實(shí)際操作完全迭合。這種關(guān)系恰如左右手的關(guān)系。左手與右手互為鏡象，你能用一種實(shí)際操作把左手變成右手嗎？對(duì)于手做不到的，對(duì)于有些分子也做不到，這種分子就是手性分子（盡管任何分子都能用“鏡子”產(chǎn)生鏡象，

但手性分子本身并沒有鏡面）。

2.分子的手性與旋光性的關(guān)系

若將分子與其鏡象的旋光度分別記作R與R’，則

(1)無論對(duì)手性或非手性分子，都有R’=-R；

(2)但只有對(duì)非手性分子，才又有R’=R，因?yàn)榉鞘中苑肿优c其鏡象完全相同（而手性分子與其鏡象不同.正如左手的鏡象是右手，而不再是左手那樣）.

既然非手性分子同時(shí)滿足R’=-R

和R’=R,必然是R=-R=0.

結(jié)論：非手性分子沒有旋光性.手性是分子產(chǎn)生旋光性的必要條件.

3.分子對(duì)稱性-手性-旋光性的關(guān)系

結(jié)論：具有虛軸Sn(包括σ、或i、或S4)的分子是非手性分子,沒有旋光性；沒有虛軸Sn(也就沒有σ、i和S4)的分子是手性分子,具備產(chǎn)生旋光性的必要條件（但能否觀察到還要看旋光度的大?。?手性分子通常屬于Cn、Dn群.對(duì)于分子旋光性，應(yīng)注意下列幾點(diǎn)：

a.旋光性分子中常常有不對(duì)稱碳原子C*，但有C*的分子并非都有旋光性;沒有C*的分子也并非都沒有旋光性.

分子有C*卻無旋光性的現(xiàn)象稱內(nèi)消旋.例如（R，S）構(gòu)型的2,3-二氯丁烷等.C2

群

R2R2R1R1R1R1R2R2分子中沒有C*卻有旋光性的實(shí)例有:C2群的丙二烯型分子（但屬于D2d

群的丙二烯本身不是旋光性分子?。⒙?lián)苯的某些衍生物、D3群的風(fēng)扇型分子，以及螺旋型分子等.

螺旋型分子毫無例外地都是手性分子，且旋光方向與螺旋方向一致；匝數(shù)越多旋光度越大；螺距小者旋光度大.六螺烯，無手性C，有旋光性。有手性C，無旋光性，內(nèi)消旋。b.旋光性分子具有對(duì)映異構(gòu)體，現(xiàn)在用拉丁字母R、S（rectus,右；sinister，左）來區(qū)分它們的構(gòu)型(但舊的D、L命名對(duì)生物化學(xué)更有重要意義，因而仍被使用).對(duì)映異構(gòu)體的旋光大小相等、方向相反，其中偏振面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)稱為右旋，記作（+）；逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)稱為左旋，記作（-）.盡管R、S與（+）、（-）都有右、左之意，但R、S是人為規(guī)定的，旋光方向卻是分子本性決定的.所以一般地說，R并不必然對(duì)應(yīng)于（+）、S也并不必然對(duì)應(yīng)于（-）.對(duì)映異構(gòu)體R與S型的等量混合物無旋光性，這種現(xiàn)象稱為外消旋，記作（±）.

3.反應(yīng)機(jī)理與旋光性

旋光體和消旋體的研究不但對(duì)闡明分子結(jié)構(gòu)有重要意義，而且對(duì)闡明反應(yīng)機(jī)理也有幫助.例如，親核反應(yīng)SN1親核反應(yīng)機(jī)理SN2親核反應(yīng)機(jī)理

因此，分析產(chǎn)物有助于判明親核取代是哪一種機(jī)理4.對(duì)稱性的自發(fā)破缺（symmetryself-breaking）

很多化學(xué)教科書說：除旋光方向相反外，對(duì)映異構(gòu)體有相同的物理性質(zhì)；除對(duì)旋光性試劑表現(xiàn)出不同的反應(yīng)性能外，對(duì)映異構(gòu)體有相同的化學(xué)性質(zhì).

但是，現(xiàn)代科學(xué)中一直有一個(gè)重要的未解之謎：為什么組成我們機(jī)體的最重要物質(zhì)——蛋白質(zhì)都是由L-氨基酸而不是由D-氨基酸來構(gòu)成？而構(gòu)成核糖核酸的糖又都是D型？大自然這種傾向性選擇的根源何在——它是純粹的偶然因素還是有著更深刻的原因？許多科學(xué)家都關(guān)注著自然界這一類對(duì)稱性破缺.

在物理學(xué)領(lǐng)域,1956年，李政道、楊振寧提出弱相互作用下宇稱不守恒假說，同年由吳健雄等證實(shí).5.藥物分子的不對(duì)稱合成

對(duì)稱性破缺在生命科學(xué)中產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響，因?yàn)闃?gòu)成生命的重要物質(zhì)如蛋白質(zhì)和核酸等都是由手性分子縮合而成，生物體中進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)也受到這些分子構(gòu)型的影響.

藥物分子若有手性中心，則對(duì)映異構(gòu)體對(duì)生物體可能會(huì)有完全不同的作用，許多藥物的有效成份只有左旋異構(gòu)體有活性,右旋異構(gòu)體無效甚至有毒副作用.

例如，氯霉素的D-對(duì)映體有殺菌作用，L-對(duì)映體則全無藥效；早期用于減輕婦女妊娠反應(yīng)的藥物酞胺哌啶酮因未能將右旋異構(gòu)體分離出去而導(dǎo)致許多胎兒畸形；具有旋光性的蓋草能、穩(wěn)殺得等除草劑的活性,比消旋體提高兩個(gè)數(shù)量級(jí)，大大減少了用藥量.因此，藥物的消旋體拆分很重要，不對(duì)稱合成更重要，這已成為極其引人注目的研究領(lǐng)域.21世紀(jì)的第一個(gè)諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予W.S.Knowles、Ryoji

Noyori、K.B.Sharpless,就是表彰他們?cè)谑中源呋磻?yīng)方面的貢獻(xiàn).

群

群的概念（法國(guó)EvaristeGalois）

按一定的乘法聯(lián)系起來的任何元素的集合，而且滿足4個(gè)條件的，則此集合稱為群。乘法是一種結(jié)合規(guī)則：指所規(guī)定的群中各元素之間的關(guān)系。G＝｛A、B、C、D、E｝群中元素的個(gè)數(shù)為群的階，符號(hào)為h。數(shù)學(xué)上符合的四個(gè)條件

1、封閉性

群中任意兩個(gè)元素乘積或一個(gè)元素自乘的結(jié)果，必是群中的一個(gè)元素。A,B是G群中任意兩個(gè)元素，AA=C,BB=D,AB=EC,D,E都是群G的元素，群G中的元素滿足封閉性。

乘積：一種相互作用。G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對(duì)算術(shù)加法構(gòu)成一個(gè)群。

例例滿足群的封閉性。

2、締合性

群中各元素的運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律。若A、B、C為G群中的元素則ABC=(AB)C=A(BC)。

例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對(duì)算術(shù)加法構(gòu)成一個(gè)群。

滿足群的締合性

3、單位元素

群中必有一個(gè)元素E，它同群中任意一個(gè)元素作用的結(jié)果仍是該元素，E為單位元素。即ER=RE=R

例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對(duì)算術(shù)加法構(gòu)成一個(gè)群。

單位元素：0

G群中有單位元素。4、逆元素

群中的每一個(gè)元素都有逆元素存在，逆元素也是群中的元素。A的逆元素為A-1，AA-1=EB的逆元素為B-1，BB-1=E例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對(duì)算術(shù)加法構(gòu)成一個(gè)群。

n的逆元素為-n。

G群中任意元素的逆元素仍是群中元素。

例G＝｛0，±1，±2，…，±n｝對(duì)算術(shù)加法構(gòu)成一個(gè)群。

G集合滿足群的四個(gè)條件：封閉性；締合性；單位元素；逆元素。無限群:由無限個(gè)元素構(gòu)成的群。有限群:由有限個(gè)元素構(gòu)成的群。凡是同時(shí)滿足上述4個(gè)條件的的集合G，就稱為群。群的特征不在于構(gòu)成群的是何種元素，而是在于它必須服從上述結(jié)合規(guī)則，這些結(jié)合規(guī)則反映了群中個(gè)元素間的內(nèi)在聯(lián)系。群是一個(gè)集合，但集合不一定都是群。推論：群G的恒等元是唯一的。

設(shè)A為群G

的任意元素，則A在G中的逆元素是唯一的，記為A-1.例全體整數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)和零）--------加法2.全體非零的實(shí)數(shù)--------乘法3.（立正、向右轉(zhuǎn)、向左轉(zhuǎn)和向后轉(zhuǎn)）4個(gè)操練動(dòng)作

------在進(jìn)行一個(gè)動(dòng)作之后接著進(jìn)行另一個(gè)動(dòng)作。

群

的乘法表

對(duì)于有限群G和群G中的任意兩個(gè)元素的乘積關(guān)系以表格的形式來表示，稱為乘法表。乘法表的作法：1.有h行和h列組成2.橫向元素稱為第一次作用元素，縱向元素稱為第二次作用元素。3.乘法一般是不可以交換的。乘法的順序規(guī)定，列元素×行元素4.將所有的兩兩元素乘積的寫在行與列的交叉位置中。G立正向左轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)

立正立正向左轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)立正向右轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)立正向后轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)向右轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)立正乘法表的說明：1.每一個(gè)有限群都可以給出一個(gè)乘法表。2.乘法表是群的四個(gè)性質(zhì)的體現(xiàn)。3.一個(gè)操作可以產(chǎn)生其它兩個(gè)操作連續(xù)作用的等效結(jié)果。4.每一個(gè)操作都存在一個(gè)能夠準(zhǔn)確消除該操作作用的操作。5.乘法表中任一行（列），均不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)相同的元素。

子群

若有一個(gè)群H的元素皆包含于另一個(gè)群G中，則稱群H為群G的子群。任何群至少有兩個(gè)子群：群本身和恒等元素構(gòu)成的一階群。這兩個(gè)群稱為平凡子群。拉格朗日定理:

有限群的階是其子群的階的整數(shù)倍。子群在處理化學(xué)問題：沒有取代的分子屬于高對(duì)稱性的群，而取代的分子則屬于它的子群。

共軛類

共軛元素的定義：對(duì)于群G中的任意元素A和B,

群中有一元素X，使B=XAX-1，則稱B與A共軛。這個(gè)式子稱為用X對(duì)A進(jìn)行相似變換。自軛性:任何元素與其本身共軛；對(duì)稱性:A與B共軛，則B與A共軛；傳遞性:若A與B共軛，C與A共軛，則B與C共軛。C2v{E,C2,σxz,σyz}中的4個(gè)元素自成一類C3v{E,2C3,3σ}的6個(gè)元素成3類例群G中所有相互共軛元素的集合稱為G的共軛類。1.根據(jù)共軛關(guān)系的性質(zhì),群G的一個(gè)類中的元素可由該類中任一元素生成。2.根據(jù)共軛的傳遞性可證:兩個(gè)不同的類沒有公共元素。3.群G中的恒等元自成一類。共軛類與子群不同：除了{(lán)E}類外所有其它的共軛類都不含有恒等元，而任何子群都必須含有恒等元。群的同構(gòu)與同態(tài)A.同構(gòu)◆定義:兩個(gè)同階的群G和G’，如果它們的元素之間一一對(duì)應(yīng),且保持群的基本運(yùn)算規(guī)律不變,即群G中任意兩個(gè)元素乘積的映射等于G’中這兩個(gè)元素映射的乘積.則稱群G和群G’同構(gòu),記作G

G’。也可以理解為：同階的群，如果群元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并有相同的乘法表，就稱為同構(gòu)群。群的同構(gòu)與同態(tài)B.同態(tài)◆定義:設(shè)有兩個(gè)群G和G’，它們的階不同，若G’中任何一個(gè)元素都可以在G中找到一個(gè)或多個(gè)元素和它相對(duì)應(yīng)，且保持群的基本運(yùn)算規(guī)律不變，則稱群G和群G’同態(tài)。對(duì)稱操作群：進(jìn)行對(duì)稱變換的所有對(duì)稱操作的集合。一個(gè)分子的全部對(duì)稱操作形成一個(gè)群，這些對(duì)稱操所對(duì)應(yīng)的操作矩陣也組成一個(gè)群。C2h

群C2，σh，i，E例C2hEC2σhiEEC2σhiC2C2EiσhσhσhiEC2iiσhC2EC2h的乘法表例群的表示以上4個(gè)對(duì)稱操作所對(duì)應(yīng)的一組矩陣群，就是群的表示。也就是說，描述對(duì)稱操作的矩陣也構(gòu)成了一個(gè)群，而且分子的點(diǎn)群與矩陣群一一對(duì)應(yīng)，盡管它們的 群元素不同、作用的規(guī)則不同，但它們的乘法表是相同的，因此這兩個(gè)群同構(gòu)。與點(diǎn)群同構(gòu)或同態(tài)的矩陣群，稱為群的表示。群的表示的基任意函數(shù)集合，只要在群操作作用下變成為另一個(gè)函數(shù)集合，則稱原來的函數(shù)集合為群表示的基?；x擇的任意性：點(diǎn)的坐標(biāo)，一組函數(shù)，向量，波函數(shù)，原子軌道，分子軌道等。群的可約表示凡是可以進(jìn)行群表示化簡(jiǎn)的矩陣表示就稱為群的可約表示。若利用相似變換的方法能把一個(gè)表示Γ的所有矩陣分解為低維表示時(shí)，該表示Γ稱為可約表示。C2vEC2σvσv’EEC2σvσv’C2C2Eσv’σvσvσvσv’EC2σv’σv’σvC2EC2v的乘法表例C2v的兩組不同的表示這些群的表示是可以簡(jiǎn)化的是群的可約表示群的

不可約表示其實(shí)在一個(gè)群的無窮多個(gè)表示中，只有少數(shù)幾個(gè)所謂的不可約表示是重要的，它反映了該群的的本質(zhì)。凡是不能用群表示的簡(jiǎn)化方法化簡(jiǎn)的矩陣表示就稱為群的不可約表示。矩陣的對(duì)角元之和稱為該矩陣的跡。在矩陣約化過程中矩陣的值