公開課教案教學設(shè)計課件橢圓及其標準方程

PAGE2.1.1橢圓的標準方程一預習目標理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．二預習內(nèi)容1.什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？．2.圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？3．橢圓的定義：

軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的，兩焦點的距離叫做

。4.橢圓標準方程的推導：①建系；以為軸，

為軸，建立直角坐標系，則的坐標分別為：②寫出點集；設(shè)P（）為橢圓上任意一點，根據(jù)橢圓定義知：

③坐標化；④化簡（注意根式的處理和令a2-c2=b2）

類似的，焦點在軸上的橢圓方程為

：

其中焦點坐標為：三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學案一、學習目標1..通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力。2通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．重點：橢圓的定義的理解及其標準方程記憶難點：橢圓標準方程的推導二、學習過程1.思考：(1)動點是在怎樣的條件下運動的？(2)動點運動出的軌跡是什么？得出結(jié)論：在平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點的軌跡為2．推導橢圓的標準方程．1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系，并設(shè)橢圓上任意一點的坐標為M(x，y)，設(shè)兩定點坐標為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)則M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我們要化簡方程就是要化去方程中的根式，你學過什么辦法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．b2=a2-c2得：3.例題例1已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標準方程．設(shè)橢圓的標準方程為，因點在橢圓上，代入化簡可得標準方程。例2如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？分析：點在圓上運動，由點移動引起點的運動，則稱點是點的伴隨點，因點為線段的中點，則點的坐標可由點來表示，從而能求點的軌跡方程例3如圖，設(shè)，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程．分析：若設(shè)點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點的軌跡方程．三、反思總結(jié)1.橢圓方程得標準形式為：2.求動點軌跡方程的步驟是什么？四、當堂檢測1.求適合下列條件的橢圓的標準方程：

（1）兩個焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；

（2）兩個焦點的坐標分別是（0，-2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過點2.平面內(nèi)兩個定點的距離為8，動點M到兩個定點的距離的和為10，求動點M的軌跡方程。課后練習與提高

A、5

B、5或8

C、3或5

D、202、如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（）A、(0,+∞)

B、(0,2)

C、(1,+∞)

D、(0,1)

A、2

B、3

C、5

D、7

A、2a

B、4a

C、8a

D、2a+2b

5、若關(guān)于x、y的方程x2sinα-y2cosα=1所表示的曲線是橢圓，則方程(x+cosα)2+(y+sinα)2=1所表

示的圓的圓心在（）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

6、已知橢圓的焦點是F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點P為橢圓上一點，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等

差中項，則橢圓的方程是（

）

7、已知橢圓上一點P到其一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為（）

A、2

B、3

C、5

D、7

8、如果橢圓E：4x2+y2=k上兩點間的距離最大是8，則k值為（）

A、32

B、16

C、8

D、4

9、已知F1、F2是橢圓的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于點A、B，若|AB|=5，則|AF1|+|BF1|的值為（）

A、11

B、10

C、9

D、16

10、已知橢圓的標準方程是，M1、M2為橢圓上的點。

（1）點M1（4，2.4）與焦點的距離分別是________,______;

（2）點M2到一個焦點的距離等于3，則它到另一焦點的距離等于_________.

2.1.1橢圓及其標準方程教學目標：1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；2．能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；3．通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；4．通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；5．通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識．重點：橢圓的定義的理解及其標準方程記憶難點：橢圓標準方程的推導教學過程一、復習并引入新課思考問題：1.在解析幾何中，我們通常把動點按照某種規(guī)律運動形成的軌跡叫做曲線．曲線和方程的關(guān)系是什么？（如果曲線上任意一點的坐標都是方程f(x，y)=0的解，同時以方程f(x，y)=0的解為坐標的點又都在曲線上，那么方程就是曲線的方程，曲線就是方程的曲線．）2.圓的定義是：在平面上，到定點的距離等于定長的點的軌跡；那么當動點滿足哪些條件時軌跡仍然是圓？（①平面上到兩個定點(距離為2d)距離的平方和等于定值a(a＞2d2)的點的軌跡是圓；②平面上，與兩個定點連線的斜率乘積為-1的點的軌跡是圓．）由此可見，平面上到兩個定點距離或與兩個定點連線滿足某種條件的點的軌跡比較特殊，下面就從這點出發(fā)研究．二、講授新課1．請學生觀察計算機演示如圖2-23，并思考兩個問題．(1)動點是在怎樣的條件下運動的？(2)動點運動出的軌跡是什么？（3）是否到兩個定點距離之和等于定值的點的軌跡就一定是橢圓呢？觀察后請學生回答．(學生可能一時答不出，教師可請學生觀察計算機演示如圖2-24并思考．)（4）當兩個定點位置變化時，軌跡發(fā)生了怎樣的變化？從而得出結(jié)論：在平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點的軌跡為最后由學生口述教師板書：把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點的軌跡叫做橢圓，其中2a＞|F1F2|．順便可以指出兩個定點叫做焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距，用2c(c＞0)表示．2．推導橢圓的標準方程．思考問題：（1）求曲線方程的步驟是什么？（2）求到兩個定點F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a(2a＞|F1F2|)（求曲線方程的步驟是：①建立坐標系設(shè)動點坐標：②尋找動點滿足的幾何條件；③把幾何條件坐標化；④化簡得方程；⑤檢驗其完備性．）注：建立直角坐標系一般應符合簡單和諧化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線的斜率等)的表達式簡單化，注意要充分利用圖形的特殊性．(讓學生思考后回答)教師歸納大體上有如下三個方案：①取一個定點為原點，以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖2-25；②以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系，如圖2-26；③以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系，最后選定方案②，如圖2-27，推導出方程．解

1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系，并設(shè)橢圓上任意一點的坐標為M(x，y)，設(shè)兩定點坐標為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)則M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．啟發(fā)學生觀察圖形如圖2-28，看看a與c的關(guān)系如何？(根據(jù)橢圓定義知道a2＞c2，且如圖所示，a與c可以看成Rt△MOF2的斜邊和直角邊．)不妨令b2=a2-c2，則方程就變形為b2x2+a2y2=a2b2，再化簡，(*)(*)式就是焦點在x軸上的橢圓的標準方程，最后說明：1)方程中條件a＞b＞0不可缺少(結(jié)合圖形)，當a=b＞0時，就化成圓心在原點的圓的方程，從而進一步說明圓是橢圓的特例；(這實際上是一種極限情況．)2)b的選取雖然是為了方程形式簡潔與和諧，但也有實際的幾何意義，即：b2=a2-c2；3)請學生猜想：若用方案③(即焦點在y軸上)，得到的方程形式又如何呢？(啟發(fā)學生根據(jù)對稱性進行猜想)三、例題例1已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標準方程．分析：由橢圓的標準方程的定義及給出的條件，容易求出．引導學生用其他方法來解．另解：設(shè)橢圓的標準方程為，因點在橢圓上，則．例2如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？分析：點在圓上運動，由點移動引起點的運動，則稱點是點的伴隨點，因點為線段的中點，則點的坐標可由點來表示，從而能求點的軌跡方程．引申：設(shè)定點，是橢圓上動點，求線段中點的軌跡方程．解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡）設(shè)，；②（點與伴隨點的關(guān)系）∵為線段的中點，∴；③（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），∵，∴點的軌跡方程為；④伴隨軌跡表示的范圍．例3如圖，設(shè)，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程．分析：若設(shè)點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點的軌跡方程．解法剖析：設(shè)點，則，；代入點的集合有，化簡即可得點的軌跡方程．引申：如圖，設(shè)△的兩個頂點，，頂點在移動，且，且，試求動點的軌跡方程．引申目的有兩點：①讓學生明白題目涉及問題的一般情形；②當值在變化時，線段的角色也是從橢圓的長軸→圓的直徑→橢圓的短軸．作業(yè)：P40練習下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？

齊：主動關(guān)好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結(jié)束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉