北京交通大學(xué)數(shù)值分析 6微分方程數(shù)值解習(xí)題課_第1頁
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微分方程初值問題數(shù)值解習(xí)題課一、應(yīng)用向前歐拉法和改進歐拉法求由如下積分所確定的函數(shù)y在點x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：該積分問題等價于常微分方程初值問題其中h=0.5。其向前歐拉格式為改進歐拉格式為將兩種計算格式所得結(jié)果列于下表向前歐拉法改進歐拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、應(yīng)用4階4步阿達姆斯顯格式求解初值問題取步長h=0.1.解：4步顯式法必須有4個起步值，已知，其他3個用4階龍格庫塔方法求出。本題的信息有：步長h=0.1；結(jié)點；經(jīng)典的4階龍格庫塔公式為算得,,4階4步阿達姆斯顯格式由此算出三、用Euler方法求問步長應(yīng)該如何選取，才能保證算法的穩(wěn)定性？解：本題本題的絕對穩(wěn)定域為得，故步長應(yīng)滿足求梯形方法的絕對穩(wěn)定域。證明：將Euler公式用于試驗方程，得到整理設(shè)計算時有舍入誤差，則有據(jù)穩(wěn)定性定義，要想，只須因此方法絕對穩(wěn)定域為復(fù)平面的整個左半平面（？），是A-穩(wěn)定的。五、對初值問題證明：用梯形公式求得的數(shù)值解為并證明當(dāng)步長時，收斂于該初值問題的精確解證明：由梯形公式，有整理，得由此遞推公式和初值條件，有，則有在區(qū)間上有，步長，由前面結(jié)果有由x的任意性，得所證。六。常微分方程初值問題的單步法為試求其局部截斷誤差主項并回答它是幾階精度的？解該單步公式的局部截斷誤差是故局部截斷誤差主項是，方法是一階的。七、對于微分方程，已知在等距結(jié)點處的y的值為，h為步長。試建立求的線性多步顯格式與與隱格式。解：取積分區(qū)間，對兩端積分：對右端作的二次插值并積分得到線性4步顯格式若對右端在兩點上作線性插值并積分，有由此產(chǎn)生隱格式八、證明線性多步法存在的一個值，使方法是4階的。解

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