第1章-勾股定理-北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)單元測試卷+易錯(cuò)題練習(xí)(解析版)

八年級（上）數(shù)學(xué)第1章勾股定理單元測試卷一．選擇題（共10小題）1．下列四組線段中，不能作為直角三角形三條邊的是A．3，4，5 B．2，2， C．2，5，6 D．5，12，132．在中，若，則A． B． C． D．3．勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，分別以的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為，，．若，則A．25 B．36 C．40 D．494．的三邊分別為、、，滿足，，則這個(gè)三角形有一個(gè)角的度數(shù)為A． B． C． D．5．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，四邊形的頂點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，則下面4條線段長度為的是A． B． C． D．6．兩個(gè)邊長分別為，，的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，則可得等式為A． B． C． D．7．為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備舉辦新年晚會(huì)，大林搬來一架高為2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米的墻上，開始梯腳與墻角的距離為1.5米，但高度不夠．要想正好掛好拉花，梯腳應(yīng)向前移動(dòng)（人的高度忽略不計(jì)）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米8．如圖，在行距、列距都是1的的方格網(wǎng)中，將任意連接兩個(gè)格點(diǎn)的線段稱作“格點(diǎn)線”，則“格點(diǎn)線”的長度不可能等于A． B． C． D．9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，小正方形的面積為9，則大正方形的邊長為A．9 B．6 C．5 D．410．如圖，一根長5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時(shí)為4米，若竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，則竹竿底端外移的距離A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不對二．填空題（共8小題）11．在中，，若，，則的長是．12．有一個(gè)三角形的兩邊長是9和12，要使這個(gè)三角形成為直角三角形，則第三條邊長的平方是．13．如圖，陰影部分是一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的面積為．14．兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一人以的速度向北直行，一人以的速度向東直行，后他們相距．15．如圖，中，，是邊上一點(diǎn)，，，，則的長為．16．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線、交于點(diǎn)．若，，則．17．如圖，圓柱的底面半徑為24，高為，螞蟻在圓柱表面爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程是．18．“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”，，，和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，若，，則．三．解答題（共7小題）19．如圖，已知，，，，，試求陰影部分的面積．20．老李家有一塊草坪如圖所示，家里想整理它，需要知道其面積．老李測量了草坪各邊得知：米，米，米，米，且．請同學(xué)們幫老李家計(jì)算一下這塊草坪的面積．21．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米，請算出旗桿的高度．22．如圖，某電信公司計(jì)劃在，兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)間的處修建一座信號塔，且使，兩個(gè)村莊到的距離相等．已知于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，求信號塔應(yīng)該建在離鄉(xiāng)鎮(zhèn)多少千米的地方？23．某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了，小汽車到達(dá)處，此時(shí)測得小汽車與車速檢測儀間的距離為，這輛小汽車超速了嗎？24．已知：整式，整式．嘗試化簡整式．發(fā)現(xiàn)．求整式．聯(lián)想由上可知，，當(dāng)時(shí)，，，為直角三角形的三邊長，如圖，填寫下表中的值；直角三角形三邊勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ3525．如圖，將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得，因?yàn)?，所以，解得?）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：利用可以得到與、、的關(guān)系，請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗(yàn)證勾股定理．

參考答案一．選擇題（共10小題）1．下列四組線段中，不能作為直角三角形三條邊的是A．3，4，5 B．2，2， C．2，5，6 D．5，12，13解：，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；，，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．故選：．2．在中，若，則A． B． C． D．解：在中，若，，，故選：．3．勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，分別以的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為，，．若，則A．25 B．36 C．40 D．49解：在中，，又由正方形面積公式得，，，．故選：．4．的三邊分別為、、，滿足，，則這個(gè)三角形有一個(gè)角的度數(shù)為A． B． C． D．解：的三邊分別為、、，滿足，為直角三角形，且，，，，，，又，．故選：．5．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，四邊形的頂點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，則下面4條線段長度為的是A． B． C． D．解：，，，，故長度為的線段是，故選：．6．兩個(gè)邊長分別為，，的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，則可得等式為A． B． C． D．解：根據(jù)題意得：，，，即，整理得：．故選：．7．為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備舉辦新年晚會(huì)，大林搬來一架高為2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米的墻上，開始梯腳與墻角的距離為1.5米，但高度不夠．要想正好掛好拉花，梯腳應(yīng)向前移動(dòng)（人的高度忽略不計(jì)）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米解：梯腳與墻角距離：（米，開始梯腳與墻角的距離為1.5米，要想正好掛好拉花，梯腳應(yīng)向前移動(dòng)：（米．故選：．8．如圖，在行距、列距都是1的的方格網(wǎng)中，將任意連接兩個(gè)格點(diǎn)的線段稱作“格點(diǎn)線”，則“格點(diǎn)線”的長度不可能等于A． B． C． D．解：，故可能是“格點(diǎn)線”的長度，故選項(xiàng)不符合題意；，故可能是“格點(diǎn)線”的長度，故選項(xiàng)不符合題意；，故不可能是“格點(diǎn)線”的長度，故選項(xiàng)符合題意；，故可能是“格點(diǎn)線”的長度，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，小正方形的面積為9，則大正方形的邊長為A．9 B．6 C．5 D．4解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：，每一個(gè)直角三角形的面積為：，大正方形的面積為：，大正方形的邊長為5．故選：．10．如圖，一根長5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時(shí)為4米，若竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，則竹竿底端外移的距離A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不對解：由題意得：在中，米，米，米，在中，米，米，米，（米．故選：．二．填空題（共8小題）11．在中，，若，，則的長是17．解：在中，，，，，即，解得．故答案為：17．12．有一個(gè)三角形的兩邊長是9和12，要使這個(gè)三角形成為直角三角形，則第三條邊長的平方是225或63．解：當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，第三邊的長的平方是：；當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r(shí)，第三邊長的平方是：；故答案是：225或63．13．如圖，陰影部分是一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的面積為36．解：由圖可知直角三角形的一個(gè)直角邊長為，斜邊長為，正方形的邊長，這個(gè)正方形的面積為：．故答案為：36．14．兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一人以的速度向北直行，一人以的速度向東直行，后他們相距．解：設(shè)后，，甲乙兩人相距．答：后，甲乙兩人相距，故答案為：．15．如圖，中，，是邊上一點(diǎn)，，，，則的長為．解：中，，，，，，，，故答案為：．16．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線、交于點(diǎn)．若，，則20．解：，，由勾股定理得，，，，，，．故答案為：20．17．如圖，圓柱的底面半徑為24，高為，螞蟻在圓柱表面爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程是．解：如圖所示：沿過點(diǎn)和過點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接，則的長是螞蟻在圓柱表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程，，，，由勾股定理得：．故答案為：．18．“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”，，，和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，若，，則6．解：，，大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，四個(gè)直角三角形面積和為，設(shè)為，為，即，，，，，，解得：，，，，．故答案為：6．三．解答題（共7小題）19．如圖，已知，，，，，試求陰影部分的面積．解：由勾股定理可知：，又，是直角三角形故所求面積，答：陰影部分的面積為24．20．老李家有一塊草坪如圖所示，家里想整理它，需要知道其面積．老李測量了草坪各邊得知：米，米，米，米，且．請同學(xué)們幫老李家計(jì)算一下這塊草坪的面積．解：連接，如圖，，，米，米，米，米，米，，為直角三角形，這塊草坪的面積（米．21．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米，請算出旗桿的高度．解：設(shè)旗桿的高度為米，根據(jù)勾股定理，得，解得：；答：旗桿的高度為12米22．如圖，某電信公司計(jì)劃在，兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)間的處修建一座信號塔，且使，兩個(gè)村莊到的距離相等．已知于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，求信號塔應(yīng)該建在離鄉(xiāng)鎮(zhèn)多少千米的地方？解：設(shè)，則，，，和都是直角三角形，，，又，，，，解得．答：信號塔應(yīng)該建在離鄉(xiāng)鎮(zhèn)30千米的地方．23．某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了，小汽車到達(dá)處，此時(shí)測得小汽車與車速檢測儀間的距離為，這輛小汽車超速了嗎？解：在中，，；據(jù)勾股定理可得：小汽車的速度為；；這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．24．已知：整式，整式．嘗試化簡整式．發(fā)現(xiàn)．求整式．聯(lián)想由上可知，，當(dāng)時(shí)，，，為直角三角形的三邊長，如圖，填寫下表中的值；直角三角形三邊勾股數(shù)組Ⅰ158勾股數(shù)組Ⅱ35解：，，，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，（負(fù)值舍去），，．直角三角形三邊勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237故答案為：15，17；12，37．25．如圖，將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得，因?yàn)?，所以，解得?）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：利用可以得到與、、的關(guān)系，請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗(yàn)證勾股定理．解：（2）因?yàn)樗裕穑号c、、的關(guān)系為．（3）根據(jù)（1）和（2）得：．即化簡得．八年級（上）數(shù)學(xué)第1章勾股定理單元測試卷一．選擇題（共10小題）1．下列各組線段不能構(gòu)成直角三角形的是A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．6，8，102．如果一個(gè)三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方差，則此三角形是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷3．已知，，是的三條邊，則下列等式不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．4．在中，，，，則的面積為A．5 B．60 C．45 D．305．以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形的面積為A．6 B．36 C．64 D．86．如圖，在中，，，，則的值是A． B． C． D．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，則下列各圖的三角形不是直角三角形的是A． B． C． D．8．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．設(shè)直角三角形較長的直角邊為，較短的直角邊為，且，則大正方形面積與小正方形面積之比為A． B． C． D．9．如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形在水池的正中央有根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺10．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為、、．若，則的值是A．12 B．15 C．20 D．30二．填空題（共8小題）11．中，，如果，，那么．12．在中，，且，，則的值是．13．某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示，已知米，米，米，米，且，則這塊草坪的面積是平方米．14．如圖，在中，，，，，垂足為，則的長為．15．如圖是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的邊長分別是5、8、3、5，則最大正方形的面積是．16．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，，則小正方形的面積為．17．如圖所示，，，，，則的長為．18．如圖，已知圓柱底面圓的周長為，高為，一只螞蟻沿外壁爬行，要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，則爬行的最短路程是．三．解答題（共7小題）19．如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1，求證：是直角三角形．20．一塊木板如圖所示，已知，，，，，求此木板的面積．21．如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼?，量出，，，，著每天鑿隧道，問幾天才能把隧道鑿?fù)ǎ?2．如圖所示，木工師傅做一個(gè)三角形屋梁架．已知，為牢固起見，還需做一根中柱是的中線）加以連接，中柱，求屋梁跨度的長．23．如圖，在中，，，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，且，．求：四邊形的面積．24．閱讀材料，回答問題：（1）中國古代數(shù)學(xué)著作《周脾算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，徑隅五．”這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊為3和4時(shí)，那么斜邊的長為5．“上述記載表明了在中，如果，，，，那么，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是：（2）對于這個(gè)數(shù)量關(guān)系，可以利用面積法進(jìn)行了證明．已知四個(gè)全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形，請你參考右圖，將下面的證明過程補(bǔ)充完整；證明：，，又，，整理得，．25．【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長能構(gòu)成直角三角形的3個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．【應(yīng)用舉例】觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，當(dāng)勾為3時(shí)，股，弦；當(dāng)勾為5時(shí)，股，弦；當(dāng)勾為7時(shí)，股，弦．請仿照上面三組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾用，且為奇數(shù)）表示時(shí)，請用含有的式子表示股和弦，則股，弦．【問題解決】（2）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖也提出了構(gòu)造勾股數(shù)組的公式．具體表述如下：如果，，為大于1的整數(shù)），則、、為勾股數(shù)．請你證明柏拉圖公式的正確性；（3）畢達(dá)哥拉斯在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)弦與股的差為1，若用為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)，請你找出另外兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式分別是多少？

參考答案一．選擇題（共10小題）1．下列各組線段不能構(gòu)成直角三角形的是A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．6，8，10解：、，三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)正確；、，三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．2．如果一個(gè)三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方差，則此三角形是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷解：該三角形的三邊分別為、、其中是斜邊，若或，則，所以該三角形是直角三角形．故選：．3．已知，，是的三條邊，則下列等式不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．解：、，，，是直角三角形，不符合題意；、，，是直角三角形，不符合題意；、，，，是直角三角形，不符合題意；、，或，可能是等腰三角形或直角三角形，符合題意；故選：．4．在中，，，，則的面積為A．5 B．60 C．45 D．30解：，，，．的面積，故選：．5．以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形的面積為A．6 B．36 C．64 D．8解：如圖，，，，，正方形的面積為6，故選：．6．如圖，在中，，，，則的值是A． B． C． D．解：在中，，，，．故選：．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，則下列各圖的三角形不是直角三角形的是A． B． C． D．解：、，，，三角形是直角三角形；、，，，三角形是直角三角形；，、，，，三角形不是直角三角形；、，，三角形是直角三角形．故選：．8．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．設(shè)直角三角形較長的直角邊為，較短的直角邊為，且，則大正方形面積與小正方形面積之比為A． B． C． D．解：，大正方形面積與小正方形面積之比為．故選：．9．如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形在水池的正中央有根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度（尺，答：蘆葦長13尺．故選：．10．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為、、．若，則的值是A．12 B．15 C．20 D．30解：設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積為，則，，因?yàn)椋?，即，解得．故選：．二．填空題（共8小題）11．中，，如果，，那么12．解：在中，，所對的邊為斜邊，，，故答案為：12．12．在中，，且，，則的值是6．解：，，，，在中，，，故答案為：6．13．某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示，已知米，米，米，米，且，則這塊草坪的面積是144平方米．解：連接．則由勾股定理得米，，．這塊草坪的面積米．故答案為：144．14．如圖，在中，，，，，垂足為，則的長為．解：，，，，，，．故答案為：．15．如圖是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的邊長分別是5、8、3、5，則最大正方形的面積是123．解：由勾股定理得，正方形的面積正方形的面積正方形的面積，同理，正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積，故答案為：123．16．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，，則小正方形的面積為7．解：觀察圖形可知，小正方形的邊長，，，小正方形的面積．故答案為：7．17．如圖所示，，，，，則的長為20．解：，，，，又，，，故答案為：20．18．如圖，已知圓柱底面圓的周長為，高為，一只螞蟻沿外壁爬行，要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，則爬行的最短路程是．解：將圓柱展開，側(cè)面為矩形，如圖所示：底面的周長為，，高，．故答案為：．三．解答題（共7小題）19．如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1，求證：是直角三角形．【解答】證明：，，，，是直角三角形．20．一塊木板如圖所示，已知，，，，，求此木板的面積．解：連接，在中，，，，，在中，，，，，，，為直角三角形，為斜邊，木板的面積為：．答：此木板的面積為24．21．如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼溃砍觯?，，著每天鑿隧道，問幾天才能把隧道鑿?fù)ǎ拷猓?，，，天天才能將隧道鑿?fù)ǎ穑?0天才能將隧道鑿?fù)ǎ?2．如圖所示，木工師傅做一個(gè)三角形屋梁架．已知，為牢固起見，還需做一根中柱是的中線）加以連接，中柱，求屋梁跨度的長．解：，是的中線，，，，在中，由勾股定理，得，，屋梁跨度的長度是．23．如圖，在中，，，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，且，．求：四邊形的面積．解：中，，，，；在中，，，，，是直角三角形，四邊形的面積．24．閱讀材料，回答問題：（1）中國古代數(shù)學(xué)著作《周脾算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，徑隅五．”這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊為3和4時(shí)，那么斜邊的長為5．“上述記載表明了在中，如果，，，，那么，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是：（2）對于這個(gè)數(shù)量關(guān)系，可以利用面積法進(jìn)行了證明．已知四個(gè)全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形，請你參考右圖，將下面的證明過程補(bǔ)充完整；證明：，，又，，整理得，．解：（1）在中，，，，，由勾股定理得，，故答案為：；（2）證明：，，又，，整理得，．故答案為：；；，，，．25．【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長能構(gòu)成直角三角形的3個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．【應(yīng)用舉例】觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，當(dāng)勾為3時(shí)，股，弦；當(dāng)勾為5時(shí)，股，弦；當(dāng)勾為7時(shí)，股，弦．請仿照上面三組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾用，且為奇數(shù)）表示時(shí)，請用含有的式子表示股和弦，則股，弦．【問題解決】（2）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖也提出了構(gòu)造勾股數(shù)組的公式．具體表述如下：如果，，為大于1的整數(shù)），則、、為勾股數(shù)．請你證明柏拉圖公式的正確性；（3）畢達(dá)哥拉斯在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)弦與股的差為1，若用為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)，請你找出另外兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式分別是多少？解：（1）如果勾用，且為奇數(shù)）表示時(shí)，則股，弦；故答案為：，；（2），，表示大于1的整數(shù)），、、為勾股數(shù)；（3）弦與股的差為1，為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)，另外兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式分別是；．第1章勾股定理一．選擇題1．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或842．勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載，如圖①，以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，再把較小的兩個(gè)等邊三角形按如圖②的方式放置在最大等邊三角形內(nèi)．若知道圖②中陰影部分的面積，則一定能求出圖②中（）A．最大等邊三角形與直角三角形面積的和 B．最大等邊三角形的面積 C．較小兩個(gè)等邊三角形重疊部分的面積 D．直角三角形的面積3．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．304．“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)正方形拼成的大正方形．如圖，每一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長分別是3和6，則中間小正方形與大正方形的面積差是（）A．9 B．36 C．27 D．345．若a、b、c為三角形三邊，則下列各項(xiàng)中不能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25 B．a(chǎn)＝5，b＝13，c＝12 C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 D．a(chǎn)＝30，b＝40，c＝506．滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2 B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D．∠C＝∠A﹣∠B7．如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）A．47 B．62 C．79 D．988．下列是勾股數(shù)的一組是（）A．1，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，7，129．如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米10．野外生存訓(xùn)練中，第一小組從營地出發(fā)向北偏東60°方向前進(jìn)了3千米，第二小組向南偏東30°方向前進(jìn)了3千米，經(jīng)觀察、聯(lián)系，第一小組準(zhǔn)備向第二小組靠攏，則行走方向和距離分別為（）A．南偏西15°，3千米 B．北偏東15°，3千米 C．南偏西15°，3千米 D．南偏西45°，3千米二．填空題11．若一直角三角形兩直角邊長分別為6和8，則斜邊長為．12．已知三角形三邊長分別為5，12，13，則此三角形的最大邊上的高等于．13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面規(guī)律，第5個(gè)勾股數(shù)組為．14．《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠(yuǎn)．問：原處還有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原處的竹子還有尺高．15．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是．三．解答題16．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連結(jié)AP．（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長度（結(jié)果保留根號）；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）過點(diǎn)D做DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE＝CD？17．如圖，點(diǎn)C在線段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，點(diǎn)E在線段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，請借助這個(gè)圖形證明勾股定理．18．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長度．19．勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國西漢吋期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股數(shù)．（1）小李在研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個(gè)整數(shù)的平方和，有一條直角邊能寫成這兩個(gè)整數(shù)的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；請證明：m，n為正整數(shù)，且m＞n，若有一個(gè)直角三角形斜邊長為m2+n2，有一條直角長為m2﹣n2，則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；（2）有一個(gè)直角三角形兩直角邊長分別為和，斜邊長4，且a和b均為正整數(shù)，用含b的代數(shù)式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均為正整數(shù)．證明：存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其斜邊長為c1?c2．20．一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？

參考答案一．選擇題1．C．2．C．3．C．4．B．5．C．6．C．7．C．8．B．9．A．10．A．二．填空題11．10．12．．13．（11，60，61）．14．．15．10cm．三．解答題16．解：（1）根據(jù)題意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝1