幾何學(xué)的發(fā)展

幾何學(xué)的發(fā)展一、近代射影幾何一一綜合幾何的發(fā)展自從笛卡兒等人創(chuàng)立解析幾何以后，代數(shù)的和分析的方法統(tǒng)治著幾何學(xué)，綜合的方法受到了排斥.但是，優(yōu)美而直觀、清晰的幾何方法，一直吸引著不少幾何學(xué)家.19世紀(jì)初，不少著名的數(shù)學(xué)家指出，綜合幾何一一用綜合的方法對幾何進行的研究被不公平、不明智地忽略了，因此應(yīng)該積極努力地來復(fù)興和擴展綜合幾何.以龐斯列(J.V.Poncelet，1788—1867)為代表的幾何學(xué)家放棄分析的方法，采用純粹幾何的方法進行探討.他們?nèi)〉昧素S碩的成果，這些成果在19世紀(jì)早期是幾何學(xué)的主流.為了和笛卡兒的解析幾何以及歐幾里得幾何有所區(qū)別，人們稱之為近代綜合幾何.實際上，這種近代綜合幾何是17世紀(jì)帕斯卡、德扎格等人開創(chuàng)的射影幾何的復(fù)興，因而又被人稱為近代射影幾何.綜合的歐幾里得幾何學(xué)在19世紀(jì)初取得了一些新成果，產(chǎn)生了數(shù)以百計的新定理.19世紀(jì)綜合幾何的主要成就是射影幾何學(xué)的復(fù)興.射影幾何學(xué)在17世紀(jì)曾有過突出的成就，但卻被解析幾何、微積分淹沒了.數(shù)學(xué)家們經(jīng)過論戰(zhàn)，終于在19世紀(jì)為綜合幾何贏得了較高的地位.綜合幾何尤其是射影幾何在19世紀(jì)的興起主要應(yīng)歸功于以蒙日(G.Monge，1746—1818)為首的法國數(shù)學(xué)家.他是法國拿破侖時代數(shù)學(xué)界的導(dǎo)師，也是一位優(yōu)秀的教師，大批的優(yōu)秀幾何學(xué)家都是在他的直接教導(dǎo)和影響下成長起來的，其中就有龐斯列和卡諾.射影幾何學(xué)的復(fù)興始于卡諾(L.N.M.Carnot，1753—1823)，他是蒙日的學(xué)生，物理學(xué)家S.卡諾的父親.他是受蒙日的影響研究幾何學(xué).1803年，出版了《位置幾何學(xué)》(Geome-triedePosition)，1806年版了《橫截線論》(EssaiSurLatheoriedestransversales)，在這些書中，他導(dǎo)出了完全四邊形和完全四角形的性質(zhì)，并且引入了種種有價值的射影幾何理論，他試圖證明射影幾何方法并不比解析幾何方法遜色.龐斯列在俄羅斯的監(jiān)獄中給純粹的幾何方法注入了新的生命力.1822年，他的研究成果《圖形的射影性質(zhì)》(Traitedesproprietesprojectivesdesfigures)在巴黎出版.這本書內(nèi)容極為豐富，它所研究的是那些在射影時保持不變的性質(zhì).平面圖形的某些度量性質(zhì)(如距離、角度)在投影時有所變化，但有些卻不變，如四條相交于一點的直線被一截線所割，截點分別是A，B，C，D，則(AB：BC):(AD：DC)不變.他稱(AB:BC):(AD:DC)為點列的反調(diào)和比或交比.他詳細(xì)討論了交比、射影對應(yīng)、對合變換、圓上虛渺點等基本概念.龐斯列在射影幾何方面的工作以三個觀念為中心：(1)透射的圖形；(2)連續(xù)性原理；(3)圓錐曲線的極點與極線.以這些觀念為中心，他奠定了射影幾何的基礎(chǔ).19世紀(jì)射影幾何的一個重要成就是建立了對偶(duality)原理.龐斯列等人認(rèn)識到，涉及平面圖形的定理，如果把“點”換成“線”、“線”換成“點”，重述一遍，不但話談得通，而且竟是正確的.這是為什么呢？為此數(shù)學(xué)家們展開了爭論，龐斯列隊為配極關(guān)系是其原因.熱爾崗(Joseph—DiezGergonne,1771—1859)則堅決主張對偶原理是一個普遍性原理，適用于除了涉及度量性質(zhì)之外的一切陳述和定理，配極關(guān)系是不必要的中介.他首先引入“對偶性”這個術(shù)語來表示原定理與新的對偶定理之間的關(guān)系.他還注意到在三維的情形中點與面是對偶的元素，線的對偶元素是自身.熱爾崗發(fā)明了把對偶的定理寫成兩欄的格式，把對偶的定理并排寫在原來命題的旁邊.下面我們看看德扎格定理及其對偶：德扎格定理 德扎格定理的對偶如果有兩個三角形，聯(lián)接對應(yīng)頂點的線過同一個點0,那么對應(yīng)邊相交的三個點在同一條線上.如果有二個三角形，聯(lián)接對應(yīng)邊的點在同一條線0上，那么對應(yīng)頂點相連的三條線過同一個點.我們看到德扎格定理的對偶也是正確的，實際上它是原來定理的道定理.瑞士數(shù)學(xué)家施泰納(J.Steiner，1796—1863)建立了射影幾何學(xué)的嚴(yán)密系統(tǒng)，他把卡諾在完全四邊形方面的工作推廣到空間多邊形，完成了點列、線束、二項曲線及曲面的理論，討論了圓錐曲線的種種性質(zhì).其主要著作是1832年出版的《幾何形的相互依賴性的系統(tǒng)發(fā)展》(SystematischeEntwicklungderAbhngigkeitgeometrischenGestaltenVoneinaader)，這本書的主要原理是運用射影的概念從簡單的結(jié)構(gòu)(如點、線、線束、面、面束)建造出更復(fù)雜的結(jié)構(gòu).1867年他又對射影幾何的原理作了詳細(xì)說明.施泰納從開始研究幾何時就使用對偶原理，他把圓錐曲線的對偶化稱為線曲線，把作為點的軌跡的通常的曲線稱為點曲線，點曲線的諸切線是一條線曲線.在圓錐曲線的情形就構(gòu)成對偶曲線.利用圓錐曲線的對偶概念，可以把許多圓錐曲線定理如帕斯卡定理換成其對偶命題.沙勒(M.Chasles，1793—1880)指出，從對偶原理來看，在射影幾何中線可以同點一樣基本.他引進了一些新的術(shù)語，如把“交比”稱為“非調(diào)和比”，稱將點變成線、線變成點的變換為對射，等等.長期以來，人們對射影幾何與歐氏幾何的關(guān)系一直不清楚.1847年，德國數(shù)學(xué)家斯陶特(K.G.C.V.Staudt，1798—1867)出版的《位置幾何學(xué)》(GeometriederLage)澄清了這方面的關(guān)系，他指出，射影幾何完全可以擺脫長度的概念.例如：“交比”是一個基本概念，他把坐標(biāo)是％"企.田的四點的交比定歐.為-盤樣地不依靠長度和迭合的概念就得到了建立射影幾何的基本工具.因此，他指出射影幾何學(xué)實際上比歐氏幾何還基本，射影幾何學(xué)是與距離和角的大小無關(guān)的學(xué)科，歐氏幾何實際上可以看作射影幾何的特例.這樣，斯陶特完全擺脫了代數(shù)和度量的關(guān)系，建立了“純粹”的綜合幾何理論.射影幾何從古希臘起就已出現(xiàn)，17世紀(jì)德扎格、帕斯卡又進一步發(fā)展了，到19世紀(jì)中葉，已經(jīng)發(fā)展成了一門十分成熟的學(xué)科，占據(jù)著幾何學(xué)乃至數(shù)學(xué)的重要地位.二、非歐幾何的建立從歐幾里得本人開始，歐氏幾何第五公設(shè)(平行公設(shè))就一直是數(shù)學(xué)家的一塊心病，它完全不能滿足人們的審美要求.這條公設(shè)冗長，一點也不直觀，與具有簡單性、簡明性的美妙的歐氏幾何太不相稱了.于是，許多數(shù)學(xué)家力圖由其他公理、公設(shè)中推出平行公設(shè)，但誰也沒有成功.盡管如此，19世紀(jì)以前依然進行了一些有價值的工作，他們中有普羅克洛斯(Proclus，約公元412—485年)、沃利斯、薩凱里(G.Saccheri，1667—1733)、克萊羅、蘭伯特、勒讓德、普雷菲爾(J.Playfair，1748—1819)等等.薩凱里的工作最值得重視，在1733年發(fā)表的論文中，他從一個四邊形ABCD開始，其中A和B是直角，且AC=BD，(圖13.2)易證ZC=ZD，歐氏幾何平行公設(shè)相當(dāng)于ZC，ZD是直角這個論斷，于是他在下列兩種情形中選擇：A B圖13.鈍角假設(shè)：/C、/D是鈍角；銳角假設(shè)：/C、/D是銳角.他首先證明第1種情形不可能.其次，他在考慮第二個假設(shè)時，沒有得到任何矛盾，并且得到了許多有趣的定理，本來這種沒有矛盾的系統(tǒng)完全可以宣稱是一種新幾何，但他缺乏理論勇氣，以“結(jié)論不合情理”而否認(rèn)了.勝利的果實滑到嘴邊又溜走了.數(shù)學(xué)王子高斯在18世紀(jì)就知道要證明平行公設(shè)是徒勞的，并且在15歲時已經(jīng)掌握了能夠存在一種邏輯幾何的思想，其中歐氏平行公設(shè)不成立，他在思想上是非常解放的，絲毫不會為傳統(tǒng)觀念所左右，也不為科學(xué)泰斗所嚇倒.從1813年他就開始發(fā)展新幾何，起初他稱反歐幾何(anti-EuclideanGeometry)，星空幾何，最后稱非歐(Non—Euclidean)幾何，他認(rèn)為非歐幾何在邏輯上是相容，并且具有歐氏幾何一樣的可應(yīng)用性.但他在行動上一向謹(jǐn)小慎微，怕受人奚落，不為人理解，不敢發(fā)表離經(jīng)叛道的、但被他認(rèn)為是正確的學(xué)說.1826年2月12日，俄國學(xué)者羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)數(shù)理系宣讀了《論幾何原理》一文①，宣告了非歐幾何的創(chuàng)立.1835—1837年，他發(fā)表《具有平行的完全理論的幾何新基礎(chǔ)》，較好地表達了他的思想，他稱他的新幾何為“虛幾何”.1840年用德文出版了《平行理論的幾何研究》_(GeometrischeUntersuchun—genZurTheoriederparalle-llinien)，在雙目失明后仍口授出一部關(guān)于他的幾何的完全新的說明，于1855年以《泛幾何》而出版.幾乎與此同時，匈牙利軍官波爾約(J.Bolyai)在1825年左右已建立起非歐幾何思想，并于1832—1833年以《絕對空間的幾何》一文作為其父沃夫?qū)?波爾約(WolfgangBolyai，1775—1856)《為好學(xué)青年的數(shù)學(xué)原理論著》的附錄出版了.他的工作與羅巴切夫斯基的工作一起分別創(chuàng)立了非歐幾何.高斯、羅巴切夫斯基、波爾約都認(rèn)識到歐氏平行公設(shè)不能在其他公設(shè)基礎(chǔ)上證明，平行公設(shè)是歐氏幾何中獨立的和必不可少的，非歐幾何就是采取一個與平行公設(shè)相矛盾的命題，并從與此組成的一組新公理中，重新建立一種幾何.羅巴切夫斯基放棄了平行公設(shè)，提出了“羅氏平行公設(shè)”：過定直線外一定點有無數(shù)條定直線的平行線，并按如下方式建立新幾何：“設(shè)想從一點(C)作垂線a垂直于已知直線(AB)，并從該點向直線作平行線；記F(a)為。和平行線間的角”.在圖13.3中，過點C的所有直線關(guān)于直線AB可以分成兩類，一類直線與AB相交，另一類不相交.直線p與q屬于后一類，構(gòu)成相交與不相交兩類直線的邊界.F(a)是AB的垂線a與過C的AB的平行線間的角，稱為平行角.在羅巴切夫斯基幾何中，過C與AB平行的直線有無窮條.這正與歐氏幾何中“過定直線外一定點只有一條定直線的平行線”形成了鮮明對照.若F9)=則得出歐氏平行公設(shè).若F(cO尹號則當(dāng)咸小到0暇職)增加且趨于；當(dāng)疫成無限大時"壹將減小而趨于零.因此，三角形的內(nèi)角之和恒小于n，且隨著三角形面積的增大而減小，當(dāng)面積趨于零時，它就趨于n.“假設(shè)三角形內(nèi)角和小于n，就導(dǎo)致出圓隨半徑的增長不趨于直線，而趨于一特種曲線，我們稱它為極限圓.球面在這種情況下也趨向于一曲面，類似地，我們稱它為極限球面.”然后羅巴切夫斯基轉(zhuǎn)向新幾何的三角學(xué)部分.設(shè)想一個球面三角形AJBC,其球面中心為A(圖捋.4).首先他確定了F愆)，?結(jié)果是遴①愆)=巳-％己為自然對數(shù)？勺底°由此羔F(0)=—F(+e)=爪對于圖13.4中的球面三角形，他給出了公式ctgF(a)=ctgF(c)sinA，sinA=cosBsinF(b)，sinF(c)=sinF(a)sinF(b).“一般說來，在直角三角形中，a,b為直角邊，n-23為各角和，則有;/+ij因而三角形越小，它的各角之和同兩直線的區(qū)別越小.”根據(jù)對無窮小三角形的研究，羅巴切夫斯基還得出了曲線y=f(x)在(x，y)處的孤微分公式叫『若m于是，半徑為r的圓周長c=n(er—e-r)，圓面積A=n(孩-己一時隨后，他還建立了非歐空間的解析幾何和微分幾何的原理.非歐幾何的一種形式一一羅巴切夫斯基幾何已經(jīng)建立起來，“無論如何，新的幾何學(xué)，它的基礎(chǔ)已在此被規(guī)定，如果不存在于自然界中，那也可以存在于我們的虛想之中，它無助于實際測量，但對幾何學(xué)和分析學(xué)的互相利用，卻開拓了一個新的、廣闊的領(lǐng)域.”非歐幾何的誕生在數(shù)學(xué)史上具有十分重大的意義.它使人們認(rèn)識到，平行公設(shè)不能在其它公設(shè)的基礎(chǔ)上證明，它是獨立的命題，因而可以采用一個與之矛盾的公理并進而發(fā)展成為全新的幾何.三、微分幾何19世紀(jì)微分幾何的主要成就是柯西、高斯和黎曼做出的.不僅如此，高斯還提出了一個全新的概念：一張曲面本身就是一個空間，這個概念隨后為黎曼所推廣.并且由此確立了羅巴切夫斯基幾何的“合法”地位，從而在非歐幾何中開辟了新的發(fā)展道路.空間曲線理論在19世紀(jì)日趨完善.1826年，柯西在他的名著《無窮小計算在幾何上的應(yīng)用教程》(ApplicationsduCal-culinfinitesimalalageemetrie)中，改進了一些新的概念并且澄清了空間曲線理論中的許多問題。他把通過空間中的點(…，Q的直線方程記作其中cosa，cosp，cosy是直線的方向余弦，這在今天已成標(biāo)準(zhǔn)形式.他取孤長作自變量(s)，從而得到空間曲線任一點處切線的方向余弦笑一笑證明了主法線的方向數(shù)是共凄點曲線的曲率dsdsds ds"dsdsk=^-=摭曜))'+(頊,"(P是曲率半徑)；隨后他又證明了，

如果切線的方向余藕是做a和&&Y.頊臉?"=一-=="■d（c：O：5p）站。" : =—-—-Z*＜■d（c：O：5p）站。" : =—-—-Z*J - —-一=——.紊十片弋co?/4GdsH 既P”s節(jié)是一條法線的方向余弦，他取遺條法線為主法線.他還證明了其中攜相鄰切線間的夾角.pdscoeL柯西把切線和主法線決定的平面作為密切平面，這個平面的法線是次法線，而次法線的方向余弦cosL,cosM，cosN由下列公式給出：coeLcosM ?casNdyd3z-dzd"!ydzd22i.-dxd'z dxc\-dyd^z:：TOC\o"1-5"\h\z地—m、一dc：osL cosX d^osM coslc dcosN cosv然盾他UL明了 ， ，— ,dstas；tdst-其中［是撓率;.【=嘩，好是密切平面間的夾角。7 TC1S曲線的曲率G）和撓率（!）是空間曲線的兩個最主要的性質(zhì),曲宰和撓率確定以后，曲線就幾乎被完全決定了.弗朗內(nèi)（F.J.Frenet,1816—1900）、塞雷（J.A.Serret,1819-1885）分別于1847年，1851年發(fā)現(xiàn)了上述柯西的切線、次法線的方向余弦的導(dǎo)數(shù)公式，同時還發(fā)現(xiàn)了法線的方向余弦的導(dǎo)數(shù)公式：dwsAcosa率BeosMdb&svcosydspdsPT 如，pdGQSVcosyjc^sNdspT這三個公式就是空間曲線理論中著名的弗朗內(nèi)一塞雷公式.用向量表示為:稱為曲線論的基本公式.1828年，高斯發(fā)表《關(guān)于曲面的一般研究》（Disquisitio-nsGeneralesCircaSuperficiesCurvas）一文（完成于1827年），對微分幾何的進展起了決定性的作用，給出了今天教科書中曲面論的大多數(shù)結(jié)果.高斯利用歐拉的參數(shù)u,v表示曲面的思想，將曲面方程寫成x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v).他的出發(fā)點就是利用參數(shù)表示來進行曲面的系統(tǒng)研究.苜先，高斯引入了曲面習(xí)：(u,v)的第一基本齊歸1=ds2=E(u,du^+2F\.u,心dudv+G(u?v)如"。其rpE-fu,v;j;=JF3,v.)=ru?j=%奩享+乳扁+%%，G(u,v)= +%七E,F,G稱為第一類基本量，在曲面上每一點都是常數(shù).接著，他又開始考慮另一個基本量一一曲面上兩條曲線之間的夾角。.對于從(u,v)出發(fā)的曲線上的兩條曲線，一個由du：dv給定，一個由0u:6v給定，高斯證明了兩條曲線之間的夾角。滿足EduSu+F(du3u+dv3u)+GdvSv' " ，^Ddu2+2Fdudv+Gdv"VE3u'i-:2FSu.Sfr-+Gj3v隨后，他引進了曲面習(xí)Ir=7(uf的第二基本齊式務(wù)"=nfds2=Ldu'：+2Mdudv+Ndv2；L,M,N稱為第二類基本量.進行了這些準(zhǔn)備工作后，高斯證明了曲面的全曲率公式K,并且證明他的K就是歐拉在18世紀(jì)提出的兩個主曲率k,匕的乘積，即K=LN-M2虹虹=eg_F‘o’1街1年，格爾曼怎.Germain,；.1776—1831)提出了EKT?-.?2M+GL頂EG-F")了兩個主曲率的平均曲率——中曲率的概念并得到H=： +k疔。EKT?-.?2M+GL頂EG-F")引進這些基本量以后，高斯又考察了曲面的許多性質(zhì).他特別對曲面的等距變換感興趣。兩張曲面彌為等距的，如果這兩抵曲面習(xí)】；r1=r1(l,時，2<■r2=r2(u,時關(guān)M建立一一對我的關(guān)系,并且兩張曲面對應(yīng)點的距離元素相等，即Edu+2Fdudv+Gdv=Edu+2Fdudv+Gdv.1 2 1 1 2 2 2 2 2 2然后高斯證明全曲率R=k也=己二實際上由E,然后高斯證明全曲率R=k也=己二實際上由E,F,G笫一類基本基本量完全確定，為此他證明了(耳中dTeg-f”)3Ga?1［arF6E1

2D［血［EDdvD23F13EF3E3uD血DdvED汛J這個公式稱為高斯特征方程.1860年，巴爾策爾(R.Baltzer,1818—1887)改寫為1--Gm+F^~2Ew&號EE'IE1FF它揭示了第一、二類基本量之間的關(guān)系.有了這個關(guān)系式后，高斯于1826年得到了“高斯定理”：一個曲面的全曲率被曲面的第一類基本量完全確定，等距曲面在對應(yīng)點一定有相同的全曲率.他稱這個定理為“極妙的定理”.邁因納爾迪(G.Mainard，1800—1879)在1857年，科達齊(D.Codazzi，1824—1875)在1868年分別得到了方程(今天稱之為邁因納爾迪一科達齊方程):MF這兩個方程與高斯特征方程一起構(gòu)成曲面論的基本方程.1867年，邦內(nèi)(O.Bonnet,1819—1892)證明了：如果給定了u和v的六個函數(shù)E,F,G和L,M,N,它們滿足曲面論的基本方程，則它們除了在空間的位置和定向外，唯一地確定了這張曲面.1861年，魏恩加滕(J.Weingarten)發(fā)現(xiàn)了“魏恩加滕公式”：t(FM-GL)二+(FL-EM)二t(PN-GM)?u+(FM-EN)二nn= = 這個公式與下列高斯公式一起構(gòu)成了“曲面的基本公式”，它們在曲面論里的作用相當(dāng)于弗朗內(nèi)一塞雷公式在曲線論里的作用.高斯公式是當(dāng)F=0時，曲面論的基本方程與曲面論的基本公式都可以大為簡化.在1827年的文章中，高斯還研究了另一個十分重要的課題一一尋找曲面上的測地線.測地線這一名稱是列維爾在1850年引進的，取自大地測量學(xué).測地線在今天的微分幾何教材中又稱短程線.對于一個由測地線構(gòu)成的三角形，高斯證明了一條關(guān)于曲率的著名定理.設(shè)k是一個曲面的可變曲率，于是是這個曲率在面積A上的積分，高斯定理是理是(圖13.5)JJkdA=色1+色a+色3一兀?這是一小非常精美的定理，.它表明，在一個測地三角形上曲率的積分等于三個角之和超過n之盈量，或在三角形之和小于180°時，等于三個角之和不足n之虧量.囹IS,5若r是曲面上的測地（短程）多邊形，則一般地有后來，邦內(nèi)把高斯的結(jié)果推廣，對曲面工上的單連通域工1和它的邊界線r，得到了高斯一邦內(nèi)公其中kg為r的短程曲率，t為由方向余弦到r的切線矢的有向角.高斯在曲面保角變換方面也進行了十分有價值的工作，并由此而獲得了丹麥皇家科學(xué)會的獎金.高斯證明了曲面的幾何可以集中在曲面本身進行研究，曲面本身就可以看成是一個空間，因為它的全部性質(zhì)都被ds「EdU2+2Fdudv+GdV2確定了，這樣就可以拋棄以往的觀念:、曲面是位于一個三維空間張曲面由E，，F(xiàn)，G確定，于是曲面就有E，F(xiàn)，G所確定的幾何，這個幾何對于曲面是內(nèi)蘊的，而與周圍的空間毫無關(guān)系，因此隨著E，F(xiàn)和G的不同的選取，同一張曲面可以有不同的幾何.這樣，我們就可以輕而易舉地在歐氏幾何曲面上實現(xiàn)非歐幾何了.如果把球面看成三維空間中的一張曲面，球面的幾何就是歐氏的；但如果把球面本身當(dāng)作一個空間來研究，取緯度和經(jīng)度作為點的坐標(biāo)，大圓弧就是“直線”（稱為測地線或“短程線”），這樣的幾何就是一種非歐幾何.這樣得到的空間是一個二維的正的常曲率空間，這樣的幾何在今天稱為二重橢圓幾何.這種非歐幾何模型曲面的例子是黎曼在1854年給出的.1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米（E.Beltrami，1835—1900）獨立而成功地找到了非歐幾何模型，在數(shù)學(xué)史上使羅巴切夫斯基等人開創(chuàng)的非歐幾何得到了舉世公認(rèn)，在整個科學(xué)史乃至人類思想史上具有十分重大的意義.貝爾特拉米是通過研究具有常數(shù)全曲率的曲面而作出這一重大發(fā)現(xiàn)的.從高斯起人們就知道，具有相同的常數(shù)全曲率k的曲面互相等距等價，因而有相同的內(nèi)蘊性質(zhì).當(dāng)常數(shù)k=0時，曲面和平面等距等價；當(dāng)常數(shù)k=4>0時，曲面和一個半徑等于，的球面等距等價；人們認(rèn)識到k=0時的幾何實質(zhì)上就是歐氏幾何；k>0時的幾何，1854年黎曼發(fā)現(xiàn)是一種非歐幾何一一橢圓幾何學(xué).1868年，貝爾特拉米發(fā)現(xiàn)，如果令yz平面上的曳物線繞z軸旋轉(zhuǎn)，即得到偽球面，寒=aco's^qos9,參數(shù)方程為y=acos^sin日，z=a：lr(sec^?+tg^j—sm, 0^4-I偽球面的全曲率R為一常數(shù)<K=-^<0o而且當(dāng)一個曲面的全曲率常數(shù)K=-^<0時，曲面和偽球面等距等價，而此時的幾何實:質(zhì)上就是羅巴切夫斯基幾何一一雙曲幾何.這樣具有負(fù)常數(shù)全曲率的曲面的內(nèi)在幾何與雙曲幾何的關(guān)系就被發(fā)現(xiàn)了.19世紀(jì)微分幾何的第三個里程碑是黎曼奠定的.他在幾何領(lǐng)域中是高斯的忠實追隨者和發(fā)揚光大者.1854年，高斯給黎曼指定以幾何基礎(chǔ)作為他取得大學(xué)教授資格應(yīng)作的演說，當(dāng)時能聽懂他的報告的，只有已入暮年的高斯.他的1854年的演講稿后來以《關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假說》(UeberdieHypothesen，wel-chederGeometrieZuGrundeliegen于1868年出版了.這篇文章已經(jīng)成了數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典著作.黎曼幾何的主要工作是把通常熟悉的三維空間推廣到n維空間中的m維可微流形.對于同一張曲面可以有ds=dx+dy+dz，而ds=Edu+2Fdudv+Gdv.隨著E，F(xiàn)，G的不同可以有不同的幾何，因此2 2 2 2 2 2 2

選取ds的不同表達式，就可以得到完全不同的幾何一一一種非歐幾何，這種思想本來是屬于高斯的，一 2.在1854年的論文中，黎曼把這種研究曲面時的思想推廣到任意n維空間，提出了這樣的觀念，對于n維空間點集中的每一個點用n個坐標(biāo)（x，x，…，x）表示，而空間一條曲線x=x（t），i=1，2,…，耽何學(xué)您就稱為黎用空間囂?f炕羸贏內(nèi)在幾糙慌挪都可"到幾維黎曼空間，而曲面的內(nèi)在幾何學(xué)可以看作是二維的黎曼空間幾何.如對于t=a和t=p之間的『卜既?！翰芳扰?兩條曲線在（眼1，遂*…，既）處的交隹°滿足曲線可以給出長度i=y曲 出出這方面，黎曼給出了依賴于流形的性質(zhì)而不依賴于所采用的特殊坐標(biāo)系的程序.黎曼幾何的另一件重要的工作是改進、引進了許多新的記號.如黎曼引進.1869年克里斯托費爾（E.B.Ghnstdffek.1829曼引進-1900）正式引入了各種形式的“克里斯托費爾記號”：黎曼引進了現(xiàn)在通稱的“黎曼四指標(biāo)記號”黎曼引進了現(xiàn)在通稱的“黎曼四指標(biāo)記號”“克里斯托費爾四指標(biāo)記號”則是克里斯托費爾仿照黎曼引進的:騷）=*[g,W畿p）[kk,kl-jgh,嗷引入這些記號后，從而開始了張量演算.貝爾特拉米不僅詳細(xì)研究了具有負(fù)常數(shù)全曲率的曲面，而且他還第一個對曲面論的不變量作了深入詳細(xì)的研究，由此開創(chuàng)了19世紀(jì)人們對不變量的廣泛研究.微分不變量理論以及黎曼等人引入的記號對張量分析起了積極的推動作用.張量分析由里奇(C.G.Ricci,1853—1925)和列維一齊維塔(T.Levi—civi-ta,1873—1941)在20世紀(jì)初，發(fā)展成一門獨立的學(xué)科，1916年愛因斯坦(A.Einstein,1879—1955)給出了“張量分析”這個名稱.黎曼幾何倍受物理學(xué)家青睞，尤其是愛因斯坦創(chuàng)立相對論大量應(yīng)用了它，同時愛因斯坦也對此作出了貢獻.翻開《愛因斯坦文集》，看到里面有那么多地方利用了黎曼幾何，贊美了黎曼及其幾何，我們就不難理解黎曼幾何的重要性.黎曼幾何還為現(xiàn)代微分幾何奠定了基礎(chǔ).四、愛爾蘭根綱領(lǐng)(ErlangenProgramm)19世紀(jì)初葉射影幾何重新為人們重視后，不僅有數(shù)學(xué)家從“純粹”綜合的角度進行研究，而且隨著研究的進一步深入，有不少數(shù)學(xué)家開始從代數(shù)甚至從群論的角皮進行探討，這樣幾何學(xué)的研究就進入了一個新的時期.不僅射影幾何有了進一步的發(fā)展，而且各種度量幾何的內(nèi)在關(guān)系也逐漸為人們揭示了.麥比烏斯 F.Mobius,1790—1S6S)和普呂克".Pucker，1801—1868)從代數(shù)方面發(fā)展了射影幾何.他們的工作之一是引進了齊次坐標(biāo).普呂克還對幾何觀念給出了優(yōu)美的代數(shù)表示，利用齊次坐標(biāo)，他給出了無窮遠線、圓上無窮遠點等等許多概念的代數(shù)表示.他積極地利用射影的概念研究高次平面曲線和高次曲面，得到了許多重要的結(jié)果.在斯陶特弄清楚了射影幾何與歐氏幾何的關(guān)系后，數(shù)學(xué)家們開始根據(jù)射影概念進行建立歐氏幾何度量性質(zhì)的工作.拉蓋爾(E.Laguerre，1834—1886)建立了兩直線u與/間夾角的公式伽段=!(,uuy,WW)O其中(uu'，ww')是u，u'及兩條虛直線w，w'四條直線的交比，i為虛單位.凱萊引入二次型及雙線性型F(吏，耳)=三雙猝i^j., %=勺門ij-2- 」F慫，y)=2^鮮目「ij=l''F(x，x)=0為一條二次曲線即凱萊絕對型.絕對型的線坐標(biāo)方TOC\o"1-5"\h\z程為G[u,u)=^AijuiUj=0,&i」是F的系數(shù)行列式同中辿的代數(shù)余i.j=l '子式.有了這些準(zhǔn)備工作后，他定義兩點x=(x,x,x3)及y=(y,y,))間的距離兒1 2 1 2 3線坐標(biāo)為u=(u,u,u)及v=(v,v,v)的兩直線的夾123 123角飽浚足ICOS(P= : G(u：u：G(Wv其甲G(u,u)=，.A/iUj=0,而Aij是；T程F：(幻瘴)=G的系數(shù)蕓"行列式中aij的