等差數(shù)列專題

等差數(shù)列專題一、等差數(shù)列知識點回顧與技巧點撥1.等差數(shù)列得定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它得前一項得差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列得公差,公差通常用字母d表示.2.等差數(shù)列得通項公式若等差數(shù)列{an}得首項就是a1,公差就是d,則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p、3.等差中項如果三個數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列,那么A叫做x與y得等差中項,如果A就是x與y得等差中項,則A＝eq\f(x＋y,2)、4.等差數(shù)列得常用性質(1)通項公式得推廣:an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列,且m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}就是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak＋m,ak＋2m,…(k,m∈N*)就是公差為md(4)數(shù)列Sm,S2m－Sm,S3m－S(5)S2n－1＝(2n－1)an、(6)若n為偶數(shù),則S偶－S奇＝eq\f(nd,2);若n為奇數(shù),則S奇－S偶＝a中(中間項).5.等差數(shù)列得前n項與公式若已知首項a1與末項an,則Sn＝eq\f(na1＋an,2),或等差數(shù)列{an}得首項就是a1,公差就是d,則其前n項與公式為Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d、6.等差數(shù)列得前n項與公式與函數(shù)得關系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n,數(shù)列{an}就是等差數(shù)列得充要條件就是Sn＝An2＋Bn(A,B為常數(shù)).7.最值問題在等差數(shù)列{an}中,a1＞0,d＜0,則Sn存在最大值,若a1＜0,d＞0,則Sn存在最小值.一個推導利用倒序相加法推導等差數(shù)列得前n項與公式:Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an,①Sn＝an＋an－1＋…＋a1,②①＋②得:Sn＝eq\f(na1＋an,2)、兩個技巧已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列得一類問題,要善于設元.(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且與為定值時,可設為…,a－2d,a－d,a,a＋d,a＋2d,…、(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且與為定值時,可設為…,a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,…,其余各項再依據(jù)等差數(shù)列得定義進行對稱設元.四種方法等差數(shù)列得判斷方法(1)定義法:對于n≥2得任意自然數(shù),驗證an－an－1為同一常數(shù);(2)等差中項法:驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通項公式法:驗證an＝pn＋q;(4)前n項與公式法:驗證Sn＝An2＋Bn、注:后兩種方法只能用來判斷就是否為等差數(shù)列,而不能用來證明等差數(shù)列.回顧:1.已知等差數(shù)列{an}中,a3=9,a9=3,則公差d得值為()A.B.1C.D.﹣12.已知數(shù)列{an}得通項公式就是an=2n+5,則此數(shù)列就是()A.以7為首項,公差為2得等差數(shù)列B.以7為首項,公差為5得等差數(shù)列C.以5為首項,公差為2得等差數(shù)列D.不就是等差數(shù)列3.在等差數(shù)列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,則n等于()A.23B.24C.25D.264.兩個數(shù)1與5得等差中項就是()A.1B.3C.2D.5.(2005?黑龍江)如果數(shù)列{an}就是等差數(shù)列,則()A.a1+a8＞a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8＜a4+a5D.a1a8=a4a5考點1:等差數(shù)列得通項與前n項與題型1:已知等差數(shù)列得某些項,求某項【解題思路】給項求項問題,先考慮利用等差數(shù)列得性質,再考慮基本量法【例1】已知為等差數(shù)列,,則解:方法1:方法2:,方法3:令,則方法4:為等差數(shù)列,也成等差數(shù)列,設其公差為,則為首項,為第4項、方法5:為等差數(shù)列,三點共線對應練習:1、已知為等差數(shù)列,(互不相等),求、2、已知個數(shù)成等差數(shù)列,它們得與為,平方與為,求這個數(shù)、題型2:已知前項與及其某項,求項數(shù)、【解題思路】⑴利用等差數(shù)列得通項公式求出及,代入可求項數(shù);⑵利用等差數(shù)列得前4項與及后4項與求出,代入可求項數(shù)、【例2】已知為等差數(shù)列得前項與,,求解:設等差數(shù)列得首項為,公差為,則對應練習:3、若一個等差數(shù)列得前4項與為36,后4項與為124,且所有項得與為780,求這個數(shù)列得項數(shù)、4、已知為等差數(shù)列得前項與,,則、題型3:求等差數(shù)列得前n項與【解題思路】(1)利用求出,把絕對值符號去掉轉化為等差數(shù)列得求與問題、(2)含絕對值符號得數(shù)列求與問題,要注意分類討論、【例3】已知為等差數(shù)列得前項與,、(1);⑵求;⑶求、解:,當時,,當時,,當時,,、由,得,當時,;當時,、(1);⑵;(3)時,,當時,對應練習:5、已知為等差數(shù)列得前項與,,求、考點2:證明數(shù)列就是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列就是等差數(shù)列得方法有:1、定義法:(,就是常數(shù))就是等差數(shù)列;2、中項法:()就是等差數(shù)列;3、通項公式法:(就是常數(shù))就是等差數(shù)列;4、項與公式法:(就是常數(shù),)就是等差數(shù)列、【例4】已知為等差數(shù)列得前項與,、求證:數(shù)列就是等差數(shù)列、解:方法1:設等差數(shù)列得公差為,,(常數(shù))數(shù)列就是等差數(shù)列、方法2:,,,數(shù)列就是等差數(shù)列、對應練習:6、設為數(shù)列得前項與,,(1)常數(shù)得值;(2)證:數(shù)列就是等差數(shù)列、考點3:等差數(shù)列得性質【解題思路】利用等差數(shù)列得有關性質求解、【例5】1、已知為等差數(shù)列得前項與,,則;2、知為等差數(shù)列得前項與,,則、解:1、;2、方法1:令,則、,,;方法2:不妨設、,;方法3:就是等差數(shù)列,為等差數(shù)列三點共線、、對應練習:7、含個項得等差數(shù)列其奇數(shù)項得與與偶數(shù)項得與之比為()8、設、分別就是等差數(shù)列、得前項與,,則、考點4:等差數(shù)列與其它知識得綜合【解題思路】1、利用與得關系式及等差數(shù)列得通項公式可求;2、求出后,判斷得單調性、【例6】已知為數(shù)列得前項與,;數(shù)列滿足:,,其前項與為數(shù)列、得通項公式;⑵設為數(shù)列得前項與,,求使不等式對都成立得最大正整數(shù)得值、解:⑴,當時,;當時,當時,,;,就是等差數(shù)列,設其公差為、則,、,就是單調遞增數(shù)列、當時,對都成立所求最大正整數(shù)得值為、對應練習:9、已知為數(shù)列得前項與,,、數(shù)列得通項公式;⑵數(shù)列中就是否存在正整數(shù),使得不等式對任意不小于得正整數(shù)都成立？若存在,求最小得正整數(shù),若不存在,說明理由、課后練習:1、(2010廣雅中學)設數(shù)列就是等差數(shù)列,且,,就是數(shù)列得前項與,則A. B. C. D.2、在等差數(shù)列中,,則、3、數(shù)列中,,當數(shù)列得前項與取得最小值時,、4、已知等差數(shù)列共有項,其奇數(shù)項之與為,偶數(shù)項之與為,則其公差就是、5、設數(shù)列中,,則通項、6、從正整數(shù)數(shù)列中刪去所有得平方數(shù),得到一個新數(shù)列,則這個新數(shù)列得第項就是、答案與解析:對應練習:1、【解析】2、【解析】設這個數(shù)分別為則解得當時,這個數(shù)分別為:;當時,這個數(shù)分別為:3、【解析】4、【解析】設等差數(shù)列得公差為,則、5、【解析】方法1:設等差數(shù)列得公差為,則;方法2:6、【解析】⑴,,⑵由⑴知:,當時,,,數(shù)列就是等差數(shù)列、7、【解析】(本兩小題有多種解法),、選B、8、【解析】填、9、【解析】⑴當時,,且,就是以為公差得等差數(shù)列