高三數(shù)學(xué)數(shù)列的求和1

2010屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)強(qiáng)化雙基系列課件

35《數(shù)列的求和》數(shù)列求和的方法將一個(gè)數(shù)列拆成若干個(gè)簡單數(shù)列,然后分別求和.

將數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)(或若干項(xiàng))并成一項(xiàng)(或一組)得到一個(gè)新數(shù)列(容易求和).一、拆項(xiàng)求和二、并項(xiàng)求和例求和

Sn=1×2+2×3+…+n(n+1).例求和

Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n.三、裂項(xiàng)求和

將數(shù)列的每一項(xiàng)拆(裂開)成兩項(xiàng)之差,使得正負(fù)項(xiàng)能相互抵消,剩下首尾若干項(xiàng).n2Sn=-,n

為偶數(shù)時(shí),

,n

為奇數(shù)時(shí).n+12n(n+1)(n+2)3n+1n例求和

Sn=++…+.1×212×31n(n+1)1四、錯(cuò)位求和

將數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換,然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減.例等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo).五、倒序求和

將數(shù)列的倒數(shù)第

k

項(xiàng)(k=1,2,3,…)變?yōu)檎龜?shù)第

k

項(xiàng),然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進(jìn)行變換(相加、相減等).例等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo).典型例題(1)已知

an=,求

Sn;[n(n+1)]22n+1(2)已知

an=,求

Sn;(2n-1)(2n+1)

(2n)2

n2+2n

n2+2n+12n2+2n

2n+1Sn=(3n+2)·2n-1Sn=3n-2n(公比為的等比數(shù)列)

23(4)Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1;法1

Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·[n-(n-1)]

=n(1+2+3+…+n)-[2

1+3

2+…+n(n-1)]

=n(1+2+3+…+n)-[12+22+…+(n-1)2]-[1+2+…+(n-1)]法2

Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1

=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)而

an=1+2+3+…+n=

n(n+1).12(5)Sn=3n-1+3n-2·2+3n-3·22+…+2n-1.(3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+…+(3n+1)Cn;0123n

n(n+1)(n+2)6

課后練習(xí)

1.已知數(shù)列

{an}

是等差數(shù)列,且

a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式;(2)令

bn=an

3n,求數(shù)列

{bn}

前

n

項(xiàng)和的公式.解:(1)設(shè)數(shù)列

{an}

的公差為

d,則由已知得

3a1+3d=12,∴d=2.∴an=2+(n-1)

2=2n.故數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式為

an=2n.(2)由

bn=an

3n=2n

3n

得數(shù)列

{bn}

前

n

項(xiàng)和Sn=2

3+4

32+…+(2n-2)

3n-1+2n

3n

①∴3Sn=2

32+4

33+…+(2n-2)

3n+2n

3n+1②將

①

式減

②

式得:-2Sn=2(3+32+…+3n)-2n

3n+1=3(3n-1)-2n

3n+1.

∴Sn=+n

3n+1.3(1-3n)2又

a1=2,2.將上題

(2)

中“

bn=an

3n

”

改為“

bn=an

xn(x

R)”,仍求

{bn}

的前

n

項(xiàng)和.解:

令

Sn=b1+b2+…+bn,則由

bn=an

xn=2nxn

得:Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn

①∴xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1②當(dāng)

x

1

時(shí),將

①

式減

②

式得:(1-x)Sn=2(x+x2+…+xn)-2nxn+1=-2nxn+1.

2x(1-xn)1-x

∴Sn=

-

.

2x(1-xn)(1-x)2

2nxn+1

1-x

當(dāng)

x=1

時(shí),Sn=2+4+…+2n=n(n+1);綜上所述,Sn=n(n+1),x=1

時(shí),2x(1-xn)(1-x)2

2nxn+1

1-x

-

,x

1

時(shí).3.求和:

Sn=1+(1+)+(1++)+…+(1+++…+).121412121412n-1121412n-1解:

∵an=1+++…+==2-

.1-121-

1212n-112n-1∴Sn=2n-(1+++…+)121412n-1=2n-2+.12n-14.求數(shù)列

{n(n+1)(2n+1)}

的前

n

項(xiàng)和

Sn.解:

∵通項(xiàng)

ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,∴Sn=2(13+23+…+n3)+3(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)n2(n+1)2=

++2n(n+1)

2n(n+1)(2n+1)

2=

.n(n+1)2(n+2)

25.數(shù)列

{an}

中,an=++…+

,又bn=

,求數(shù)列

{bn}

的前

n

項(xiàng)的和.n+11n+12n+1n

anan+12解:

∵an=(1+2+…+n)=,n+112

n∴bn==8(-).2

n2

n+12

n+11n1∴Sn=8[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]

1213121314n+11n1=8(1-)n+11n+18n

=.6.已知

lgx+lgy=a,

且

Sn=lgxn

+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn,求

Sn.

解:

Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn,又

Sn=lgyn

+lg(xyn-1)+…+lg(xn-1y)+lgxn,∴2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+…+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1

項(xiàng)=n(n+1)lg(xy).∵lgx+lgy=a,∴l(xiāng)g(xy)=a.∴Sn=lg(xy)=a.n(n+1)2n(n+1)2注:

本題亦可用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解:∴Sn=lg(xy)=a.n(n+1)2n(n+1)2∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1

y1+2+3+…+(n-1)+n],

8.求數(shù)列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…

的通項(xiàng)

an

及前

n

項(xiàng)和Sn.解:

an=[+1]+[+2]+…+[+n]n(n-1)2n(n-1)2n(n-1)2n2(n-1)2=+=n3+

n.n(n+1)21212∴

Sn=(13+23+…+n3)+

(1+2+…+n)1212n(n+1)2=

[]2+

1212n(n+1)2=

(n4+2n3+3n2+2n).187.求證:Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn=(n+1)

2n.012

n證:

令

Sn=Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn.012

n又

Sn=(2n+1)Cn+(2n-1)Cn+…+3Cn+Cn,nn-110∴2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+…+Cn)=2(n+1)

2n.01

n∴Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn=(n+1)

2n.012

n

9.已知遞增的等比數(shù)列

{an}

前

3

項(xiàng)之積為

512,且這三項(xiàng)分別減去

1,

3,

9

后又成等差數(shù)列,

求數(shù)列

{}

的前

n

項(xiàng)和.an

n

解:

設(shè)等比數(shù)列

{an}

的公比為

q,依題意得:a1a2a3=512

a23=512

a2=8.∵前三項(xiàng)分別減去

1,3,9

后又成等差數(shù)列,∴(-1)+(8q-9)=2(8-3)

q=2

或

q=

(舍去).q812∴an=a2qn-2=8

2n-2=2n+1.∴所求數(shù)列的前

n

項(xiàng)和

Sn=++…+①1222232n+1n2n+1n-1123224∴Sn=++…++②122n+2n①-②

得:

Sn=++…+-2n+11122123122n+2n∴Sn=++…+-12n

1222n+1n12=1-

-

.12n

2n+1n10.已知數(shù)列

{an}

中,

a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2,n

N*),求數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和

Sn.

∴

=

.

an-1an

2n-32n+1∴Sn=a1+a2+…+an

解:

∵(2n+1)an=(2n-3)an-1,則

=,…,=,=.an-2an-1

2n-52n-1a2a337a1a215∴=.a1an

(2n+1)(2n-1)3∴an=(2n+1)(2n-1)3=

(-

).3212n-112n+13212n-112n+1=

[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]

2n+1=

.解:(1)a1C-a2C+a3C

=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2.22221011.已知

{an}

是首項(xiàng)為

a1,公比為

q

的等比數(shù)列.(1)求和:a1C2-a2C2+a3C2,a1C3-a2C3+a3C3-a4C3;(2)由(1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)

n

的一個(gè)結(jié)論,并加以證明;(3)設(shè)q≠1,Sn是{an}的前

n

項(xiàng)和,求

S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+

…

+(-1)nSn+1Cn.00011122233n3210a1C-a2C+a3C

-a4C

=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.3333(2)歸納概括的結(jié)論為:a1C-a2C+a3C

-a4C

+…+(-1)nan+1C=a1(1-q)n,其中,3n210nnnnnn

為正整數(shù).證明如下:a1C-a2C+a3C

-a4C

+…+(-1)nan+1C3n210nnnnn=a1C-a1qC+a1q2C

-a1q3C+…+(-1)na1qnC3n210nnnnn=a1[C-qC+q2C

-q3C+…+(-1)nqnC]3n210nnnnn=a1(1-q)n.∴a1C-a2C+a3C

-a4C+…+(-1)nan+1C=a1(1-q)n.3n210nnnnn解:(3)記

t=,則由

Sn=t(1-qn)

得:1-q

a10123nS1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+

…

+(-1)nSn+1Cn

=t[(1-q)Cn-(1-q2)Cn+(1-q3)Cn+

…

+(-1)n(1-qn+1)Cn

]012n0123n-tq[Cn-qCn+q2Cn-q3Cn+…

+(-1)nqnCn]=t[Cn-Cn+Cn-Cn+

…

+(-1)nCn

]012n3=t(1-1)n

-tq(1-q)n

=-tq(1-q)n,從而有:0123nS1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+

…

+(-1)nSn+1Cn

=-tq(1-q)n

=-(1-q)n.1-q

a1q

11.已知

{an}

是首項(xiàng)為

a1,公比為

q

的等比數(shù)列.(1)求和:a1C2-a2C2+a3C2,a1C3-a2C3+a3C3-a4C3;(2)由(1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)

n

的一個(gè)結(jié)論,并加以證明;(3)設(shè)q≠1,Sn是{an}的前

n

項(xiàng)和,求

S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+

…

+(-1)nSn+1Cn.00011122233n(1)證:

由已知

S1=a1=a,Sn=aqn-1,當(dāng)

n≥2

時(shí),an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2.∴在

{an}中,從第

2

項(xiàng)開始成等比數(shù)列.

12.數(shù)列

{an}

中,a1=a,前

n

項(xiàng)和

Sn

構(gòu)成公比為

q(q

1)

的等比數(shù)列.(1)求證:在

{an}中,從第

2

項(xiàng)開始成等比數(shù)列;(2)當(dāng)

a=250,q=

時(shí),設(shè)

bn=log2|an|,求

|b1|+|b2|+…+|bn|.12an+1an∵==q(n≥2),a(q-1)qn-2a(q-1)qn-1(2)解:

由(1)知

an=a,n=1,a(q-1)qn-2,

n≥2.

當(dāng)

a=250,q=

時(shí),b1=log2|a1|=log2250=50,12

n≥2

時(shí),bn=log2|an|=log2|250(

-1)(

)n-2|=51-n,1212∴bn=51-n(n

N*).∴當(dāng)

1≤n≤51

時(shí),|b1|+|b2|+…+|bn|=(51-1)+(51-2)+…+(51-n)=51n-n(n+1)2=-n2+n;101212當(dāng)

n≥52

時(shí),|b1|+|b2|+…+|bn|=+50(50+1)2(n-51)(1+n-51)2=

n2-

n+2550.101212

n2-

n+2550,n≥52.101212綜上所述|b1|+|b2|+…+|bn|=

-n2+

n,1≤n≤51,101212=(50+49+…+1)+[1+2+…+(n-51)]=51