代數(shù)幾何與微分幾何

代數(shù)幾何現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支學(xué)科。它的基本研究對象是在任意維數(shù)的（仿射或射影）空間中，由若干個代數(shù)方程的公共零點(diǎn)所構(gòu)成的集合的幾何特性。這樣的集合通常叫做代數(shù)簇，而這些方程叫做這個代數(shù)簇的定義方程組。簡介空間的概念對我們來說是熟悉的。我們生活的空間是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我們所處的空間中的某一位置，就需要用三個方向來表示，這個意思也就是說空間是“三維”的。 在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到“空間”這個概念，它指的范圍很廣，一般指某種對象（現(xiàn)象、狀況、圖形、函數(shù)等）的任意集合，只要其中說明了“距離”或“鄰域”的概念就可以了。而所謂“維”的概念，如果我們所談到的只是簡單的幾何圖形，如點(diǎn)、線、三角形和多邊形......，那么理解維的概念并不困難：點(diǎn)的維數(shù)是零；一條線段的維數(shù)是一；一個三角形的維數(shù)是二；一個立方體內(nèi)所有點(diǎn)的集合的是三維的。 如果把維度的概念擴(kuò)充到任意點(diǎn)集合上去的時候，維的概念就不那么容易理解了。比如，什么是四維空間呢？關(guān)于四維空間，我國古代有一些說法是很有意思的。最典型的就是對于“宇宙”兩字的解釋，古人的說法是“四方上下曰宇，古往今來曰宙”，用現(xiàn)在的話說就是，四維空間是在三維空間的基礎(chǔ)上再加上時間維作為并列的第四個坐標(biāo)。 愛因斯坦認(rèn)為每一瞬間三維空間中的所有實(shí)物在占有一定的位置就是四維的。比如我們所住的房子，就是由長度、寬度、高度、和時間制約的。所謂時間制約就是從蓋房的時候算起，直到最后房子倒塌為止。 根據(jù)上邊的說法，幾何學(xué)和其它科學(xué)研究的n維空間的概念，就可以理解成由空間的點(diǎn)的n個坐標(biāo)決定。這個空間的圖形就定義成滿足這個或那個條件的點(diǎn)的軌跡。一般來說，某個圖形由n個條件給出，那么這個圖形就是某個n維的點(diǎn)。至于這個圖形到底是什么形象，我們是否能想象得出來，對數(shù)學(xué)來說是無關(guān)緊要的。幾何學(xué)中的“維”的概念，實(shí)際上就是構(gòu)成空間的基本元素，也就是點(diǎn)的活動的自由度，或者說是點(diǎn)的坐標(biāo)。所謂n維空間，經(jīng)常是用來表示超出通常的幾何直觀范圍的數(shù)學(xué)概念的一種幾何語言。從上面的介紹可以看出，幾何中的元素可用代數(shù)中的是數(shù)來表示，代數(shù)問題如果通過幾何的語言給與直觀的描述，有時候可以給代數(shù)問題提示適當(dāng)?shù)慕夥?。比如解三元一次方程組，就可以認(rèn)為是求解三個平面的交點(diǎn)問題。代數(shù)幾何學(xué)的內(nèi)容用代數(shù)的方法研究幾何的思想，在繼出現(xiàn)解析幾何之后，又發(fā)展為幾何學(xué)的另一個分支，這就是代數(shù)幾何。代數(shù)幾何學(xué)研究的對象是平面的代數(shù)曲線、空間的代數(shù)曲線和代數(shù)曲面。 代數(shù)幾何學(xué)的興起，主要是源于求解一般的多項(xiàng)式方程組，開展了由這種方程組的解答所構(gòu)成的空間，也就是所謂代數(shù)簇的研究。解析幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是引進(jìn)了坐標(biāo)系來表示點(diǎn)的位置，同樣，對于任何一種代數(shù)簇也可以引進(jìn)坐標(biāo)，因此，坐標(biāo)法就成為研究代數(shù)幾何學(xué)的一個有力的工具。代數(shù)幾何的研究是從19世紀(jì)上半葉關(guān)于三次或更高次的平面曲線的研究開始的。例如，阿貝爾在關(guān)于橢圓積分的研究中，發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線理論基礎(chǔ)。 黎曼1857年引入并發(fā)展了代數(shù)函數(shù)論，從而使代數(shù)曲線的研究獲得了一個關(guān)鍵性的突破。黎曼把他的函數(shù)定義在復(fù)數(shù)平面的某種多層復(fù)迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。運(yùn)用這個概念，黎曼定義了代數(shù)曲線的一個最重要的數(shù)值不變量：虧格。這也是代數(shù)幾何歷史上出現(xiàn)的第一個絕對不變量。 在黎曼之后，德國數(shù)學(xué)家諾特等人用幾何方法獲得了代數(shù)曲線的許多深刻的性質(zhì)。諾特還對代數(shù)曲面的性質(zhì)進(jìn)行了研究。他的成果給以后意大利學(xué)派的工作建立了基礎(chǔ)。 從19世紀(jì)末開始，出現(xiàn)了以卡斯特爾諾沃、恩里奎斯和塞維里為代表的意大利學(xué)派以及以龐加萊、皮卡和萊夫謝茨為代表的法國學(xué)派。他們對復(fù)數(shù)域上的低維代數(shù)簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認(rèn)為是代數(shù)幾何中最漂亮的理論之一的代數(shù)曲面分類理論。但是由于早期的代數(shù)幾何研究缺乏一個嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補(bǔ)。 20世紀(jì)以來代數(shù)幾何最重要的進(jìn)展之一是它在最一般情形下的理論基礎(chǔ)的建立。20世紀(jì)30年代，扎里斯基和范■德■瓦爾登等首先在代數(shù)幾何研究中引進(jìn)了交換代數(shù)的方法。在此基礎(chǔ)上，韋伊在40年代利用抽象代數(shù)的方法建立了抽象域上的代數(shù)幾何理論，然后20世紀(jì)50年代中期，法國數(shù)學(xué)家塞爾把代數(shù)簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調(diào)理論，這個為格羅騰迪克隨后建立概型理論奠定了基礎(chǔ)。概型理論的建立使代數(shù)幾何的研究進(jìn)入了一個全新的階段。 代數(shù)幾何學(xué)中要證明的定理多半是純幾何的，在論證中雖然使用坐標(biāo)法，但是采用坐標(biāo)法多建立在射影坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上。 在解析幾何中，主要是研究一次曲線和曲面、二次曲線和曲面。而在代數(shù)幾何中主要是研究三次、四次的曲線和曲面以及它們的分類，繼而過渡到研究任意的代數(shù)流形。 代數(shù)幾何與數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，如數(shù)論、解析幾何、微分幾何、交換代數(shù)、代數(shù)群、拓?fù)鋵W(xué)等。代數(shù)幾何的發(fā)展和這些學(xué)科的發(fā)展起著相互促進(jìn)的作用。同時，作為一門理論學(xué)科，代數(shù)幾何的應(yīng)用前景也開始受到人們的注意，其中的一個顯著的例子是代數(shù)幾何在控制論中的應(yīng)用。 近年來，人們在現(xiàn)代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應(yīng)用代數(shù)幾何工具，這預(yù)示著抽象的代數(shù)幾何學(xué)將對現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展發(fā)揮重要的作用。代數(shù)蔟一個代數(shù)簇V的定義方程中的系數(shù)以及V中點(diǎn)的坐標(biāo)通常是在一個固定的域k中選取的，這個域就叫做V的基域。當(dāng)V為不可約時（即如果V不能分解為兩個比它小的代數(shù)簇的并）V上所有以代數(shù)式定義的函數(shù)全體也構(gòu)成一個域，叫做V的有理函數(shù)域，它是k的一個有限生成擴(kuò)域。通過這樣的一個對應(yīng)關(guān)系，代數(shù)幾何也可以看成是用幾何的語言和觀點(diǎn)進(jìn)行的有限生成擴(kuò)域的研究。 代數(shù)簇V關(guān)于基域k的維數(shù)可以定義為V的有理函數(shù)域在k上的超越次數(shù)。一維的代數(shù)簇叫做代數(shù)曲線，二維的代數(shù)簇叫做代數(shù)曲面。 代數(shù)簇的最簡單的例子是平面中的代數(shù)曲線。例如，著名的費(fèi)馬猜想（又稱費(fèi)馬大定理）就可以歸結(jié)為下面的問題：在平面中，由方定義如=吼方程的曲線（稱為費(fèi)馬曲線）當(dāng)n>3時沒有坐標(biāo)都是非零有理數(shù)的點(diǎn)。 另一方面，下面的齊次方程組AA方程在復(fù)數(shù)域上的射影空間中定義了一條曲線。這是一條橢圓曲線。 人們對代數(shù)簇的研究通常分為局部和整體兩個方面。局部方面的研究主要是用交換代數(shù)方法討論代數(shù)簇中的奇異點(diǎn)以及代數(shù)簇在奇異點(diǎn)周圍的性質(zhì)。 作為奇異點(diǎn)的例子,可以考察由方程x2y3所定義的平面曲線中的原點(diǎn)(0,0)。這是一個歧點(diǎn)。不帶奇異點(diǎn)的代數(shù)簇稱為非奇異代數(shù)簇。數(shù)學(xué)家仄中平祐在1964年證明了基域k的特征為0時的奇點(diǎn)解消定理:任意代數(shù)簇都是某個非奇異代數(shù)簇在雙有理映射下的像。 一個代數(shù)簇V1到另一個代數(shù)簇V2的映射稱為雙有理映射，如果它誘導(dǎo)有理函數(shù)域之間的同構(gòu)。兩個代數(shù)簇V1,V2稱為雙有理等價的，如果在V1中有一個稠密開集同構(gòu)于V2的一個稠密開集。這個條件等價于V1和V2的有理函數(shù)域同構(gòu)。由于這個等價關(guān)系，代數(shù)簇的分類常?？梢詺w結(jié)為對代數(shù)簇的雙有理等價類的分類。 當(dāng)前代數(shù)幾何研究的重點(diǎn)是整體問題，主要是代數(shù)簇的分類以及給定的代數(shù)簇中的子簇的性質(zhì)。同調(diào)代數(shù)的方法在這類研究中起著關(guān)鍵的作用。 代數(shù)幾何中的分類理論是這樣建立的：對每個有關(guān)的分類對象(這樣的分類對象可以是某一類代數(shù)簇，例如非奇異射影代數(shù)曲線，也可以是有關(guān)的代數(shù)簇的雙有理等價類)，人們可以找到一組對應(yīng)的整數(shù)，稱為它的數(shù)值不變量。例如在射影代數(shù)簇的情形，它的各階上同調(diào)空間的維數(shù)就都是數(shù)值不變量。然后試圖在所有具有相同的數(shù)值不變量的分類對象組成的集合上建立一個自然的代數(shù)結(jié)構(gòu)，稱為它們的參量簇，使得當(dāng)參量簇中的點(diǎn)在某個代數(shù)結(jié)構(gòu)中變化時，對應(yīng)的分類對象也在相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中變化。目前建立有較完整的分類理論的只有代數(shù)曲線、代數(shù)曲面的一部分，以及少數(shù)特殊的高維代數(shù)簇。J?在研究得最深入的是代數(shù)曲線和阿貝爾簇的分類。 與子簇問題密切相關(guān)的有著名的霍奇猜想:設(shè)X是復(fù)數(shù)域上的一個非奇異射影代數(shù)簇，p為小于X的維數(shù)的一個正整數(shù)。則X上任一型為（p,p）的整上同調(diào)類中都有代數(shù)代表元。 代數(shù)幾何的起源很自然地是從關(guān)于平面中的代數(shù)曲線的研究開始的。對于一條平面曲線，人們首先注意到的一個數(shù)值不變量是它的次數(shù)，即定義這條曲線的方程的次數(shù)。由于次數(shù)為一或二的曲線都是有理曲線（即在代數(shù)幾何的意義下同構(gòu)于直線的曲線），人們今天一般認(rèn)為，代數(shù)幾何的研究是從19世紀(jì)上半葉關(guān)于三次或更高次的平面曲線的研究開始的（早期人們研究的代數(shù)簇都是定義在復(fù)數(shù)域上的）。例如，N.H.阿貝爾在1827~1829年關(guān)于橢圓積分的研究中，發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線（它們都可以表示成平面中的三次曲線）理論基礎(chǔ)。另一方面，C.G.J.雅可比考慮了橢圓積分反函數(shù)問題，他的工作是今天代數(shù)幾何中許多重要概念的基礎(chǔ)（如曲線的雅可比簇、。函數(shù)等）。 B-黎曼1857年引入并發(fā)展了代數(shù)函數(shù)論，從而使代數(shù)曲線的研究獲得了一個關(guān)鍵性的突破。黎曼把他的函數(shù)定義在復(fù)數(shù)平面的某種多層復(fù)迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。用現(xiàn)代的語言，緊致的黎曼曲面就一一對應(yīng)于抽象的射影代數(shù)曲線。運(yùn)用這個概念，黎曼定義了代數(shù)曲線的一個最重要的數(shù)值不變量：虧格。這也是代數(shù)幾何歷史上出現(xiàn)的第一個絕對不變量（即不依賴于代數(shù)簇在空間中的嵌入的不變量）。黎曼還首次考慮了虧格g相同的所有黎曼曲面的雙有理等價類的參量簇問題，并發(fā)現(xiàn)這個參量簇的維數(shù)應(yīng)當(dāng)是3g-3，雖然黎曼未能嚴(yán)格證明它的存在性。 黎曼還應(yīng)用解析方法證明了黎曼不等式：l（D）X（D）-g+1，這里D是給定的黎曼曲面上的除子。隨后他的學(xué)生G.羅赫在這個不等式中加入一項(xiàng)，使它變成了等式。這個等式就是著名的F.希策布魯赫和A.格羅騰迪克的黎曼-羅赫定理的原始形式（見代數(shù)函數(shù)域）。 在黎曼之后，德國數(shù)學(xué)家M.諾特等人用幾何方法獲得了代數(shù)曲線的許多深刻的性質(zhì)。諾特還對代數(shù)曲面的性質(zhì)進(jìn)行了研究。他的成果給以后意大利學(xué)派的工作建立了基礎(chǔ)。從19世紀(jì)末開始，出現(xiàn)了以G.卡斯特爾諾沃，F(xiàn).恩里奎斯和F.塞維里為代表的意大利學(xué)派以及以H.龐加萊、（C.-）É.皮卡和S.萊夫謝茨為代表的法國學(xué)派。他們對復(fù)數(shù)域上的低維代數(shù)簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認(rèn)為是代數(shù)幾何中最漂亮的理論之一的代數(shù)曲面分類理論。但是由于早期的代數(shù)幾何研究缺乏一個嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補(bǔ)。20世紀(jì)以來代數(shù)幾何最重要的進(jìn)展之一是它在最一般情形下的理論基礎(chǔ)的建立。20世紀(jì)30年代，O.扎里斯基和B.L.范■德■瓦爾登等首先在代數(shù)幾何研究中引進(jìn)了交換代數(shù)的方法。在此基礎(chǔ)上，A.韋伊在40年代利用抽象代數(shù)的方法建立了抽象域上的代數(shù)幾何理論，然后通過在抽象域上重建意大利學(xué)派的代數(shù)對應(yīng)理論，成功地證明了當(dāng)k是有限域的時候,關(guān)于代數(shù)曲線Z函數(shù)具有類似于黎曼猜想的性質(zhì)。50年代中期，法國數(shù)學(xué)家J.P.塞爾把代數(shù)簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調(diào)理論，這個為格羅騰迪克隨后建立概型理論奠定了基礎(chǔ)。概型理論的建立使代數(shù)幾何的研究進(jìn)入了一個全新的階段。概型的概念是代數(shù)簇的推廣，它允許點(diǎn)的坐標(biāo)在任意有單位元的交換環(huán)中選取，并允許結(jié)構(gòu)層中存在冪零元。概型理論的另一個重要意義是把代數(shù)幾何和代數(shù)數(shù)域的算術(shù)統(tǒng)一到了一個共同的語言之下，這使得在代數(shù)數(shù)論的研究中可以應(yīng)用代數(shù)幾何中大量的概念、方法和結(jié)果。這種應(yīng)用的兩個典型的例子就是：①P.德利涅于1973年把韋伊關(guān)于Z函數(shù)的定理推廣到了有限域上的任意代數(shù)簇，即證明了著名的韋伊猜想，正是利用了格羅騰迪克的概型理論。②G.法爾廷斯在1983年證明了莫德爾猜想。這個結(jié)果的一個直接推論是費(fèi)馬方程xn+yn=1在n>4時最多只有有限多個非零有理解，從而使費(fèi)馬猜想的研究獲得了一個重大突破。 在另一方面，20世紀(jì)以來復(fù)數(shù)域上代數(shù)幾何中的超越方法也得到了重大的進(jìn)展，例如G.-W.德■拉姆的解析上同調(diào)理論，W.V.D.霍奇的調(diào)和積分論的應(yīng)用，以及小平邦彥和D.C.斯潘塞的變形理論以及P.格里菲思的一些重要工作等。 周煒良對20世紀(jì)前期的代數(shù)幾何發(fā)展作出了許多重要的貢獻(xiàn)。他建立的周環(huán)、周簇、周坐標(biāo)等概念對代數(shù)幾何的許多領(lǐng)域的發(fā)展起了重要的作用。他還證明了著名的周定理:若一個緊致復(fù)解析流形是射影的，則它必定是代數(shù)簇。20世紀(jì)后期，在古典的復(fù)數(shù)域上低維代數(shù)簇的分類理論方面也取得了許多重大進(jìn)展。在代數(shù)曲線的分類方面，由于D.B.芒福德等人的工作，人們現(xiàn)在對代數(shù)曲線參量簇Mg已經(jīng)有了極其深刻的了解。芒福德在60年代把格羅騰迪克的概型理論用到古典的不變量理論上，從而創(chuàng)立了幾何不變量理論，并用它證明了Mg的存在性以及它的擬射影性。人們已經(jīng)知道Mg是一個不可約代數(shù)簇，而且當(dāng)g>24時是一般型的。目前對Mg的子代數(shù)簇的性質(zhì)也開始有所了解。 代數(shù)曲面的分類理論也有很大的進(jìn)展。例如,60年代中期小平邦彥徹底弄清了橢圓曲面的分類和性質(zhì)；1976年，丘成桐和宮岡洋一同時證明了一般型代數(shù)曲面的一個重要不等式:c菇珀C2,其中c菇和C2是曲面的陳數(shù)。同時，三維或更高維代數(shù)簇的分類問題也開始引起人們越來越大的興趣。 代數(shù)幾何與數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系。除了上面提到的數(shù)論之外，還有如解析幾何、微分幾何、交換代數(shù)、代數(shù)群、K理論、拓?fù)鋵W(xué)等。代數(shù)幾何的發(fā)展和這些學(xué)科的發(fā)展起著相互促進(jìn)的作用。同時，作為一門理論學(xué)科，代數(shù)幾何的應(yīng)用前景也開始受到人們的注意，其中的一個顯著的例子是代數(shù)幾何在控制論中的應(yīng)用。 近年來，人們在現(xiàn)代粒子物理的最新的超弦理論中，已廣泛應(yīng)用代數(shù)幾何工具，這預(yù)示古老的代數(shù)幾何學(xué)將對現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展發(fā)揮重要的作用。其它數(shù)學(xué)分支學(xué)科算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論概率和數(shù)理統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理學(xué)微分幾何?…L—早TffviwIEHUH I-Jjnj ■flM-KrSFL—flfHJ-twT.H-jUM時/M由EMmi1"心7視*c-nL???T ?a■-1r^iifi|.flrecti'ffi-Vf-■>k!|-bb3?…■-—?rirt"icr^i吁.-m■?rjl-EYJri>.g曜 年上丁『■二;:也■-4.-S職?叫i『?j* i?* ??r】w>■j<Bojwwl mam且uhjsw■_微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面在它一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，換句話說，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。歷史沿革開始研究微分幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展是和數(shù)學(xué)分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。1736年他首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究。發(fā)展十九世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家蒙日首先把微積分應(yīng)用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益增長的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。1827年，高斯發(fā)表了《關(guān)于曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)。微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。1872年克萊因在德國埃爾朗根大學(xué)作就職演講時，闡述了《埃爾朗根綱領(lǐng)》，用變換群對已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。在《埃爾朗根綱領(lǐng)》發(fā)表后的半個世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理，推動了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學(xué)位論文，后來1906年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國學(xué)派所發(fā)展，1916年起又經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。后期應(yīng)用隨后，由于黎曼幾何的發(fā)展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學(xué)和廣義相對論中得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科?；緝?nèi)容微分幾何學(xué)以光滑曲線（曲面）作為研究對象，所以整個微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。微分幾何在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動標(biāo)形的方法”。對任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。 在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無限小的范圍內(nèi)略去高階無窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。實(shí)際應(yīng)用近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)部門和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題之一。微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。其它數(shù)學(xué)分支學(xué)科算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理學(xué)微分幾何學(xué)應(yīng)用微分學(xué)來研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面等圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。差不多與微積分學(xué)同時起源于17世紀(jì)。單變量函數(shù)的幾何形象是一條曲線，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是曲線切線的斜率。函數(shù)的積分在幾何上則可理解為一曲線下的面積等等。這種把微積分應(yīng)用于曲線、曲面的研究，實(shí)質(zhì)上就是微分幾何學(xué)的開端。L.歐拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等數(shù)學(xué)家都曾為微分幾何學(xué)的發(fā)展作出過重要貢獻(xiàn)。與此同時，曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何等嶄新的思想也在不斷地產(chǎn)生并積累著。在此基礎(chǔ)上，C.F.高斯奠定了曲面論基礎(chǔ)，并使微分幾何學(xué)成為一門新的數(shù)學(xué)分支。按F.克萊因變換群幾何的分類方法來看，微分幾何學(xué)應(yīng)屬于運(yùn)動群，所以也稱為運(yùn)動幾何學(xué)或初等微分幾何學(xué)。 微分幾何學(xué)的研究對數(shù)學(xué)其他分支以及力學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等的影響是不可估量的。如：偽球面上的幾何與非歐幾何有密切關(guān)系；測地線和力學(xué)、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等有著深刻的聯(lián)系，是內(nèi)容豐富的研究課題。這方面有以J.阿達(dá)馬、H.龐加萊等人為首的優(yōu)異研究。極小曲面是和復(fù)變函數(shù)論、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)關(guān)系極為深刻的