2023-2024學(xué)年西安市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試卷附答案解析

-2024學(xué)年西安市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)至選擇性必修第二冊(cè)第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則的漸近線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（

）A．3 B． C． D．4．在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（

）

A． B． C． D．6．若直線與圓相離，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0或1 B．0 C．1 D．27．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．8 B．12 C．18 D．248．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.過(guò)的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A．2 B．3 C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（

）A．若非零向量，，滿足，，則B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．若空間向量，，則在上的投影向量為D．已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則或10．已知圓和圓是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓與圓有四條公切線B．兩圓的公共弦所在的直線方程為C．的最大值為12D．若，則過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為11．已知數(shù)列滿足，，為的前項(xiàng)和，則（

）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為遞減數(shù)列D．當(dāng)或時(shí)，取得最大值12．已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率可能為（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的一般式方程為.14．已知空間中的三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.15．已知，，是拋物線C：上的一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為．16．如圖所示的數(shù)陣由數(shù)字1和2構(gòu)成，將上一行的數(shù)字1變成1個(gè)2，數(shù)字2變成2個(gè)1，得到下一行的數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，設(shè)是第行數(shù)字1的個(gè)數(shù)，是第行數(shù)字2的個(gè)數(shù)，則，.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17．已知圓過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與垂直，且與圓相交于兩點(diǎn)，求.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．20．在正三棱柱中，，E為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)求平面與平面夾角的余弦值．21．已知是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)在中，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在和之間插入k個(gè)，得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，比較與20000的大小關(guān)系．22．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)P（異于兩點(diǎn)），直線PA與PB的斜率之積為，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，直線PT與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且直線AP與BQ相交于點(diǎn)D，證明點(diǎn)在定直線上.1．C【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，進(jìn)而可知傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可得：直線的斜率為，則，所以傾斜角.故選：C2．B【分析】根據(jù)題意求，即可得漸近線方程.【詳解】由題意可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，可得，所以的漸近線的方程為，即.故選：B.3．A【分析】求出，發(fā)現(xiàn)周期，根據(jù)周期來(lái)求解.【詳解】由題可得，，，，故是以4為周期的周期數(shù)列，故．故選：A.4．B【分析】連接，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.5．B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到，代入拋物線方程，求出，從而得到答案.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，將代入，故，解得，

所以該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為m.故選：B6．D【分析】由直線與圓相離得，則點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，由此即可得解.【詳解】由題意直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，即，而，即點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：D.7．D【分析】直接由等差數(shù)列性質(zhì)以及求和公式即可得解.【詳解】由題意，解得，所以.故選：D.8．A【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義和線段之間的倍數(shù)關(guān)系求出，，由余弦定理求出，進(jìn)而得到，得到答案.【詳解】由已知可設(shè)，則，故，由雙曲線的定義有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的離心率為2.故選：A9．BCD【分析】根據(jù)，的方向不確定判斷A；根據(jù)空間向量共面定理判斷B；根據(jù)投影向量定義判斷C；利用，可得，從而判斷D．【詳解】對(duì)于A，非零向量，，滿足，，，的方向不確定，則，不一定平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橹本€l的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，則或，故D正確．故選：BCD.10．BCD【分析】對(duì)于A，判斷兩圓的位置關(guān)系即可；對(duì)于B，兩圓方程相減即可；對(duì)于C，由驗(yàn)算即可；對(duì)于D，點(diǎn)在圓上，利用垂直關(guān)系得切線斜率，進(jìn)一步即可驗(yàn)算.【詳解】對(duì)于A，圓、的圓心、半徑依次分別為，圓心距滿足，所以兩圓相交，圓與圓有兩條條公切線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩圓、方程相減得，，化簡(jiǎn)并整理得兩圓的公共弦所在的直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由題意，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，取最大值，故C正確，對(duì)于D，，即點(diǎn)在圓上面，又，所以過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，化簡(jiǎn)并整理得，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，故D正確.故選：BCD.11．AC【分析】利用構(gòu)造法得，判斷出為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，判斷A選項(xiàng)；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)公式，得出，判斷B選項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)是減函數(shù)，判斷C選項(xiàng)；令，解得，判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以為首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，A正確；，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列，C正確；令，即，解得，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.故選：AC12．BD【分析】根據(jù)題意，先畫(huà)出圖象，然后判斷四邊形為平行四邊形，由可得，進(jìn)而結(jié)合橢圓的定義與基本不等式可得有關(guān)的不等式，解不等式得到離心率的取值范圍，從而逐項(xiàng)判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以由橢圓的對(duì)稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，，平行四邊中,，在中，.因?yàn)橹本€斜率存在，所以A，B兩點(diǎn)不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因?yàn)?，故A，C錯(cuò)誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．13．【分析】在直線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)在直線上，即可求解.【詳解】設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以在直線上，即，得到直線的一般式方程為故答案為：14．##【分析】由題意得，，結(jié)合勾股定理即可得解.【詳解】由題意得，所以,，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.15．##【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】由題可知為拋物線C的焦點(diǎn)，C的準(zhǔn)線方程為．設(shè)d為點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線的距離，則．又，所以周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：.

16．【分析】由題意可知：，且，進(jìn)而可得，結(jié)合等比數(shù)列運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，且，則，可得，，所以.故答案為：16；.17．(1)(2)【分析】（1）由題意得，，由此即可得解.（2）首先得經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為，由弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】（1）由題意設(shè)圓心，又圓過(guò)點(diǎn)和，所以，解得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為，即，又圓心到直線的距離為，，所以.18．(1)(2)【分析】（1）由的關(guān)系即可得解.（2）由裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，所以，又，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，所以.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19．(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定曲線C的方程.（2）利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式求解.【詳解】（1）依題意得該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)的距離到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，所以根據(jù)拋物線的定義可知該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，直線與曲線相交，滿足題意，所以直線l的方程為.20．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；【分析】（1）利用中位線性質(zhì)構(gòu)造線線平行即可證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面夾角.【詳解】（1）連接，與交于點(diǎn)F，連接，則F為的中點(diǎn)．因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)D，連接，則，．又平面，所以底面，底面，所以，則可以E為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，

所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，即．設(shè)平面的法向量為，則，取，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為．21．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意分析可知，利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式以及錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，則，解得，所以，．（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，可知，且，令的前n項(xiàng)和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22．(1)+＝1(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積和點(diǎn)P在橢圓上整理可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線PT的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去y，利用P，Q坐標(biāo)表示出直線PA與PB的方程，求解出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可得證．【詳解】（1）由題意可得，且，則.設(shè)，則，