向量(論文)資料

向量在高中數(shù)學(xué)中的幾個(gè)妙用引言：平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。正因?yàn)槿绱耍诟呷龑ｎ}復(fù)習(xí)課上，我們以求在教與學(xué)的過(guò)程中提高學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，讓學(xué)生樹立并應(yīng)用向量的意識(shí)。背景:向量知識(shí)在許多國(guó)家的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，早就成了一個(gè)基本的教學(xué)內(nèi)容。在我國(guó)全面實(shí)施新課程后，向量雖然已進(jìn)入中學(xué)，但仍處于起步的階段。向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問(wèn)題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會(huì)大大簡(jiǎn)化過(guò)程。但實(shí)際情況是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會(huì)應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)用向量的意識(shí)不強(qiáng).在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前，學(xué)習(xí)解析幾何在后，而且教材中二者知識(shí)整合的不多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會(huì)應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問(wèn)題。正因?yàn)槿绱?，本?jié)課這樣設(shè)計(jì)：1、教育家贊可夫說(shuō)“要以知識(shí)本身吸引學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生感到認(rèn)識(shí)新事物的樂(lè)趣，體驗(yàn)克服困難的喜悅”；教育心理學(xué)認(rèn)為：思維是從提出問(wèn)題開(kāi)始的；美國(guó)心理學(xué)家賈德通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需掌握原理，形成類比，才能讓遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中”。因此首先通過(guò)兩個(gè)舊問(wèn)題的引入解決，讓學(xué)生體會(huì)向量的工具性特點(diǎn)，體會(huì)向量解題的優(yōu)越性。2、通過(guò)例3、例4兩個(gè)問(wèn)題的探究解決，由此讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用向量法的最大優(yōu)點(diǎn)是思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)潔，有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說(shuō)過(guò)：學(xué)習(xí)的最好刺激是對(duì)所學(xué)材料的興趣，簡(jiǎn)單的重復(fù)將會(huì)引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負(fù)擔(dān)。向量是形與數(shù)的高度統(tǒng)一,它集幾何圖形的直觀與代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔于一身。是高中數(shù)學(xué)新增加的內(nèi)容，在作用上它取代了以往復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中的地位，但從目前的使用情況來(lái)看，向量的作用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)只能在平面上，而向量卻有平面向量和空間向量之分，這一點(diǎn)在與幾何（尤其是立體幾何）的聯(lián)系上表現(xiàn)得更加突出。向量在數(shù)學(xué)，力學(xué)，物理學(xué)和工程技術(shù)中應(yīng)用很廣泛，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的許多主干知識(shí)相結(jié)合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。向量方法在解決幾何問(wèn)題時(shí)充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強(qiáng)的工具性作用，向量方法不僅可以用來(lái)解決不等式、三角、復(fù)數(shù)、物理、測(cè)量等某些問(wèn)題，還可以簡(jiǎn)捷明快地解決平面幾何許多常見(jiàn)證明（平行、垂直、共線、相切、角相等）與求值（距離、角、比值等）問(wèn)題.不難看出向量法應(yīng)用于平面幾何中時(shí)，它能將平面幾何許多問(wèn)題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合。向量法是將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題。用空間向量解決立體幾何中的這些問(wèn)題，其獨(dú)到之處，在于用向量來(lái)處理空間問(wèn)題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過(guò)程，使解題變得程序化。那么解立體幾何題時(shí)就可以用向量方法，對(duì)某些傳統(tǒng)性較大，隨機(jī)性較強(qiáng)的立體幾何問(wèn)題，引入向量工具之后，可提供一些通法。由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與幾何之間有著密切聯(lián)系。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念之一，它既是幾何對(duì)象也是代數(shù)對(duì)象，因而成為數(shù)形結(jié)合的橋梁，成為溝通代數(shù)、幾何、三角的得力工具。向量的概念從大量的生活實(shí)例和豐富的物理素材中抽象出來(lái)，反過(guò)來(lái)，它的理論和方法又成為解決生活實(shí)際問(wèn)題和物理學(xué)重要工具.它之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化，使代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化。正是由于向量所特有的數(shù)形二重性，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有廣泛的應(yīng)用。用向量坐標(biāo)法求角時(shí)要注意善于利用已知幾何體的特點(diǎn)，尋找直線與平面的垂直關(guān)系，再設(shè)法在平面內(nèi)找到直線與直線垂直，以便建立空間直角坐標(biāo)系后方便求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。從上面的例子我們可以看到，向量解題的優(yōu)勢(shì)就在于只運(yùn)用了向量公式的簡(jiǎn)單變形就解決了一個(gè)通過(guò)繁瑣的立體幾何分析方能解決的問(wèn)題。這是對(duì)笛卡爾“變實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再變數(shù)學(xué)問(wèn)題為方程問(wèn)題，然后只需求解方程便可使問(wèn)題得以解決”這一數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的完美體現(xiàn)。用向量法解決立體幾何問(wèn)題的方式有兩種：一是直接用向量的代數(shù)式運(yùn)算，二是用向量的坐標(biāo)運(yùn)算。一般來(lái)說(shuō)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，思維量更少，運(yùn)算技巧更低，更容易掌握，因此這也是我們常用的向量方法。若所給圖形不容易建立空間直角坐標(biāo)系，我們也可以用向量的代數(shù)式運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，但其技巧性相對(duì)較高，對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的要求也提高了。一、向量在函數(shù)中的應(yīng)用根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面上可以用向量來(lái)表示復(fù)數(shù)。這樣復(fù)數(shù)的加減法，就可以看成是向量的加減，復(fù)數(shù)的乘除法可以用向量的旋轉(zhuǎn)和數(shù)乘向量得到，學(xué)了向量，復(fù)數(shù)事實(shí)上已沒(méi)有太多的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容。因而變選學(xué)內(nèi)容也就不難理解了。另外向量所建立的數(shù)形對(duì)應(yīng)也可解：如圖9，設(shè)，由BC//x軸得與共線，而代入上式得又與是共線向量,即A、、C三點(diǎn)共線直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。3、軌跡問(wèn)題例9已知一個(gè)圓的直徑兩端點(diǎn)為，求此圓方程.解：設(shè)為圓上異于的點(diǎn)，由圓周角定理得⊥，若是與點(diǎn)或重合的點(diǎn)，則=或=，故都有=0成立，從而，此即為所求圓方程．例10求過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程．解：如圖,設(shè)是所求切線上的任意一點(diǎn)，則，,因?yàn)椤退?，即，此即為所求切線的方程(即使是重合時(shí)，仍有=，因?yàn)榇藭r(shí)=)．總之，平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢(shì)。向量法是一種值得學(xué)生花費(fèi)時(shí)間、精力去掌握的一種新生方法，學(xué)好向量知識(shí)有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)向量這