新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

烏魯木齊市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題總分150分考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（8小題每題5分共40分）1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z和表示的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則復(fù)數(shù)z＝()A． B．C． D．2．已知集合,且,那么m的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢三百六十，乙持錢二百八十，丙持錢二百，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅六十五錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持360錢，乙持280錢，丙持200錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共65錢，要按照各人帶錢多少的比例進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少錢？下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．甲應(yīng)付錢 B．乙應(yīng)付錢C．丙應(yīng)付錢 D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少4．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．5．以為焦點(diǎn)且與直線有公共點(diǎn)的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．的值是（

）A． B． C． D．8．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則=（

）A． B． C． D．二、多選題（共4小題每題五分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）9．如圖，為圓錐的底面圓O的直徑，點(diǎn)是圓上異于A，C的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為.B．三棱錐體積的最大值為1.C．的取值范圍.D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值.10．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)都在拋物線上，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線方程為B．是的重心C．D．11．已知函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．若對(duì)都有成立，則B．若使得有解，則C．若且使得，則D．若使得，則12．某國(guó)產(chǎn)殺毒軟件的比賽規(guī)則為每個(gè)軟件進(jìn)行四輪考核，每輪考核中能夠準(zhǔn)確對(duì)病毒進(jìn)行查殺的進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰．已知某個(gè)軟件在四輪考核中能夠準(zhǔn)確殺毒的概率依次是且各輪考核能否通過互不影響，則（）A．該軟件通過考核的概率為B．該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為C．該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為D．在此次比賽中該軟件平均考核了輪三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13．已知單位向量滿足，則．14．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)用一平行于正四棱錐底面的平面去截這個(gè)棱錐，截得棱臺(tái)的上、下底面的面積之比為1：4，若截去的小棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，則此棱臺(tái)的表面積為.15．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為；在極坐標(biāo)系（以原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中曲線的方程為，則與的交點(diǎn)的距離為16．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請(qǐng)根據(jù)答題卡題號(hào)及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效。）17．已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.（1）若且，求角的大?。唬?）若為銳角三角形，且，，求面積的取值范圍.18．已知公差不為零的等差數(shù)列，滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，記以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求．19．某校為了解高一期末數(shù)學(xué)考試的情況，從高一的所有學(xué)生數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取份試卷進(jìn)行成績(jī)分析，得到數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為6．（1）估計(jì)所抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；（2）用分層抽樣的方法在成績(jī)?yōu)楹瓦@兩組中共抽取5個(gè)學(xué)生，并從這5個(gè)學(xué)生中任取2人進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，求分?jǐn)?shù)在恰有1人的概率．20．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.21．（1）已知直線l過點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量為．①求直線l的方程；②一組直線，，，，，都與直線l平行，它們到直線l的距離依次為d，，，，，（），且直線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，試用n表示d的關(guān)系式，并求出直線的方程（用n、i表示）；（2）在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多條直線，，，，的直線簇，使它同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①點(diǎn)；②，其中是直線的斜率，和分別為直線在x軸和y軸上的截距；③.22．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意，都有．答案解析1．A【解析】試題分析：.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.2．A【解析】試題分析：有意義，則，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以的最大值是，故選A．考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)；2、集合的子集；3、集合的補(bǔ)集運(yùn)算．3．C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和計(jì)算方法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【解析】由題意可得，所以甲付（錢），乙付（錢），丙付（錢），所以選項(xiàng)C中的說法錯(cuò)誤.故選：C.4．C【分析】根據(jù)題意知函數(shù)為奇函數(shù)，化簡(jiǎn)可得，據(jù)此可求出值.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，所以可得，即，，即，，.故選：C5．C【分析】由題意得橢圓的方程為，離心率為，根據(jù)直線與橢圓有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，得到離心率取得最大值，即可求得橢圓的方程.【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意，可得，則，所以，所以橢圓的離心率為，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，解得或（舍去），所以的最小值為，此時(shí)離心率取得最大值，所以橢圓的方程為.故選：C.6．C【分析】求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后令，，由此構(gòu)造不等式組求解即可.【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，且，由得，解得.在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，解得.故選：C.7．B【分析】由半角公式計(jì)算．【解析】．故選：B．8．D【解析】試題分析：，因此由，選D．考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)9．CD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：直接利用扇形的面積公式求解；對(duì)于選項(xiàng)B：直接求出三棱錐體積的最大值；對(duì)于選項(xiàng)C：先求出的范圍，由,即可求出的范圍；對(duì)于選項(xiàng)D：將△SAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與△ABC共面,判斷出.利用余弦定理求出最小值.【解析】在Rt△SOC中,,則圓錐的母線長(zhǎng),半徑r=OC=1.對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐SO的側(cè)面積為.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí),△ABC的面積最大,此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為:.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí),為最小角;當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí),,達(dá)到最大值.又因?yàn)辄c(diǎn)B與A,C不重合,則.又,可得,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?所以.又,所以△SAB為等邊三角形，∴.將△SAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與△ABC共面,得到△S1AB,則△S1AB為等邊三角形,.如圖：.因?yàn)?,∴；故選項(xiàng)D正確.故選：CD10．ABD【分析】把點(diǎn)代入可得拋物線的方程，結(jié)合向量運(yùn)算可得是的重心，利用拋物線的定義可得，利用三角形面積公式及，可得.【解析】對(duì)于A，由在拋物線上可得，即拋物線方程為，正確；對(duì)于B，分別取的中點(diǎn)，則，，即在中線上，同理可得也在中線上，所以是的重心，正確；對(duì)于C，由拋物線的定義可得，所以.由是的重心，所以，即，所以，不正確；對(duì)于D，，；同理,，所以，正確.故選：ABD.11．ACD【分析】根據(jù)二次不等式恒成立可判斷A，利用二次不等式有解問題可判斷B，根據(jù)二次方程根的分布可判斷CD.【解析】A選項(xiàng)：由題意，解得，故A正確；B選項(xiàng)：由開口向上，故只需或，解得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由題可知方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，則，解得，C正確；D選項(xiàng)：由題可知，解得，D正確．故選：ACD.12．ABD【分析】設(shè)事件，2，3，表示“該軟件能通過第輪考核”，由已知可得，，，，再利用互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式一一計(jì)算可得．【解析】解：設(shè)事件，2，3，表示“該軟件能通過第輪考核”，由已知得，，，，該軟件通過考核的概率為；該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為，故選項(xiàng)B正確；該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為，故選項(xiàng)C不正確；設(shè)在此次比賽中，該軟件考核了輪，∴的可能取值為1，2，3，4，，，，，∴，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD13．【分析】轉(zhuǎn)化為，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開，結(jié)合為單位向量，即得解【解析】因?yàn)?，所以，所以．故答案為?4．【解析】根據(jù)棱臺(tái)的上、下底面的面積之比為1：4，利用相似比得到棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)之比為1：2，再根據(jù)截去的小棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2和正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，得到棱臺(tái)的底面邊長(zhǎng)和斜高，代入公式求解.【解析】如圖所示：因?yàn)槔馀_(tái)的上、下底面的面積之比為1：4，所以棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)之比為1：2，因?yàn)榻厝サ男±忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為4，又因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為2，即，所以，作，則，，所以此棱臺(tái)的表面積為，故答案為：15．【解析】試題分析：由得，，∴曲線的普通方程為得，曲線的方程為，即，得，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為，∵圓的圓心為，∵圓心到直線的距離，又，所以弦長(zhǎng)，則與兩交點(diǎn)的距離為，故答案為．考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．16．【分析】由，求得，結(jié)合長(zhǎng)度比的幾何概型的計(jì)算公式，即可求解.【解析】因?yàn)?，由，解得，則，可得的概率為.故答案為：.17．（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得，再代入條件化簡(jiǎn)得，（2）根據(jù)正弦定理以及三角形面積公式得面積為，再根據(jù)銳角三角形確定B角范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求取值范圍.【解析】（1）由于，由正弦定可得，即，，，故，，又，所以，即由于，所以，由于是三角形的內(nèi)角，故.（2）由，所以，，所以面積為由于為銳角三角形，所以，即，解得，所以，，所以.即面積的取值范圍是.18．（1）（2）【解析】（1）由，，成等比數(shù)列求得公差，可得通項(xiàng)公式；（2）求出四邊形面積，可得，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得．【解析】（1）設(shè)的公差為，則，，，依題意，，即，化簡(jiǎn)得：，又，故．．（2）由題知，四邊形為直角梯形，故，故．19．（1）75；（2）【解析】試題分析：（1）最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)既是眾數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣原理及直方圖可知所抽取人中，第五組應(yīng)抽取抽取人，列舉出人抽取二人所有情況，共種，其中符合條件的共有種，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.試題解析：（1）由頻率分布直方圖可知：樣本的眾數(shù)為75．（2）由頻率分布直方圖可得：第三組的頻率：，所以，∴第四組的頻數(shù)：：第五組的頻數(shù)：；用分層抽樣的方法抽取5份得：第四組抽?。?；第五組抽取：．記抽到第四組的三位同學(xué)為，抽到第五組的兩位同學(xué)為，則從5個(gè)同學(xué)中任取2人的基本事件有：，共10種．其中分?jǐn)?shù)在恰有1人有：，共6種．∴所求概率：．考點(diǎn)：1、頻率分布直方圖的應(yīng)用；2、分層抽樣及古典概型概率公式.20．（1）證明見解析；（2）60°.【解析】（1）直角梯形及已知線段長(zhǎng)可得，由勾股定理知，由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直的判定即可證平面；（2）取中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，與交于點(diǎn)O，連接，，由二面角的定義知是二面角的平面角，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)及線段長(zhǎng)即可求的大小.【解析】（1）證明：在直角梯形中，由，，得因?yàn)?，，所以，即因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面，又平面，所以因?yàn)?，，平面，平面所以平面?）取中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，與交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)?，平面，所以平面所以是二面角的平面角，在中，由，，所以在中，由，，所以二面角的大小?0°.21．（1）①；②，；（2）不存在.【分析】（1）根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率,結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得直線方程;根據(jù)直線平行且過原點(diǎn),可得直線的方程,由平行線間距離公式可得n與d的關(guān)系式,設(shè)出直線的方程,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可求得直線方程.（2）假設(shè)存在這樣的直線簇.先求得,的表達(dá)式,進(jìn)而表示出.通過迭加法求得,即可證明當(dāng)時(shí),與不能成立.【解析】（1）①直線l方向向量為所以直線的斜率為直線l過點(diǎn),由點(diǎn)斜式方程可得即直線l的方程為：；②直線且經(jīng)過原點(diǎn),直線的方程為：由題意知直線到l的距離為,根據(jù)平行線間距離公式可得則設(shè)直線的方程為：由題意知：直線到直線l的距離為,所以直線的方程為：；（2）假設(shè)存在滿足題意的直線簇．由①知的方程為：,,分別令,得,,由,即,,迭加得．由③知所有的同號(hào),僅討論的情形,由,所以顯然,當(dāng)時(shí),與矛盾！故滿足題意的直線簇不存在．22．（1）時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)在上單