2022年新高考II卷數(shù)學(xué)原創(chuàng)猜題預(yù)測(cè)卷（含答案解析）

2022年新高考II卷數(shù)學(xué)原創(chuàng)猜題預(yù)測(cè)卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={小"-1）<0},B={x|e'>l）,則僅A）c3=

A.B.（0,+s）C.（0,1）D.[0,1]

2.搭載神舟十三號(hào)載人飛船的長征二號(hào)尸遙十三運(yùn)載火箭，精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射后約582

秒，進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.據(jù)測(cè)算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭

的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭的質(zhì)量機(jī)（除燃料

外，單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是v=20001n（l+，j.當(dāng)火箭的最大速度為11.5km/s時(shí)，

竺約等于（）（參考數(shù)據(jù)：e5”?314）

m

A.313B.314C.312D.311

3.2022年2月28|E|,國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了我國2021年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公

報(bào)，在以習(xí)近平同志為核心的黨中央堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，各地區(qū)各部門沉著應(yīng)對(duì)百年變局和

世紀(jì)疫情，構(gòu)建新發(fā)展格局，實(shí)現(xiàn)了“十四五''良好開局.2021年，全國居民人均可支配

收入和消費(fèi)支出均較上一年有所增長，結(jié)合如下統(tǒng)計(jì)圖表，下列說法中埼送的是

其他用品及服務(wù)

醫(yī)療保健

569元.2.4%

2115元,8.8%食品煙酒

教育文化娛樂、,178元.29.8%

2599元.10.8%

交通通信-

衣著

3156元,13.1%

1419元,5.9%

生活用品及服務(wù)

1423元,5.9%居住

5641元.23.4%

圖1:2017-2021年全國居民人均圖2:2021年全國居民

可支配收入及其增長速度人均消費(fèi)支出及其構(gòu)成

A.2017—2021年全國居民人均可支配收入逐年遞增

B.2021年全國居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成中教育文化娛樂占比低于交通通信占比

C.2020年全國居民人均可支配收入較前一年下降

D.2021年全國居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成中食品煙酒和居住占比超過50%

4.設(shè)小人分別為雙曲線。，-，=1（“>0"）的左，右焦點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，以

耳心為直徑的圓與C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn)，且NM4N=135。，則雙曲線C的

漸近線方程為（）

A.y=±-xB.y=+^-xC.y=±^3xD.y=±2x

5.函數(shù)y=/（x）的圖象如圖，則〃x）的解析式可能為（）

A./(x)=(x2-x2)ln|x|B./(x)=(2，-2T)ln|H

C./(x)=|2v-2-'|ln|x|D./(x)=(x-x-1)ln|x|

6.下列選項(xiàng)中，為“數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列”的一個(gè)充分不必要條件的是()

2

A.2all=a?+t+all_l(n>2)B.??=??+,-(?>2)

C.通項(xiàng)公式4=2〃-3D.an+2-an=an+x-a?_t(n>2)

7.西安中學(xué)抗疫志愿者小分隊(duì)中有3名男同學(xué)，2名女同學(xué)，現(xiàn)隨機(jī)選派2名同學(xué)前

往社區(qū)參加志愿服務(wù)活動(dòng)，在已知抽取的1名志愿者是女同學(xué)的情況下，2名都是女

同學(xué)的概率是()

A.-B.-C.—D.—

45710

8.如圖，在三棱錐D-A8C中，ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=曬,AB=3,

且直線AB與。C所成角的余弦值為叵，則該三棱錐的外接球的體積為()

二、多選題

9.已知向量苕=(及/)，b=(cos0,sin。)(瞬B萬)，則下列命題正確的是()

A.若萬_Lb，則tan9=近

B.若5在萬上的投影向量長度為-g,則向量5與5的夾角為與

C.存在凡使得|萬+5|=|1|+|5|

D.晨5的最大值為百

10.給定函數(shù)/(x)=(x+l)e1下列說法正確的有()

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間(―,-2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-2,0)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

C.當(dāng)-4<"<0時(shí)，方程〃力=。有兩個(gè)不同的的解

e-

D.若方程/(x)=。只有一個(gè)解，則

11.已知函數(shù)/(x)=sin2x+2sirx-1在［0,〃?］上單調(diào)遞增，則，”的可能值是()

A.-B.-C.—D.兀

428

12.已知函數(shù)f(x)=x-sinxcosx,則下列說法正確的是()

A.“X)為奇函數(shù)B.最小正周期為萬

C./(x)在R上為增函數(shù)D.f(x)有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)

三、填空題

13.若復(fù)數(shù)z滿足z(l-i)="i|+i,則z的虛部為.

14.已知關(guān)于x的二項(xiàng)式(五+七)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,常數(shù)項(xiàng)為

80,則a的值為

15.已知函數(shù)〃x)為定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的xeR,均有“x+2)=/(2-x)成

立,且“X)在［2,一)上單調(diào)遞減，若/(-1)=0,則不等式/(x-l)NO的解集為

16.拋物線E：W=4y與圓例：/+(丫—1)2=16交于4,B兩點(diǎn)，圓心"(0,1),點(diǎn)P

為劣弧AB上不同于4B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于y軸的直線PN交拋物線于點(diǎn)N,則

△PMN的周長的取值范圍是.

四、解答題

17.在①2s角=5,+1,②氏=9，③5“=1-2”用這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下

4

面問題中，給出解答.

已知數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,滿足—,一；又知正項(xiàng)等差數(shù)列｛2｝滿足4=3,

且伉，么-2,打成等比數(shù)列.

(1)求｛《｝和也,｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)“=%,求數(shù)列｛c,｝的前項(xiàng)和7；.

18.已知AABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,》,c,且(sinA-sinC『=sin28-sinAsinC.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若AABC為銳角三角形，且萬=百，求J"的取值范圍.

19.如圖，四邊形ABC。是一個(gè)邊長為2的菱形，且/8=方，現(xiàn)沿著AC將AABC折

到A￡4C的位置，使得平面E4C_L平面A。，M,N是線段EC,上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

⑴證明：MN〃平面EAB；

(2)求直線EC與平面￡4。所成的角的正弦值；

(3)設(shè)平面4WN與平面E4D所成銳二面角為6,當(dāng)8$。=巫時(shí)，求4的值.

5

20.為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，普及冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)，大力營造校園冰雪運(yùn)動(dòng)文化氛圍，

助力2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某校組織全校學(xué)生參與“激情冰雪，相約冬奧”冰雪運(yùn)

動(dòng)知識(shí)競賽.為了了解學(xué)生競賽成績，從參加競賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，將

其成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為［50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],已知成績?cè)赱70,90)內(nèi)的有60人.

(1)求樣本容量，并估計(jì)該校本次競賽成績的中位數(shù).

(2)將成績?cè)冢?0,1(X)］內(nèi)的學(xué)生定義為“冰雪達(dá)人”，成績?cè)冢?0,80)內(nèi)的學(xué)生定義為“非冰

雪達(dá)人”.請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為是

否為“冰雪達(dá)人”與性別有關(guān)?

男牛.女生合計(jì)

冰雪達(dá)人40

非冰雪達(dá)人3060

合計(jì)60

(3)根據(jù)(2)中的數(shù)據(jù)分析，將頻率視為概率，從該校學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法抽取2

人，記被抽取的2人中“冰雪達(dá)人”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

附：

2

P（K>k0）0.050.010.001

即3.8416.63510.828

n(ad-bc］

K~9=-----————--------r,n=a+b+c+d.

(〃+〃)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

21.在直角坐標(biāo)系xOy中，A(-l,0),B(l,0),C為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊

AC,BC,A8相切于P,Q,R,且仁4=1,記點(diǎn)C的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)不過原點(diǎn)。的直線/與曲線E交于M,N,且直線y=經(jīng)過MN的中點(diǎn)T,

求QMN的面積的最大值.

22.已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)—x+1.

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=ae'-x+lna,若函數(shù)F(x)=〃x)-g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

參考答案：

1.A

【解析】

【詳解】

解

A=(O,1)B=(0,oo),(4A)=(O,l)(QA)cB=(0,l)

2.A

【解析】

【分析】

先將火箭的最大速度化為11500m/s,然后代入給出的表達(dá)式中，即可求出答案.

【詳解】

火箭的最大速度為11.5km/s,BPv=l1.5x1000=11500m/s

所以11500=20001n(l+竺],所以ln[l+")=1^=嚕=5.75

Vm)\mJ200020

BP—=e575-l=314-l=313

tn

故選：A

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)條形圖和扇形圖結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)圖1可知2017-2021年全國居民人均可支配收入逐年遞增，

故A正確，C錯(cuò)誤；

根據(jù)圖2可知，2021年全國居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成中教育文化娛樂占比為10.8%,

交通通信占比為13.1%,故B正確；

食品煙酒和居住占比分別為29.8%,23.4%

由29.8%+23.4%=53.2%>50%,故D正確.

故選：C.

4.D

【解析】

答案第1頁，共18頁

【分析】

設(shè)以68為直徑的圓與漸近線相交于點(diǎn)M小,%)1>()),則N(-%—%),然后由

_b

-y°=aX°,解得M,N的坐標(biāo)，再根據(jù)NM4N=135。求解

X。+%=C?

【詳解】

設(shè)以耳心為直徑的圓與潮近線y=，x相交于點(diǎn)〃小,冶(%>0),

由對(duì)稱性得N(-/，一%),

b

,%=一%)

由ja,

解得M(a,b),N(-a,-b),

?；A(—a,0),

/.ZNA.F,=90°,

:.XMAF2=45°,

b=2a,

???漸近線方程為y=±2x.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)B,D,再利用函數(shù)的零點(diǎn)和特殊值排除選項(xiàng)A,即得解.

【詳解】

解：由圖得函數(shù)的定義域?yàn)?v，0)U(0,+?)),且是偶函數(shù).

由于選項(xiàng)B,D的函數(shù)為奇函數(shù)，所以排除B,D.

對(duì)于選項(xiàng)A,函數(shù)的定義域?yàn)?7,0)U(0,xo),且〃-x)=(x2--加兇=/(幻，所以函數(shù)

是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=(x2-x-2)lnx,令f(x)=0」x=l.所以函數(shù)>軸右邊圖象只

答案第2頁，共18頁

有一個(gè)零點(diǎn)1.=與圖象不符，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,函數(shù)的定義域?yàn)?f,0)U(0,Ko),且/(—x)=|2-*—2'MW=/(X),所以函數(shù)

是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，令/(x)=(2'-2T)lnx=0,."=l,所以函數(shù)》軸右邊圖象只有一

個(gè)零點(diǎn)1./《)=乎卜；<0,與圖象相符，所以選項(xiàng)C有可能.

故選：C

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)以及通項(xiàng)公式，結(jié)合充分必要條件的概念逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

對(duì)于A：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列oan+i-a?=an-an_｝=2a?=an+l+an_1(n>2),

AA選項(xiàng)為“數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列''的一個(gè)充要條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：易知B選項(xiàng)為“數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列”的一個(gè)既不充分也不必要條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：Van=2n-3,：,an+l=2(w+l)-3=2n-l,/.6z?+l-a?=2,

.??數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，反之若｛4｝為等差數(shù)列，則

此時(shí)d不一定為2,所以必要性不成立，

AC選項(xiàng)為“數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列''的一個(gè)充分不必要條件，故C正確；

對(duì)于D：若數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列,則%+2-。向=%-%，

aa=

?+2~n%+l-%T成立，

反之當(dāng)4=1,生=2,%=4,4=5時(shí)，滿足4+2-4=4+1-4,-1，

但｛q｝不是等差數(shù)列，

???D選項(xiàng)為“數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列”的一個(gè)必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.C

答案第3頁，共18頁

【解析】

【分析】

利用條件概率求解.

【詳解】

解：從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，隨機(jī)選派2名共有C；=10種方法，

含有1名志愿者是女同學(xué)有以《+=7種方法，

所以含有1名志愿者是女同學(xué)的概率是自7，

2名志愿者都是女同學(xué)有仁=1種方法，

所以2名志愿者都是女同學(xué)的概率是p=2，

1

1

1O7=-

所以在抽取的1名志愿者是女同學(xué)的情況下，2名都是女同學(xué)的概率是o=17

W

故選：C

8.C

【解析】

【分析】

由題意，將三棱錐。-ABC放入對(duì)應(yīng)的長方體中，根據(jù)己知條件建立關(guān)于長方體的長、寬、

高的邊長。，Ac的方程組，求解得/+"+C2=25,進(jìn)而可得外接球的直徑即為長方體

的體對(duì)角線長，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.

【詳解】

解：由題意知4c_LBC,DC1BC,則BCL平面AOC,所以

又A￡>_LAC,ACn8C=C,所以4），平面ABC,將三棱錐D-ABC放入對(duì)應(yīng)的長方體

中，如圖：

答案第4頁，共18頁

易知EB〃QC,所以N4BE為直線AB與。C所成的角，

所以AE?=AB2+BE2-2ABBE-COSZABE,解得AE=疝.

設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則片+6=9,a2+c2=22,b2+c2=l9,

三式相加得片+〃2+C2=25,所以長方體的外接球的半徑為正亙?nèi)?1,

22

所以該三棱錐的外接球的體積為丫=9.

3⑴6

故選：C.

9.BCD

【解析】

【分析】

利用向量的數(shù)量積為0,求出正切函數(shù)值，判斷A；利用向量的數(shù)量積求解向量的投影以

及向量的夾角判斷B：通過向量的模的求法求解。判斷C；利用向量的數(shù)量積結(jié)合兩角和

與差的三角函數(shù)，求解最大值判斷D.

【詳解】

解：因?yàn)楹?(3,1),5=(cos6,sine),

若。J_B，則a-5=&cos9+sine=0,則tan，=-&，故A錯(cuò)誤；

若5在方上的投影向量長度為且|5|=Jsin*+cos*=I,則151cos伍,5)=-1,所以

cos^a,b}=~,又依5目0,可，所以他5〉=彳"故B正確；

因?yàn)?江+5)2="+廬+2江石=同2+時(shí)+2汗.5,(同+酹=1肝+|5F+2|d||5|,

若11+51=|初+15|,則無5=mil51cos</5>=|劃5|,

即cos他刀=1,故他方)=。時(shí)|1+5|=|國+|5|,即萬與方同向,所以gsin?=cos。，解

得tan6=，^,故C正確；

2

]4=0cosO+sine=Gsin(e+0),其中tane=J^,因?yàn)猷?兀,0<(p<^,則當(dāng)

夕+*=、時(shí)，的最大值為G，故D正確，

故選：BCD.

10.AC

答案第5頁，共18頁

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而得函數(shù)圖像，再數(shù)形結(jié)合，依次討論各

選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】

解：r(x)=(x+2)e",

所以，x<-2時(shí)，r(x)<0,.f(x)遞減，x>-2時(shí)，/'(x)>0,/(x)遞增，故A正確；

2

所以，/?mi?=/(-2)=-e-<0,/(0)=1>0,x<—2時(shí)，/W<0,因此/(x)只在(一2,0)

xe(-2,0)時(shí)，/(X)遞增，/(x)e(-e-2,l),

作出y=/")圖象和直線y=",

如圖，知當(dāng)-5<。<0時(shí)，方程/(》)=〃有兩個(gè)不同的的解，C正確;

由圖可知若方程/(x)=。只有一個(gè)解，則或“=-，■,D錯(cuò)誤.

e

故選：AC.

ILAC

答案第6頁，共18頁

【解析】

【分析】

根據(jù)二倍角的余弦公式及輔助角公式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

由題意，得/(x)=sin2x+2sin2x-1=sin2x-cos2x=V2sin^2x-?

由---F2far<2x—W—F2kn人keZ),解得---Fku?xWFkit人kGZ),

24288

當(dāng)％=0時(shí)，—<x<^,即函數(shù)f(x)在14,以上單調(diào)遞增.

OO|_OO_

37r

因?yàn)楹瘮?shù)/(*)在［0,向上單調(diào)遞增，所以

8

故選：AC.

12.AC

【解析】

【分析】

/(x)=x-gsin2x,判斷f(t)與/(%)的關(guān)系即可判斷A,判斷“0)工/5)即可判斷

B,利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷C,根據(jù)極值點(diǎn)的定義結(jié)合C即可判斷D.

【詳解】

解：/(x)=x-；sin2x,

f(-x)=—x+；sin2x=—〃x),所以/(x)為奇函數(shù)，故A正確，

因?yàn)椤ā?=。*/(")=子所以萬不是函數(shù)/(x)的周期，故B錯(cuò)誤：

由r(x)=l—cos2x20,所以在R上為增函數(shù)，故C正確；

由C知，故不存在極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

13.包

2

【解析】

【詳解】

分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出.

答案第7頁，共18頁

詳解：復(fù)數(shù)z滿足z(1)=|j[+i,則“叵匕(/+“("?=走zl+叵3

1-z(l-z)(l+z)22

故z的虛部為理土L

2

點(diǎn)睛：題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

14.2

【解析】

【詳解】

15-5r

由已知，2"=32,"=5,所以，展開式的通項(xiàng)為J=C：(五產(chǎn)%,

NX

令15—5r=0,得廠=3,由=80,得a=2.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

15.[0,6]##{x|0<%<6}

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】

由題意，因?yàn)楹瘮?shù)〃x)對(duì)任意的xeR均有〃x+2)=〃2-x),

所以可得函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，

又由f(x)在[2,y)上單調(diào)遞減，則“X)在(—,2)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(-l)=0,可得〃5)=/(-1)=0,

則不等式/(x-1)20,W-l<x-l<5,解得0Wx46,

所以不等式的解集為[0,6].

故答案為：[0,6].

16.(8,10)

【解析】

【分析】

答案第8頁，共18頁

根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)5坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線的定義，即可求解.

【詳解】

如圖，可得圓心”（0,1）也是拋物線的焦點(diǎn)，PN交拋物線的準(zhǔn)線于，，

根據(jù)拋物線的定義，可得MN=NH,故APMN的周長=MN+NP+MP=P〃+4,

%2-4V

由「/、2，解得網(wǎng)2收3）,

爐+（》_1）~=161'

VPH=yp+\,且3＜為＜5的取值范圍為（4,6）,P”+4e（8/0）,

.??△尸的的周長的取值范圍為（8,10）.

故答案為：（8,10）.

17.條件性選擇見解析，（1）%=（；），4=4〃-1;（2）7；=10+2""（4〃—5）

【解析】

（1）選擇①②，可以判斷｛《』為q=g,公比為;的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；選擇

②③，由5“=1-24,川可判斷｛4｝為4=3,公比為;的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；選

擇①③根據(jù)條件可得根據(jù)條件不能求出外的值，故不能選①③；根據(jù)

｛"｝的條件建立關(guān)系即可求出公差，得出通項(xiàng)公式：

（2）利用錯(cuò)位相減法可求解.

【詳解】

（1）選擇①②：

由2S.”=S“+1n當(dāng)”22時(shí)，有2S?=S?_,+1,

“"I1

兩式相減得：2%”=勺，即3=不，n＞2.

a?2

答案第9頁，共18頁

又當(dāng)〃=1時(shí)，有2s2=S|+l=2（q+%）,又,.,/=；，寧'='也適合，

所以數(shù)列｛《,｝是首項(xiàng)、公比均為;的等比數(shù)列，所以q,=（gj；

選擇：②③：

由s“=1-2%=>當(dāng)〃22時(shí)，S,I=1-2a?,

兩式相減得：a,=-2a^+2an,即巴色=；,n>2.

Cln乙

又當(dāng)〃=1時(shí)，有SI=l-2〃2=q,又〈外=，，也■=；也適合，

42qz

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)、公比均為;的等比數(shù)列，所以%=（;）;

選擇①③：

由2S,M=S,,+1,S?=\-2an+i,則2s“.產(chǎn)S,,+l=2-2。，向

即S向=1-〃向，所以S,,=l—

兩式相減可得：〃田=1%(〃>1),

當(dāng)〃=1時(shí)，由2S,,M=S“+1,得2s2=d+l,即2(4+g)S2=q+l,即q+2/=l

由S“=l-2%,得，=1-2,，即4=1-24，與上式相同，不能求出4的值.

故不能選擇①③

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)、公比均為;的等比數(shù)列，所以q=（gj；

設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,???々=3,月也,4-2,打成等比數(shù)列，

：.弧-臂=岫,即（3+24-2）2=3（3+64）,解得：d=4或d=-g（舍），

2=3+4（〃-1）=4"一1,故〃“=（；）,bn=4n-l.

,

（2）cn=（4n-l）x2,

所以Z,=3x2i+7x22+11x23+…+（4"-1）x2",

貝IJ27；,=3X22+7X23+…+（4”-5）x2"+（4”-1）X2"T,

答案第10頁，共18頁

兩式相減得-z,=6+4（2?+2?+…+2"）-（4〃-1）X2"M

42n+l,,+l

=6+4X^->-（4/J-1）x2=-10+2（5-4/?）.

,,+,

.\7；1=10+2（4n-5）

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用｛4｝與S“的關(guān)系證明等比數(shù)列，等差數(shù)列基本量的計(jì)算，等比數(shù)

列前〃項(xiàng)和問題，解答本題的關(guān)鍵是錯(cuò)位相減法求和中的計(jì)算，即由

7；,=3x2'+7x22+llx23+---+（4A7-l）x2n,和

2北=3*22+7*23+...+（4〃一5卜2"+（4〃-1）'2"+|相減得至1」

-7；,=6+4（22+22+-+2n）-（4n-l）x2,1+1,屬于中檔題.

18.d）fi=f

⑵（T，l）

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和余弦定理求解即可；

（2）由正弦定理得c=2sinC,a=2sinA,進(jìn)而i=2sin（cf,再結(jié)合?！段荩┣?/p>

解即可得答案.

（1）

解：由已知得sin?A+sin?C—sin2B=sinAsinC,

故由正弦定理得/+M=如

由余弦定理得cosB=

2ac2

因?yàn)?e（0㈤，所以8g

（2）

解:由（1）知sin8=^^,

2

——=—^―=2,.\c=2sin=2sinA

sinAsinCsinB

答案第11頁，共18頁

c-a=2(sinC-sinA)=2(sinC-sin(B+C))=sinC-A/3cosC=2sin(C一1).

在銳角三角形△ABC中，B=p

??Q信丁??。梟卜猊｝

2sin(C—e(—1,1),

的取值范圍為(T，l).

19.(1)證明見解析

⑵姮

5

*

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件可得MN〃CE＞、AB//CD,進(jìn)而可得再由線面平行的判定定

理即可求證；

(2)取AC的中點(diǎn)。，連接EQB。，證明。5,OCOE兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)

系，求出平面E4。的一個(gè)法向量3以及反的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解;

(3)由⑵知平面E4O的法向量百，根據(jù)褊=荏+21，麗=荏+2麗求出兩

和福的坐標(biāo)，再求出平面的一個(gè)法向量而，根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算

cos0=|cos(m,,解方程即可得幾的值.

⑴

因?yàn)榭?把

所以MN//CD,

ECED

因?yàn)樗倪呅蜛8CO是一個(gè)邊長為2的菱形，所以A5〃C。,

所以仞N//43,

因?yàn)槠矫鍱AB,ABl平面￡46,所以MN〃平面E4B.

(2)

因?yàn)镋4=EC=2,取AC的中點(diǎn)0,連接EQ,8O,則EOJ.AC,BO1AC,

因?yàn)槠矫鍱4CJ?平面AC。，平面E4CCI平面ACD=AC,0￡u面E4C,

所以EOJ_面ABC。，可得O3,OC,OE兩兩垂直，

答案第12頁，共18頁

如圖：以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)8,OC,OE所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0,⑹,C(O,1,O),4(0,-1,0),。(-白,0,0),

所以反=(0,1,-?荏=(0,1,6),AD=(-^,l,0),

設(shè)平面E4O的一個(gè)法向量〃=（x,y,z）,

,AE-n=y+4?>z=0,,__r-r-

則{__/-,令x=l,可得丫=石，z=—l>所以〃=（1,6,-1）,

ADn=-s/3x+y=0、'

設(shè)直線EC與平面E43所成的角為a,

則sina=|cos（EC,n}\=第=

所以直線EC與平面區(qū)。所成的角的正弦值為巫.

5

（3）

由（2）知：平面E4。的法向量為石=（1,石,T）,

因?yàn)槔?詈=幾，所以兩=4配或=2歷=卜640,-向）,

磁=通+麗=（0』+46_&）,麗=醺+成=［同1,6-加），

設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量機(jī)=(%,%,z°),

AM.玩=(1+/)為+(g-"i)zo=01+2

?令y。=6，可得Zo=~5一■7?尤0=-1，

ANffi——5/3Q+y()+(Ay/3A)

?AX/3-zo=O4T

答案第13頁，共18頁

20.⑴容量為100,中位數(shù)為76.875

(2)列聯(lián)表答案見解析，有95%的把握認(rèn)為是否為“冰雪達(dá)人”與性別有關(guān)

4

(3)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：y

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，求出樣本容量；根據(jù)中位數(shù)的定義求出中位數(shù)；

(2)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，完成列聯(lián)表，套公式計(jì)算K?，對(duì)著參數(shù)下結(jié)論；

(3)判斷出X~8(2,|J,直接求出對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列和數(shù)學(xué)期望.

(1)

設(shè)樣本容量為〃，則竺=(0.032+0.028)x10,解得〃=100,所以樣本容量為100.

n

由頻率分布直方圖可知[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]對(duì)應(yīng)的頻率分別為

0.08,0.20,0.32,0.28,0.12,

所以前三組的頻率之和為0.6,所以中位數(shù)在[70,80)中.設(shè)中位數(shù)為x,則

0.08+0.2+(x-70)x0.032=0.5,解得x=76.875,

所以估計(jì)該校本次競賽成績的中位數(shù)為76.875.

(2)

完成列聯(lián)表如下:

答案第14頁，共18頁

力生女生合計(jì)

冰雪達(dá)人301040

非冰雪達(dá)人303060

合計(jì)6040100

^2=100x(30x30-10x30)-=625Q>3_841

60x40x40x60

故有95%的把握認(rèn)為是否為“冰雪達(dá)人”與性別有關(guān).

(3)

根據(jù)⑵可得隨機(jī)抽取一人為“冰雪達(dá)人”的概率尸=黑=5，

根據(jù)題意得，X~2(2,|),X的所有可能取值為0,1,2,

則P(X=O)Y?(|J吟9=41)即*

p(x=2)=qij(|)y,

所以X的分布列為

24

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)="=2xg=w.

22

21.(1)?+21=1("0)；(2)6

【解析】

【分析】

(1)利用橢圓的定義可求曲線E的方程.

(2)設(shè)M(x/,yi),Ng,”)，直線/的方程為＞=丘+加。"*。)，聯(lián)立直線方程和橢圓的

答案第15頁，共18頁

方程，求出T的坐標(biāo)后利用它在直線)'=-；*上可求斜率左的值，從而可用，*表示AOMN

的面積，根據(jù)基本不等式可求其最大值.

【詳解】

(1)依題意可知,

\CA\+\CB\^CP\+\CQ\+\AP\+\BQ\=2\CP\+\AB\=4>\AB\,

所以曲線E是以A,B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓(除去與x軸的交點(diǎn)),

22

因此曲線E的方程為：+5=1()心0)?

(2)設(shè)M(x/,yi),Ng,”)，直線/的方程為、=丘+"?(機(jī)xO),

22

代入工+二=1整理得，(4左2+3)元2+詼3+4加之―12=0,(*)

43

2

nlll8km4m-12匚亡”，/、。6m

則玉+工2=一: