控制工程基礎

7.離散控制系統(tǒng)7.離散控制系統(tǒng)7.1根本概念離散控制系統(tǒng)：具有離散信號的控制系統(tǒng)延續(xù)信號離散信號采樣離散化數(shù)字編碼脈沖信號數(shù)字信號ty(t)延續(xù)信號采樣器y*(t)脈沖信號tT3TTy(kT)數(shù)字信號t3TT0q3q7.離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)計算機控制系統(tǒng)計算機采樣開關和A/DD/A和堅持器被控對象反響器件-r(t)e(t)e(kT)f(kT)y(t)b(t)計算機堅持器被控對象反響器件-r(t)e(t)e(kT)f(kT)y(t)b(t)ST控制器控制器7.離散控制系統(tǒng)把延續(xù)信號轉變?yōu)殡x散信號的操作或過程，稱為采樣。采樣過程：Tτ0ty(t)y*(t)y(t)y*(t)TT：采樣周期τ：采樣繼續(xù)時間0tτ<<Ty*(t)0tT2T0y(t)tt0T-T-2T2T1δ(t-kT)y*(t)0tT2T+y*(t)：離散信號7.離散控制系統(tǒng)采樣的物理過程就是對延續(xù)信號每隔一定時間(采樣周期T)取其信號值的過程。顯然，采樣周期T越小，離散信號y*(t)越接近于延續(xù)信號y(t)，即越能反映延續(xù)信號的變化；假設采樣周期T過大，離散信號y*(t)就不能準確反映延續(xù)信號y(t)的變化，即由y*(t)不能復現(xiàn)延續(xù)信號y(t)。如今的問題：采樣周期T終究應該在什么范圍內為好。采樣定理〔香農定理〕：采樣頻率fs至少應是被采樣信號最高頻率fmax的2倍，即7.離散控制系統(tǒng)堅持器：將離散信號〔數(shù)字信號〕轉換為延續(xù)信號的安裝0ty*(t)0ty(t)堅持器y*(t)y(t)數(shù)值堅持顯然，堅持器是一種在時域內的數(shù)值外推安裝。按常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線函數(shù)關系外推的堅持器，分別稱為零階、一階、二階堅持器。零階堅持器〔ZOH〕：把kT時辰的數(shù)值不增不減地堅持到下一個采樣時辰(k+1)T。其數(shù)學表達式為7.離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)的性能主要有：(1)穩(wěn)定性；(2)呼應特性(含控制精度)但是由于系統(tǒng)的信號類型不僅有延續(xù)信號，還有離散信號〔數(shù)字信號〕，使得離散控制系統(tǒng)的分析與設計的方法或采用的數(shù)學工具與延續(xù)控制系統(tǒng)的不一樣。主要的數(shù)學工具是“z變換〞。離散控制系統(tǒng)的分析思緒依然是：首先，建立數(shù)學模型(脈沖傳送函數(shù))；其次，基于脈沖傳送函數(shù)進展性能分析；再次，基于性能分析給出改善性能的控制器設計；最后，進展控制器的工程實現(xiàn)7.離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)的性能主要有：(1)穩(wěn)定性；(2)呼應特性(含控制精度)但是由于系統(tǒng)的信號類型不僅有延續(xù)信號，還有離散信號〔數(shù)字信號〕，使得離散控制系統(tǒng)的分析與設計的方法或采用的數(shù)學工具與延續(xù)控制系統(tǒng)的不一樣。主要的數(shù)學工具是“z變換〞。離散控制系統(tǒng)的分析思緒依然是：首先，建立數(shù)學模型(脈沖傳送函數(shù))；其次，基于脈沖傳送函數(shù)進展性能分析；再次，基于性能分析給出改善性能的控制器設計；最后，進展控制器的工程實現(xiàn)7.離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)〔計算機控制系統(tǒng)〕的主要特點：〔1〕計算機擔任控制器的作用——數(shù)字控制器〔2〕系統(tǒng)中延續(xù)信號和離散信號〔數(shù)字信號〕并存由此引申出不少的控制優(yōu)勢：(1)控制的順應性強。經過編程可以完成復雜的控制義務(2)數(shù)據(jù)存儲、計算、分析處置的才干強(3)易于實現(xiàn)集散控制和網絡控制離散控制系統(tǒng)的知識是計算機控制技術的根底7.2z變換7.離散控制系統(tǒng)z變換是拉普拉氏變換的一種變形，它是分析離散系統(tǒng)的一種常用數(shù)學方法?！?〕z變換對于離散信號：拉普拉氏變換為：令〔z變量是一個復變量〕離散信號y*(t)的z變換定義為：7.離散控制系統(tǒng)留意：習慣上也稱Y(z)是延續(xù)信號y(t)或Y(s)的z變換，其含義是指對其采樣后的離散信號的z變換〔2〕z變換的計算①按定義式計算這實踐上是級數(shù)計算方法。普通地，在一定條件下(即|z|>R)這個級數(shù)是收斂的，可以寫成級數(shù)和的方式〔收斂半徑R取決于y(kT)〕。例7.1：計算延續(xù)函數(shù)e-at的z變換〔a>0〕。解：延續(xù)函數(shù)e-at的采樣值其z變換為假設|e-aTz-1|<1，那么7.離散控制系統(tǒng)②按部分分式展開法計算這是針對延續(xù)函數(shù)y(t)的拉氏變換式Y(s)的z變換計算方法，其本質是對延續(xù)函數(shù)Y(t)在各采樣時辰的離散序列y*(t)的z變換。假設其中：Ci是部分分式展開的系數(shù)，pi是Y(s)的極點。于是有：按7.離散控制系統(tǒng)例7.2：計算以下函數(shù)的z變換。解：部分分式展開有查z變換表，可得7.離散控制系統(tǒng)〔3〕z變換的性質Y(z)=z(y(t)),Y1(z)=z(y1(t)),Y2(z)=z(y2(t))，a、b為常數(shù)線性性質z[ay1(t)±by2(t)]=aY1(z)±bY2(z)滯后性質z[y(t-kT)]=z-kY(z)超前性質z[y(t+kT)]=zk(Y(z)-(y(0)+y(T)z-1+y(2T)z-2+…+y((k-1)T)z-(k-1)))終值性質y(nT)|n=∞=(z-1)Y(z)|z=1移位性質卷積性質7.離散控制系統(tǒng)〔4〕z反變換將Y(z)轉換為離散信號y*(t)的操作或過程，稱為z反變換，即例7.3：計算以下函數(shù)的z反變換〔習題7-3(5)〕。解：多項式長除法對照z變換表，z反變換為7.離散控制系統(tǒng)例7.4：計算以下函數(shù)的z反變換〔習題7-3(2)〕。解：部分分式展開對照z變換表，z反變換為7.離散控制系統(tǒng)7.3離散系統(tǒng)的數(shù)學模型7.3.1差分方程〔1〕差分的定義微分方程是延續(xù)系統(tǒng)的典型表示方式，對離散系統(tǒng)就是差分方程對于離散序列信號y(kT)，普通記作：y(k)。定義：一階向前差分——⊿y(k)=y(k+1)-y(k)二階向前差分——⊿2y(k)=⊿y(k+1)-⊿y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k)一階向后差分——⊿y(k)=y(k)-y(k-1)二階向后差分——⊿2y(k)=⊿y(k)-⊿y(k-1)-)=y(k)-2y(k-1)+y(k-2)高階差分可依此類推。差分的本質是表示離散序列信號前后序列之差7.離散控制系統(tǒng)差分方程的普通方式是〔y(·)、u(·)分別是離散系統(tǒng)的輸出、輸入〕：〔2〕差分方程例7.5：以下圖為一離散控制系統(tǒng)，計算其差分方程u(t)e(t)e*(t)eh(t)y(t)T零階堅持器按零階堅持器的作用，其輸出應為積分器按積分器的作用，在一個采樣周期內的輸出應為又有所以一階非奇次差分方程7.離散控制系統(tǒng)①迭代法：知k=0下的y(-j)〔j=0,1,…,n〕和知輸入u(k)，以及采樣周期T時。用迭代方法計算差分方程，有〔3〕差分方程的計算(1)初始條件：知k=0下的y(-j)和知u(k)。(2)令k=0和計算長度nk=k+1計算y(k)k>n?終了NoY留意：采樣周期T獲得不適當時，計算能夠會出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的景象。7.離散控制系統(tǒng)例7.6：計算其差分方程，知y(0)和輸入u(k)。解：零輸入呼應輸入呼應系統(tǒng)的穩(wěn)定性由零輸入呼應決議可見：當|1-aT|<1，那么(1-aT)ny(0)項隨n的添加而衰減，即0<a<2/T時離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否那么，不穩(wěn)定。而對于相近的延續(xù)系統(tǒng)，即只需a>0，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。7.離散控制系統(tǒng)②z變化計算法：例7.7：計算差分方程的解，知y(0)=y(1)=0和輸入u(0)=0。解:對差分方程的兩邊同時進展z變換由卷積公式7.離散控制系統(tǒng)7.3.2離散傳送函數(shù)〔脈沖傳送函數(shù)〕〔1〕離散系統(tǒng)的傳送函數(shù)定義：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的z變換y(z)與輸入信號的z變換u(z)之比，即留意：這里對輸出信號/輸入信號的z變換本質是對其采樣信號的z變換，采樣開關存在與否并不影響這一含義。對于，假設輸入信號是單位脈沖信號，即u(z)=1。有yg(z)是系統(tǒng)單位脈沖呼應信號采樣值的z變換7.離散控制系統(tǒng)〔2〕脈沖傳送函數(shù)的計算①假設知系統(tǒng)的傳送函數(shù)G(s)或單位脈沖呼應函數(shù)g(t)，那么對G(s)進展z變換，或按下式計算G(z)②假設知系統(tǒng)的差分方程，且初始條件為零，那么可以對差分方程進展z變換計算獲得G(s)該當指出：離散系統(tǒng)的脈沖傳送函數(shù)表征系統(tǒng)的固有特性。它是關于z變量的有理函數(shù)，除了與系統(tǒng)構造及參數(shù)〔含采樣周期〕有關外，還與采樣開關在系統(tǒng)中的位置有關。7.離散控制系統(tǒng)對于各環(huán)節(jié)相串聯(lián)的離散系統(tǒng)：①假設各關節(jié)之間都有采樣開關，那么系統(tǒng)總的脈沖傳送函數(shù)為各環(huán)節(jié)脈沖傳送函數(shù)的乘積，即G(z)=G1(z)···Gn(z)。②假設各環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關，就需先計算串聯(lián)各環(huán)節(jié)的總傳送函數(shù)G(s)=G1(s)···Gn(s)，然后再對G(s)進展z變換，即G(z)=z(G(s))=G1···Gn(z)G(s)H(s)-u(t)y(t)閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)開環(huán)脈沖傳送函數(shù)e(t)b(t)7.離散控制系統(tǒng)對于閉環(huán)的離散系統(tǒng)：其脈沖傳送函數(shù)的方式因采樣開關所在位置的不同而異。G(s)H(s)-u(t)y(t)G(s)H(s)-u(t)y*(t)G1(s)H(s)-u(t)y*(t)G2(s)G(s)H(s)-u(t)y(t)7.離散控制系統(tǒng)例7.8：計算控制系統(tǒng)的單位階躍呼應，知T=0.25。-u(t)y(t)解：系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為取z變換，得開環(huán)脈沖傳送函數(shù)由系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)，有7.離散控制系統(tǒng)知有即z反變換就為7.4離散系統(tǒng)的時域分析7.離散控制系統(tǒng)這里主要引見離散控制系統(tǒng)的時域性能是：呼應特性〔動態(tài)呼應特性和穩(wěn)態(tài)呼應特性〕、穩(wěn)定性7.4.1動態(tài)呼應特性離散控制系統(tǒng)在典型信號輸入作用下的動態(tài)呼應，可以采用z變換方法求得，從而可以分析或知道系統(tǒng)的動態(tài)呼應特性。設離散控制系統(tǒng)的極點為pi〔i≠j時，pi≠pj〕，輸入信號為單位階躍信號。那么離散控制系統(tǒng)的輸出為〔G(z)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)，ci為常數(shù)〕Z反變換為動態(tài)呼應穩(wěn)態(tài)呼應7.離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)的動態(tài)呼應特性取決于系統(tǒng)在z平面上的極點分布令s=σ+jω，z=Re+jIm。由于z=eTs，那么有因此〔ωs=2π/T〕：可見：(1)極點在z平面單位圓內，離單位圓周越近，動態(tài)呼應的衰減越慢；反之，越快。(2)極點位于z平面單位圓周上時，動態(tài)呼應是等幅變化的。(3)極點在z平面單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定，其動態(tài)呼應是發(fā)散的。7.離散控制系統(tǒng)7.4.2穩(wěn)態(tài)呼應特性——穩(wěn)態(tài)誤差G(s)H(s)y(s)u(s)e(s)-離散控制系統(tǒng)的誤差定義為其中：GH(z)是系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳送函數(shù)，u(z)是系統(tǒng)的輸入b(s)按照z變換的終值定理，離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就為根據(jù)離散控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳送函數(shù)GH(z)所含z=1的極點數(shù)，稱為0型、I型、II型系統(tǒng)7.離散控制系統(tǒng)對于不同的輸入信號，離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：Kp、Kv、Ka分別是位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)、加速度誤差系數(shù)。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于輸入信號u(t)和系統(tǒng)構造GH(z)以及采樣周期T7.4.3穩(wěn)定性穩(wěn)定性與系統(tǒng)動態(tài)呼應特性親密相關，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定程度〔取決于系統(tǒng)極點在單位圓內的位置〕決議了系統(tǒng)動態(tài)呼應特性。與線性延續(xù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)極點〔即系統(tǒng)特征根〕在s平面上的分布一樣。對于線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)極點〔即系統(tǒng)特征根〕在z平面上的分布。當離散控制系統(tǒng)的輸入為單位脈沖信號時，其輸出可以表示為〔ci為常數(shù)，zi是系統(tǒng)的特征根〕顯然7.離散控制系統(tǒng)7.離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：離散控制系統(tǒng)的一切特征根〔即z特征方程的一切根，或系統(tǒng)脈沖傳送函數(shù)的一切極點〕均位于z平面上以原點為中心的單位圓內。普通地，線性離散控制系統(tǒng)的特征方程為：1+GH(z)=0，那么可根據(jù)其根zi的模能否均小于1來判別能否穩(wěn)定。留意：對于線性延續(xù)控制系統(tǒng)的特征方程：1+G(s)H(s)=0，是根據(jù)其根si的實部小于零來判別能否穩(wěn)定的。因此，勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)不能直接用于判分別散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，當取雙線性變換〔w變換〕：時，就可用延續(xù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別方法來判分別散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。7.離散控制系統(tǒng)例7.9：試分析判別如下離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性-u(s)y(s)解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳送函數(shù)為離散控制系統(tǒng)的特征方程為7.離散控制系統(tǒng)運用w變換，即令有按延續(xù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別方法，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：可見：離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性不但與系統(tǒng)的構造參數(shù)〔K、a〕有關，還與采樣周期T有關。當K=4、a=0.005時，假設T=0.01，就有條件不滿足7.離散控制系統(tǒng)7.5離散系統(tǒng)的根軌跡與頻域分析7.5.1離散系統(tǒng)的根軌跡離散系統(tǒng)的脈沖傳送函數(shù)是z變量的有理函數(shù)，其特征方程是關于z變量的代數(shù)方程。離散系統(tǒng)的根軌跡就是其特征方程的根隨系統(tǒng)某參數(shù)變化在z平面上所描畫的曲線。離散系統(tǒng)的特征方程普通表示為由于那么z平面上根軌跡的幅值條件和相角條件為〔與延續(xù)系統(tǒng)的一樣〕幅值條件相角條件7.離散控制系統(tǒng)假設離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳送函數(shù)為zi是系統(tǒng)的零點，pj是系統(tǒng)的極點，K是系統(tǒng)的開環(huán)增益。那么離散系統(tǒng)根軌跡繪制的幅值條件和相角條件可以表示為可見，離散系統(tǒng)的根軌跡繪制可采用延續(xù)系統(tǒng)根軌跡繪制的方法。那么，按根軌跡確定系統(tǒng)極點后，就可根據(jù)零極點分布與系統(tǒng)參數(shù)及輸出呼應的關系，分析獲得系統(tǒng)的性能，或者根據(jù)系統(tǒng)零極點分布要求，可確定系統(tǒng)的參數(shù)。例7.10：試繪制如下系統(tǒng)的根軌跡，并確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的K值7.離散控制系統(tǒng)u(t)e(t)e*(t)eh(t)y(t)T=1s解：系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)及開環(huán)脈沖傳送函數(shù)為10.368-0.72ReImK=15-2.1K=2.43按幅值條件，根軌跡分別點和集合點計算可計算，z平面上復共軛段根軌跡為圓與單位圓方程聯(lián)立解得：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的K=2.437.離散控制系統(tǒng)7.5.2離散控制系統(tǒng)的頻域分析離散系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)為——幅頻特性：指系統(tǒng)輸出序列的包絡線幅值與輸入序列包絡線幅值之比——相頻特性：指系統(tǒng)輸出序列的包絡線的初相位與輸入序列包絡線的初相位之差離散系統(tǒng)的頻率呼應是指系統(tǒng)在三角函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出序列。這個穩(wěn)態(tài)輸出序列的包絡線仍為三角函數(shù)，其頻率與輸入函數(shù)頻率一致。7.離散控制系統(tǒng)繪制離散系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖，需先對系統(tǒng)脈沖傳送函數(shù)G(z)進展w變換，即將G(z)變換為G(w)，并令w=jωa〔ωa稱為偽頻率〕，把G*(w)變換成G*(jωa)，然后再繪制以lgωa為橫坐標的Bode圖?！灿嘘P系〕例7.11：試繪制如下系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖〔T=0.1s〕解：對系統(tǒng)脈沖傳送函數(shù)做w變換，有令w=jωa后，就可按延續(xù)系統(tǒng)Bode圖繪制方法繪制。這是一個非最小相位系統(tǒng)。1.00.4620.60720lg1.5ωaωaL(ωa)Φ(ωa)-900-18007.離散控制系統(tǒng)7.6離散控制系統(tǒng)的校正當系統(tǒng)性能不滿足控制要求時，需對系統(tǒng)性能進展校正，即用串聯(lián)、并聯(lián)、反響等方式引入控制器，使引入控制器后的整個系統(tǒng)性能滿足控制要求。但是，由于延續(xù)信號和離散信號在離散系統(tǒng)中普通是共存的。因此，校正可分為：〔1〕模擬化校正——先按延續(xù)系統(tǒng)校正方法獲取控制器D(s)，然后將D(s)變換為D(z)〔2〕數(shù)字化校正——對離散系統(tǒng)G(z)，直接在z域內設計控制器D(z)7.離散控制系統(tǒng)7.6.1數(shù)字控制器設計對被控對象G0(s)和零階堅持器構成的傳送函數(shù)G(s)，變換為脈沖傳送函數(shù)G(z)，并計算系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)閉環(huán)誤差脈沖傳送函數(shù)(2)根據(jù)控制性能要求，確定應具有的Φ(z)和Φe(z)(3)由要求的脈沖傳送函數(shù)Φ(z)和Φe(z)，計算數(shù)字控制器D(z)7.離散控制系統(tǒng)顯然，在知G(s)的情況下，如何根據(jù)控制性能要求確定閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)Φ(z)和Φe(z)是設計D(z)的關鍵。普通可采用如下方法設計D(z)：(1)模擬化設計——先繪制G(s)的Bode圖，同時根據(jù)控制性能要求繪出希望的Bode圖，將希望的Bode圖減去G(s)的Bode圖所獲取的就是D(s)的Bode圖；然后將D(s)變換為D(z)即成。(2)數(shù)字化設計——先將G(s)轉換為G(z)，并變換為G(w)，繪制G(w)的Bode圖，同時根據(jù)控制性能要求繪出希望的Bode圖，將希望的Bode圖減去G(w)的Bode圖所獲取的Bode圖就是D(w)；然后將D(w)變換為D(z)即成。7.離散控制系統(tǒng)7.6.2離散系統(tǒng)的最少拍控制在信號的采樣過程中，普通將一個采樣周期稱為一拍。最少拍控制系統(tǒng)就是指在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)的動態(tài)呼應輸出能在有限拍〔最少拍〕的時間內完成。對于閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)當n個極點均位于z平面坐標原點時，