貴州安順市平壩區(qū)集圣中學2024屆高三下學期畢業(yè)班聯(lián)考（二）數(shù)學試題

貴州安順市平壩區(qū)集圣中學2024屆高三下學期畢業(yè)班聯(lián)考（二）數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則（）A． B．C． D．2．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點到達點的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．4．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）．若從含有兩個及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．5．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④6．關于函數(shù)，有下述三個結論：①函數(shù)的一個周期為；②函數(shù)在上單調遞增；③函數(shù)的值域為.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．② C．②③ D．③7．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．8．設曲線在點處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．49．的展開式中，項的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．6310．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.14．雙曲線的離心率為_________．15．某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應從高三年級學生中抽取_____人．16．在中，角，，的對邊長分別為，，，滿足，，則的面積為__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學開展了一系列的讀書教育活動．學校為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組（每名學生只能參加一個讀書小組）學生抽取12名學生參加問卷調查．各組人數(shù)統(tǒng)計如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，用表示抽得甲組學生的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．18．（12分）某單位準備購買三臺設備，型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規(guī)定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數(shù).該單位調查了這三種型號的設備各60臺，調査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？19．（12分）已知函數(shù)（為實常數(shù)）.（1）討論函數(shù)在上的單調性；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件，質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學期望；（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則．21．（12分）在中，設、、分別為角、、的對邊，記的面積為，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．22．（10分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系式,化簡可得,即可求得結果.【題目詳解】，所以，即.故選:C.【題目點撥】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.2、C【解題分析】

過作于，連接，易知，，從而可證平面，進而可知，當最大時，取得最大值，取的中點，可得，再由，求出的最大值即可.【題目詳解】在和中，，所以，則，過作于，連接，顯然，則，且，又因為，所以平面，所以，當最大時，取得最大值，取的中點，則，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上（不在左右頂點），其中長軸長為10，焦距長為8，所以的最大值為橢圓的短軸長的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【題目點撥】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【題目詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.4、B【解題分析】

基本事件總數(shù)為個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為個，由此求出概率.【題目詳解】解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個，所以，所求的概率.故選：B.【題目點撥】本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應用意識，屬于基礎題．5、D【解題分析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【題目詳解】對于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，，則，故②正確；對于③，若，，，當，則與不平行，故③錯誤；對于④，若，，，則，故④正確；故選：D【題目點撥】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.6、C【解題分析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當時，，，再利用單調性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，而，當時，再求值域.【題目詳解】因為，故①錯誤；當時，，所以，所以在上單調遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，易知，故當時，，故③正確.故選：C.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.7、B【解題分析】

先根據(jù)平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【題目詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【題目點撥】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解題分析】

利用導數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【題目詳解】因為，且在點處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎題9、B【解題分析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式，結合乘法分配律，求得的系數(shù).【題目詳解】的展開式的通項公式為.則①出，則出，該項為：；②出，則出，該項為：；③出，則出，該項為：；綜上所述：合并后的項的系數(shù)為17.故選：B【題目點撥】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎知識，考查理解能力，計算能力，分類討論和應用意識.10、C【解題分析】

設，則的幾何意義為點到點的斜率，利用數(shù)形結合即可得到結論.【題目詳解】解：設，則的幾何意義為點到點的斜率，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由圖可知當過點的直線平行于軸時，此時成立；取所有負值都成立；當過點時，取正值中的最小值，，此時；故的取值范圍為；故選：C.【題目點撥】本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標函數(shù)函數(shù)問題，解題時作出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解是解題關鍵．對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．11、A【解題分析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【題目詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵．12、A【解題分析】

分別代值計算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問題得以解決.【題目詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【題目點撥】本題考查數(shù)列的周期性和運用：求數(shù)列中的項，考查運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

不妨設雙曲線，焦點，令，由的長為實軸的二倍能夠推導出的離心率.【題目詳解】不妨設雙曲線，焦點，對稱軸，由題設知，因為的長為實軸的二倍，，，，故答案為.【題目點撥】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的等式，從而求出的值.14、2【解題分析】15、1．【解題分析】

先求得高三學生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【題目詳解】由題意，高三學生占的比例為，所以應從高三年級學生中抽取的人數(shù)為.【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.16、．【解題分析】

由二次方程有解的條件，結合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求，進而可求，然后結合余弦定理可求，代入，計算可得所求．【題目詳解】解：把看成關于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負的舍去），．故答案為．【題目點撥】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析，【解題分析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，而甲、丙兩個小組學生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【題目詳解】（1）由題設易得，問卷調查從四個小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學生來自同一個小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調查的12名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數(shù)分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學生的人數(shù)的可能取值為0，1，2,因為所以隨機變量的分布列為：012所求的期望為【題目點撥】此題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識，考查運算能力，屬于中檔題.18、（1）（2）應該購買21件易耗品【解題分析】

（1）由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【題目詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設該單位一個月中三臺設備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；；；由（1）知,,若該單位在購買設備的同時購買了20件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；；若該單位在肋買設備的同時購買了21件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,；；；；,所以該單位在購買設備時應該購買21件易耗品【題目點撥】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）分類討論的值，利用導數(shù)證明單調性即可；（2）利用導數(shù)分別得出，，時，的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1），.當即時，，，此時，在上單調遞增；當即時，時，，在上單調遞減；時，，在上單調遞增；當即時，，，此時，在上單調遞減；（2）當時，因為在上單調遞增，所以的最小值為，所以當時，在上單調遞減，在上單調遞增所以的最小值為.因為，所以，.所以，所以.當時，在上單調遞減所以的最小值為因為，所以，所以，綜上，.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)的單調性以及利用導數(shù)研究函數(shù)的存在性問題，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）需要，見解析【解題分析】

（1）由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【題目詳解】（1）,由于滿足二項分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布的應用,考查二項分布