黑龍江省雞西市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三三模(最后一卷)數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁(yè)
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黑龍江省雞西市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三三模(最后一卷)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.2.如圖,棱長(zhǎng)為的正方體中,為線段的中點(diǎn),分別為線段和棱上任意一點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.5.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題:①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)僅有一個(gè);②若是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為;③無(wú)論過(guò)點(diǎn)的直線在什么位置,總有;④若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點(diǎn)在同一條直線上.其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.46.已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,則球O的表面積為()A. B. C. D.7.若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),且的最小值為,則()A. B. C. D.8.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?,若從圓:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.4010.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.11.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒(大小忽略不計(jì),?。瑒t落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.6412.設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓.直線與圓相切,且與圓相交于,兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)為_________14.下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的S的值是______.15.已知復(fù)數(shù),且滿足(其中為虛數(shù)單位),則____.16.如圖,在等腰三角形中,已知,,分別是邊上的點(diǎn),且,其中且,若線段的中點(diǎn)分別為,則的最小值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn),軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,是上一動(dòng)點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點(diǎn)為,當(dāng)取最小值時(shí),求直線的普通方程.18.(12分)已知數(shù)列滿足且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形,平面平面ABCD,M,N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).(1)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系,并給出證明.21.(12分)小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天,每名員工休假的概率都是,且是否休假互不影響,若一家店鋪的員工全部休假,而另一家無(wú)人休假,則調(diào)劑1人到該店維持營(yíng)業(yè),否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率;(2)設(shè)營(yíng)業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知橢圓E:()的離心率為,且短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)A,C組成的三角形面積為.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)若點(diǎn)P為橢圓E上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的切線交圓O:于不同的兩點(diǎn)M,N(其中M在N的右側(cè)),求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對(duì)稱軸,求得的值,進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.2、D【解題分析】

取中點(diǎn),過(guò)作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時(shí),最小,由,故,即可求解.【題目詳解】取中點(diǎn),過(guò)作面,如圖:則,故,而對(duì)固定的點(diǎn),當(dāng)時(shí),最小.此時(shí)由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.3、B【解題分析】

由函數(shù)的奇偶性可得,【題目詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【題目點(diǎn)撥】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)4、A【解題分析】

觀察可知,這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個(gè)半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個(gè)半球體,半徑為1,按公式計(jì)算可得體積?!绢}目詳解】設(shè)半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A。【題目點(diǎn)撥】本題通過(guò)三視圖考察空間識(shí)圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,通過(guò)分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值,由兩點(diǎn)間的距離公式,可求此時(shí)最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計(jì)算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線上.【題目詳解】解:對(duì)于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點(diǎn)有二個(gè),故①不正確;對(duì)于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,故②正確;對(duì)于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補(bǔ),所以,故③正確.對(duì)于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點(diǎn)在同一條直線上,故④正確.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題,結(jié)合初中的“飲馬問(wèn)題”分析出何時(shí)取最小值.6、D【解題分析】

由題意畫出圖形,找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O,通過(guò)求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑,則答案可求.【題目詳解】如圖;設(shè)AB的中點(diǎn)為D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB為直角三角形,且斜邊為AB,故其外接圓半徑為:rAB=AD=2;設(shè)外接球球心為O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2?R2=(R)2+r2?R;∴球O的表面積為:4πR2=4π.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,考查思維能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.7、C【解題分析】展開式的通項(xiàng)為,因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng),所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).8、B【解題分析】

畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【題目詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.10、A【解題分析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn),可求出解B.【題目詳解】由正弦定理可得,即,即有,因?yàn)椋瑒t,而,所以.故選:A【題目點(diǎn)撥】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解?!绢}目詳解】設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,則小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。12、A【解題分析】

準(zhǔn)確畫圖,由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo),代入圓的方程得到c與a關(guān)系,可求雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn),由對(duì)稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點(diǎn)在圓上,,即.,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時(shí)注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運(yùn)算繁瑣,準(zhǔn)確率大大降低,雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題,需強(qiáng)化練習(xí),才能在解決此類問(wèn)題時(shí)事半功倍,信手拈來(lái).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

利用直線與圓相切求出斜率,得到直線的方程,幾何法求出【題目詳解】解:直線與圓相切,圓心為由,得或,當(dāng)時(shí),到直線的距離,不成立,當(dāng)時(shí),與圓相交于,兩點(diǎn),到直線的距離,故答案為.【題目點(diǎn)撥】考查直線與圓的位置關(guān)系,相切和相交問(wèn)題,屬于中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)流程圖,運(yùn)行程序即得.【題目詳解】第一次運(yùn)行,;第二次運(yùn)行,;第三次運(yùn)行,;第四次運(yùn)行;所以輸出的S的值是.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查算法流程圖,是基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

計(jì)算出,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【題目詳解】,所以,所以.故答案為:-8【題目點(diǎn)撥】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析,需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.16、【解題分析】

根據(jù)條件及向量數(shù)量積運(yùn)算求得,連接,由三角形中線的性質(zhì)表示出.根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式表示出,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【題目詳解】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運(yùn)算可知線段的中點(diǎn)分別為則由向量減法的線性運(yùn)算可得所以因?yàn)?代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)樗援?dāng)時(shí),取得最小值因而故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,向量的線性運(yùn)算及模的求法,二次函數(shù)最值的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),;(2).【解題分析】

(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得,,則,求得取最小值時(shí)符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.【題目詳解】(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,因?yàn)?則,所以曲線的極坐標(biāo)方程為,兩邊同乘,得,所以的直角坐標(biāo)方程為,即.(2)設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程(參數(shù)),代入的直角坐標(biāo)方程中,整理得.由韋達(dá)定理得,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則,所以當(dāng)取得最小值時(shí),直線的普通方程為.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系.18、(1);(2)【解題分析】

(1)根據(jù)已知可得數(shù)列為等比數(shù)列,即可求解;(2)由(1)可得為等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,即可求解.【題目詳解】(1)因?yàn)椋?,又所以?shù)列為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為,公比為.故(2)由(1)知,所以所以【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見(jiàn)解析;(2).【解題分析】

(1)取的中點(diǎn),連接,通過(guò)證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【題目詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.是的中點(diǎn),,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.連接,設(shè),則,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為,則,則,?。本€與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】此題考查證明線面平行,求線面角的大小,關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法,法向量法求線面角的基本方法,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.20、(1)(2)(3)直線平面,證明見(jiàn)解析【解題分析】

取中點(diǎn),連接,則,再由已知證明平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量.(1)求出的坐標(biāo),由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值;(2)求出平面的一個(gè)法向量,再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)求出的坐標(biāo),由,結(jié)合平面,可得直線平面.【題目詳解】底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形.取中點(diǎn),連接,則,為等邊三角形,,又平面平面,且平面平面,平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,,,.,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由,取,得.(1)證明:設(shè)直線與平面所成角為,,則,即直線與平面所成角的正弦值為;(2)設(shè)平

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