青海省海東市2024屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題試卷

青海省海東市2024屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．2．歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法，而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn)，使得值的計算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．3．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點坐標(biāo)分別為：．假設(shè)螞蟻窩在點，一只螞蟻從點出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點留下信息，然后再返回點．那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．4．ΔABC中，如果lgcosA=lgsinA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5．若，，，則（）A． B．C． D．6．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.57．是平面上的一定點，是平面上不共線的三點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心8．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則等于（）A． B． C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．11．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．12．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖在三棱柱中，，，，點為線段上一動點，則的最小值為________.14．給出下列等式：，，，…請從中歸納出第個等式：______.15．某部門全部員工參加一項社會公益活動，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.16．已知中，點是邊的中點，的面積為，則線段的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時，.18．（12分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項.（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過點且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點，求.21．（12分）已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.22．（10分）在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結(jié)果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當(dāng)時，記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)，時，求且的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【題目詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【題目點撥】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．3、C【解題分析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【題目詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【題目點撥】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.4、B【解題分析】

化簡得lgcosA＝lgsinCsinB＝﹣lg2，即cosA=sinCsinB=12，結(jié)合0<A<π，可求A=π【題目詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosA＝∵0<A<π，∴A=π3，B+C=2π3，∴sinC＝12sinB＝12sin2π3-C＝34cosC+故選：B【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個數(shù)與和的大小關(guān)系，進而可得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系.【題目詳解】對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則.綜上所述，.故選：C.【題目點撥】本題考查指數(shù)冪與對數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【題目詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，．解得故選：D【題目點撥】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

解出，計算并化簡可得出結(jié)論．【題目詳解】λ（），∴，∴，即點P在BC邊的高上，即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．故選B．【題目點撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計算是關(guān)鍵．8、C【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．9、A【解題分析】

對復(fù)數(shù)進行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復(fù)數(shù)形式中，實部為0，得到的值，從而得到復(fù)數(shù).【題目詳解】因為為純虛數(shù)，所以，得所以.故選A項【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.10、C【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．11、A【解題分析】

由題意求得c與的值，結(jié)合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【題目詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

把繞著進行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)四點共面時，運用勾股定理即可求得的最小值.【題目詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個平面，展開圖如圖所示，若，，三點共線時最小為，為直角三角形，故答案為：【題目點撥】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內(nèi)兩點之間線段最短，解直角三角形進行求解，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

通過已知的三個等式，找出規(guī)律，歸納出第個等式即可．【題目詳解】解：因為：，，，等式的右邊系數(shù)是2，且角是等比數(shù)列，公比為，則角滿足：第個等式中的角，所以；故答案為：．【題目點撥】本題主要考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15、60【解題分析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【題目詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為：60.【題目點撥】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應(yīng)用，古典概型概率的簡單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【題目詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【題目點撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解題分析】

試題分析：（1）由題得，根據(jù)曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得根據(jù)由，整理得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，即可作出證明.試題解析：（1）由題得，函數(shù)的定義域為，，因為曲線在點處的切線方程為，所以解得.令，得，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）得，.由，得，即.要證，需證，即證，設(shè)，則要證，等價于證：.令，則，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，,即，故.18、（1）2；（2）.【解題分析】

（1）化簡得，所以，展開后利用基本不等式求最小值即可；（2）由（1），原不等式可轉(zhuǎn)化為，討論去絕對值即可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）∵，，∴，∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時，.（2）由（1）知，，對任意，都有，∴，即.①當(dāng)時，有，解得；②當(dāng)，時，有，解得；③當(dāng)時，有，解得；綜上，，∴實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查基本不等式的運用和求解含絕對值的不等式，考查學(xué)生的分類思想和計算能力，屬于中檔題.19、（1）見解析，（2）最小正整數(shù)的值為35.【解題分析】

（1）由等差中項可知，當(dāng)時，得，整理后可得，從而證明為等差數(shù)列，繼而可求.（2），則可求出，令，即可求出的取值范圍，進而求出最小值.【題目詳解】解析：（1）由題意可得，當(dāng)時，，∴，，當(dāng)時，，整理可得，∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整數(shù)的值為35.【題目點撥】本題考查了等差中項，考查了等差數(shù)列的定義，考查了與的關(guān)系，考查了裂項相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時，常代入進行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時，一般借助數(shù)列，即后一項與前一項的差為常數(shù).20、（1），；（2）.【解題分析】

（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得曲線的普通方程，由此可求曲線的極坐標(biāo)方程；直接利用直線的傾斜角以及經(jīng)過的點求出直線的參數(shù)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，整理得，利用韋達定理，根據(jù)為的中點，解出即可.【題目詳解】（1）由（為參數(shù)）消去參數(shù)，可得，即，已知曲線的普通方程為，，，，即，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線經(jīng)過點，且傾斜角為，直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)，）.（2）設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，.將直線的參數(shù)方程代入并整理，得，，.又為的中點，，，，，即，，，，即，.【題目點撥】本題考查了圓的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）存在，【解題分析】

（1）把點代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率，可得a,b,c的關(guān)系，可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點的坐標(biāo)，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點．【題目詳解】（1）由題可得∴，所以橢圓的方程（2）由題知，設(shè)，直線的斜率存在設(shè)為，則與橢圓聯(lián)立得，，∴，，∴若以為直徑的圓經(jīng)過點，則，∴，化簡得，∴，解得或因為與不重合，所以舍.所以直線的方程為.【題目點撥】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了向量的數(shù)量積的運用，屬于中檔題.22、（1）見解析，0（2）【解題分析】

（1）即該選手答完3道題后總得分,