廣東省清遠(yuǎn)市2024屆統(tǒng)一招生5月調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷

廣東省清遠(yuǎn)市2024屆統(tǒng)一招生5月調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知（為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．4．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，則（）A．4 B．6 C． D．5．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．66．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知復(fù)數(shù)，，則（）A． B． C． D．8．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.10．已知為一條直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．若集合，，則（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為_(kāi)___________．14．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______________．15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，，則__________.16．某商場(chǎng)一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬(wàn)元；④利潤(rùn)最高的月份是2月份．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對(duì)的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.18．（12分）已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面積．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.①若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，并說(shuō)明理由.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).22．（10分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

設(shè)，由，得，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【題目詳解】設(shè)，則，所以，解得，故，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.2、C【解題分析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，即可排除A、D，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值，排除B，即可得解.【題目詳解】∵的定義域?yàn)?，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，∴B項(xiàng)不正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力，一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng)，屬于中檔題.3、B【解題分析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【題目詳解】由已知，，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.4、B【解題分析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【題目詳解】如圖所示，菱形形的邊長(zhǎng)為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.．5、C【解題分析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可求解.【題目詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，半焦距為，則，，設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.6、A【解題分析】

用排除法，通過(guò)函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【題目詳解】設(shè)，由于，排除B選項(xiàng)；由于，所以，排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.7、B【解題分析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理得詳解：，故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的?？紗?wèn)題，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問(wèn)題.8、A【解題分析】項(xiàng)，由得到，則，故項(xiàng)正確；項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，該不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述，故選．9、B【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】A.若，則或，故A錯(cuò)誤；B.若，則或故B錯(cuò)誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.11、A【解題分析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【題目詳解】解：由集合，解得，則故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了并集及其運(yùn)算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出，然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【題目詳解】.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，故，因?yàn)橐策m合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用求，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

依題意，當(dāng)時(shí)，由，即，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得或(舍去)．綜上，得或．14、【解題分析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.【題目詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，因此，的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，涉及二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【題目詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和定理，屬于中檔題.16、①②③【解題分析】

通過(guò)圖片信息直接觀察，計(jì)算，找出答案即可．【題目詳解】對(duì)于①，2至月份的收入的變化率為20，11至12月份的變化率為20，故相同，正確．對(duì)于②，支出最高值是2月份60萬(wàn)元，支出最低值是5月份的10萬(wàn)元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1，正確．對(duì)于③，第三季度的7，8，9月每個(gè)月的收入分別為40萬(wàn)元，50萬(wàn)元，60萬(wàn)元，故第三季度的平均收入為50萬(wàn)元，正確．對(duì)于④，利潤(rùn)最高的月份是3月份和10月份都是30萬(wàn)元，高于2月份的利潤(rùn)是80﹣60＝20萬(wàn)元，錯(cuò)誤．故答案為①②③．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題目．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理到，得到答案.（2）計(jì)算，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）由，可得,因?yàn)?，所以，所?（2），又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，?【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）；（2）或．【解題分析】

（1）利用正弦定理對(duì)已知代數(shù)式化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理求解余弦值；（2）根據(jù)余弦定理求出b＝1或b＝3，結(jié)合面積公式求解.【題目詳解】（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，∴cosC；（2）把a(bǔ)＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，∵cosC，C為三角形內(nèi)角，∴sinC，∴S△ABCabsinC3×bb，則△ABC的面積為或．【題目點(diǎn)撥】此題考查利用正余弦定理求解三角形，關(guān)鍵在于熟練掌握正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用余弦定理求解邊長(zhǎng)，根據(jù)面積公式求解面積.19、（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②【解題分析】

（1）由題意焦距為2，設(shè)點(diǎn)，代入橢圓，解得，從而四邊形的面積，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，推導(dǎo)出，，，，由此猜想：直線過(guò)定點(diǎn)，從而能證明，，三點(diǎn)共線，直線過(guò)定點(diǎn)．②由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，推導(dǎo)出，，由此推導(dǎo)出（定值）．【題目詳解】（1）由題意焦距為2，可設(shè)點(diǎn)，代入橢圓，得，解得，四邊形的面積，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，，解得，從而，，，同理可得，，猜想：直線過(guò)定點(diǎn)，下證之：，，，，三點(diǎn)共線，直線過(guò)定點(diǎn)．②為定值，理由如下：由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，，，，（定值）．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦切?，為線段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑?，所以．因?yàn)?，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則．于是，，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.21、（1）（2）(2，)．【解題分析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求解.（2）先把兩個(gè)方程均化為普通方程，求解公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)，然后化為極坐標(biāo)即可.【題目詳解】（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為，∴，則,即.（2），∴，聯(lián)立可得，（舍）或，公共點(diǎn)(，3)，化為極坐標(biāo)(2，)．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及交點(diǎn)的求解，熟記極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式是求解的關(guān)鍵，交點(diǎn)問(wèn)題一般是統(tǒng)一一種坐標(biāo)形式求解后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).22、（1）；（2）.【解