山東省日照黃海高級中學(xué)2024屆招生統(tǒng)一考試模擬（一）數(shù)學(xué)試題

山東省日照黃海高級中學(xué)2024屆招生統(tǒng)一考試模擬（一）數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點B'不在平面AMC內(nèi)，點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經(jīng)過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標原點），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．54．若時，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．636．記等差數(shù)列的公差為，前項和為.若，，則（）A． B． C． D．7．已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經(jīng)過點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．9．已知且，函數(shù)，若，則（）A．2 B． C． D．10．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，點.已知動點在雙曲線的右支上，且點不共線.若的周長的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n，兩個不同平面、，有下列四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號為______.14．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的面積為___________．15．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為______．16．設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）設(shè)直線與曲線交于，兩點，求；（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，求的取值范圍.18．（12分）已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點，、為線段上的點，，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）證明：20．（12分）一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立．對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當時，用表示要補播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．（12分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生．新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機抽取了160名學(xué)生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根據(jù)上表說明，能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為，寫出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82822．（10分）已知直線l的極坐標方程為，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程；（2）求直線l被圓截得的弦長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【題目詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點.故選：A.【題目點撥】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.2、C【解題分析】

利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程?！绢}目詳解】設(shè)，，由，與相似，所以，即，又因為，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【題目點撥】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。3、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【題目詳解】由，得，解得.故選:C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

由題得對恒成立，令，然后分別求出即可得的取值范圍.【題目詳解】由題得對恒成立，令，在單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又在單調(diào)遞增，，的取值范圍為.故選：D【題目點撥】本題主要考查了不等式恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題，可采用參變量分離法去求解.5、B【解題分析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.6、C【解題分析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗證選項.【題目詳解】因為，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，還考查運算求解能力，屬于中檔題.7、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)點在第一象限，求出此坐標，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意，設(shè)點在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為，所以，，又以為直徑的圓經(jīng)過點，則，即，解得，，所以，，即，即，所以，雙曲線的離心率為.故選：B.【題目點撥】本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】由題意可得c=，設(shè)右焦點為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在．9、C【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當時，且，由于，則，即可求出.【題目詳解】由題意知：當時，且由于，則可知：，則，∴，則，則.即.故選：C.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，由分段函數(shù)解析式求自變量.10、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【題目點撥】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐，體積為故答案為A.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.12、A【解題分析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【題目詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、③④【解題分析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【題目詳解】①若且，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯；②若且，則或者，②錯；③若，設(shè)過的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【題目點撥】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ)．14、【解題分析】

由余弦定理先算出c，再利用面積公式計算即可.【題目詳解】由余弦定理，得，即，解得，故的面積.故答案為：【題目點撥】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積，考查學(xué)生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.15、-8【解題分析】

通過約束條件，畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題，通過圖像解決.【題目詳解】由題意可得可行域如下圖所示：令，則即為在軸截距的最大值由圖可知：當過時，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問題，關(guān)鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問題.16、【解題分析】

根據(jù)漸近線得到，，計算得到離心率.【題目詳解】，一條漸近線方程為：，故，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）6（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）化簡得到直線的普通方程化為，，是以點為圓心，為半徑的圓，利用垂徑定理計算得到答案.（Ⅱ）設(shè)，則，得到范圍.【題目詳解】（Ⅰ）由題意可知，直線的普通方程化為，曲線的極坐標方程變形為，所以的普通方程分別為，是以點為圓心，為半徑的圓，設(shè)點到直線的距離為，則，所以.（Ⅱ）的標準方程為，所以參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，，因為，所以，所以.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.18、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）先連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）在圖2中，過點作，垂足為，連接，，證明平面平面，得到點在底面上的投影必落在直線上，記為點在底面上的投影，連接，，得出即是直線與平面所成角，再由題中數(shù)據(jù)求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）連接，因為等腰梯形中（如圖1），，，所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；又為線段的中點，為中點，易得：四邊形也為平行四邊形，所以；將四邊形沿折起后，平行關(guān)系沒有變化，仍有：，且，所以翻折后四邊形也為平行四邊形；故；因為平面，平面，所以平面；（2）在圖2中，過點作，垂足為，連接，，因為，，翻折前梯形的高為，所以，則，；所以；又，，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以點在底面上的投影必落在直線上；記為點在底面上的投影，連接，，則平面；所以即是直線與平面所成角，因為，所以，因此，，故；因為，所以，因此，故，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題主要考查證明線面平行，以及求直線與平面所成的角，熟記線面平行的判定定理，以及線面角的求法即可，屬于?？碱}型.19、（Ⅰ）最小值為；（Ⅱ）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式，結(jié)合均值不等式可得結(jié)果；（2）利用分析法證明，結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【題目詳解】（Ⅰ）則當且僅當，即，時，所以的最小值為．（Ⅱ）要證明：，只需證：，即證明：，由，也即證明：．因為，所以當且僅當時，有，即，當時等號成立．所以【題目點撥】本題考查均值不等式，分析法證明不等式，審清題意，仔細計算，屬中檔題.20、（1）當或時，有3個坑要補播種的概率最大，最大概率為；（2）見解析.【解題分析】

（1）將有3個坑需要補種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值時有3個坑要補播種的概率最大．（2）n＝1時，X的所有可能的取值為0，1，2，3，1．分別計算出每個變量對應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可．【題目詳解】（1）對一個坑而言，要補播種的概率，有3個坑要