四川省井研中學(xué)2024屆高三第一次五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

四川省井研中學(xué)2024屆高三第一次五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)元，乙每件進(jìn)價(jià)元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購(gòu)買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件3．已知拋物線：，直線與分別相交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，若，則（）A．3 B． C． D．4．一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為，高為，有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．5．下列命題是真命題的是（）A．若平面，，，滿足，，則；B．命題：，，則：，；C．“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.6．計(jì)算等于()A． B． C． D．7．命題“”的否定為（）A． B．C． D．8．“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R(shí)，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個(gè)不同的路口站崗，每個(gè)路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種10．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．211．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]12．過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．14．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為____．15．已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為_____．16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．18．（12分）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且，為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．19．（12分）已知a,b∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間：(II)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，f(x)的最小值為0，求a+5b的最大值.注：20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積21．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的大??；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為()，將曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線.（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【題目詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，因?yàn)椋瑸樵龊瘮?shù)，所以所以，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.2、D【解題分析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.【題目詳解】設(shè)購(gòu)買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別，利潤(rùn)為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，最大.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，解決此類問(wèn)題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【題目詳解】顯然直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)如圖，過(guò)A,M作準(zhǔn)線的垂直，垂足分別為C，D，過(guò)M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點(diǎn)，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率，常見(jiàn)于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.4、B【解題分析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【題目詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.5、D【解題分析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【題目詳解】若平面，，，滿足，，則可能相交，故A錯(cuò)誤；命題“：，”的否定為：，，故B錯(cuò)誤；為真，說(shuō)明至少一個(gè)為真命題，則不能推出為真；為真，說(shuō)明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.6、A【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.【題目詳解】原式.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

套用命題的否定形式即可.【題目詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】，令解得當(dāng)，的圖像如下圖當(dāng)，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數(shù)圖像的畫法.9、C【解題分析】

先將甲、乙兩人看作一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素，再將這四個(gè)元素分成3個(gè)部分，每一個(gè)部分至少一個(gè)，再將這3部分分配到3個(gè)不同的路口，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).【題目詳解】把甲、乙兩名交警看作一個(gè)整體，個(gè)人變成了4個(gè)元素，再把這4個(gè)元素分成3部分，每部分至少有1個(gè)人，共有種方法，再把這3部分分到3個(gè)不同的路口，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列與組合,常常運(yùn)用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問(wèn)題，屬于中檔題.10、B【解題分析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.11、B【解題分析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進(jìn)而求得的斜率.【題目詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【題目詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案14、【解題分析】，所以．15、2.【解題分析】

由雙曲線的一條漸近線為，解得．求出雙曲線的右焦點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．【題目詳解】雙曲線的一條漸近線為解得：雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知兩式作商，可得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【題目詳解】由，所以，解得.，所以，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、≤x≤【解題分析】由題知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，當(dāng)且僅當(dāng)(a＋b)·(a－b)≥0時(shí)取等號(hào)，∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，并確定的取值范圍；利用，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達(dá)式，采用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，的值域的求解問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.【題目詳解】（1），，為等邊三角形，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，，．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得：，，，．，，，，面積．令，則，，令，則，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，．綜上所述：四邊形面積的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問(wèn)題.19、(I)詳見(jiàn)解析；(II)2【解題分析】

(I)求導(dǎo)得到f'(x)=ex-a，討論a≤0(II)f12=e-12a-5【題目詳解】(I)f(x)=ex-ax當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=e當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=ex-a=0，x=lna當(dāng)x∈lna,+∞時(shí)，綜上所述：a≤0時(shí)，fx在R上單調(diào)遞增；a>0時(shí)，fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b，a+5b=2e取a=3e4，b=f'(x)=ex-a-故當(dāng)x∈0,+∞上時(shí)，x2+1f'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，故fx在0,12上單調(diào)遞減，在1綜上所述：a+5b的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1），；（2）.【解題分析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長(zhǎng)，再求高，最后求的面積．【題目詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即三角形面積的最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識(shí)，屬于?？碱}型.22、（1）的極坐標(biāo)方程為，普通方程為；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得，，可得曲線的普通方程，再運(yùn)用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為，利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)互化的公式可得方程；（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得