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文檔簡介
湖南省常德市桃源一中2024屆高三高考模擬訓練(五)數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),當時,恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足:,則的共軛復數(shù)為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)(),若函數(shù)在上有唯一零點,則的值為()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或04.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元5.已知平面向量,滿足且,若對每一個確定的向量,記的最小值為,則當變化時,的最大值為()A. B. C. D.16.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.公元前世紀,古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當比賽開始后,若阿基里斯跑了米,此時烏龜便領(lǐng)先他米,當阿基里斯跑完下一個米時,烏龜先他米,當阿基里斯跑完下-個米時,烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時,烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米8.已知拋物線的焦點為,對稱軸與準線的交點為,為上任意一點,若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°9.已知正方體的體積為,點,分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.10.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.11.設(shè),其中a,b是實數(shù),則()A.1 B.2 C. D.12.已知點是拋物線:的焦點,點為拋物線的對稱軸與其準線的交點,過作拋物線的切線,切點為,若點恰好在以,為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.14.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.15.雙曲線的離心率為_________.16.小李參加有關(guān)“學習強國”的答題活動,要從4道題中隨機抽取2道作答,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的概率為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某工廠的機器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時,需要送維修處維修.工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天,隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)18.(12分)已知函數(shù)(1)若,試討論的單調(diào)性;(2)若,實數(shù)為方程的兩不等實根,求證:.19.(12分)已知(1)當時,判斷函數(shù)的極值點的個數(shù);(2)記,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,求證:.20.(12分)已知函數(shù),且.(1)求的解析式;(2)已知,若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.21.(12分)已知.(1)當時,求不等式的解集;(2)若時不等式成立,求的取值范圍.22.(10分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設(shè)集合,.(Ⅰ)當,時,用列舉法表示集合;(Ⅱ)當時,,且集合滿足下列條件:①對任意,;②.證明:(?。┤?,則(集合為集合在集合中的補集);(ⅱ)為一個定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設(shè),,,其中,,若,則.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價于,進而求得的取值范圍即可.【題目詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當時,等價于,因為,所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因為,所以等價于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而,故.故選:A.【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,考查了學生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】
轉(zhuǎn)化,為,利用復數(shù)的除法化簡,即得解【題目詳解】復數(shù)滿足:所以故選:B【題目點撥】本題考查了復數(shù)的除法和復數(shù)的基本概念,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】
求出函數(shù)的導函數(shù),當時,只需,即,令,利用導數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,即可求出參數(shù)的值,當時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷;【題目詳解】解:∵(),∴,∴當時,由得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是極小值,∴只需,即.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵,∴;當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∵,,函數(shù)在上有且只有一個零點,∴的值是1或0.故選:C【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題,零點存在性定理的應用,屬于中檔題.4、D【解題分析】
設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【題目詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【題目點撥】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】
根據(jù)題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【題目詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【題目點撥】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.6、A【解題分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對比,即可求出結(jié)論.【題目詳解】由題知,,則.故選:A.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎(chǔ)題..7、D【解題分析】
根據(jù)題意,是一個等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【題目詳解】根據(jù)題意,這是一個等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的實際應用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.8、C【解題分析】
如圖所示:作垂直于準線交準線于,則,故,得到答案.【題目詳解】如圖所示:作垂直于準線交準線于,則,在中,,故,即.故選:.【題目點撥】本題考查了拋物線中角度的計算,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、D【解題分析】
由題意畫出圖形,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,可得當時最小,設(shè)正方體的棱長為,得,進一步求出四面體的體積即可.【題目詳解】解:如圖,
∵點M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,三線共線時,最小,
∴
設(shè)正方體的棱長為,則,∴.
取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,
設(shè)到平面的距離為,
.
故選D.【題目點撥】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問題,考查計算能力,是中檔題.10、B【解題分析】
由目標函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點的坐標,然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【題目詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點,使目標函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【題目點撥】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點,然后得到一個含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.11、D【解題分析】
根據(jù)復數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【題目點撥】本題考查復數(shù)模的計算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【題目詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【題目點撥】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【題目詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐,如圖所示長方體對角線長為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.【題目點撥】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學生空間想象能力以及基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.14、9【解題分析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【題目詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標函數(shù)過點時取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【題目點撥】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解題分析】16、【解題分析】
從四道題中隨機抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會的情況有3種,即可得到概率.【題目詳解】由題:從從4道題中隨機抽取2道作答,共有種,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【題目點撥】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解題分析】
(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結(jié)果,判斷至少增加2人.【題目詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數(shù)學期望;(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為:,或,或.經(jīng)計算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差,屬于中等題.18、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析【解題分析】
(1)根據(jù)題意得,分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),得,參變分離得,分析不等式,即轉(zhuǎn)化為,設(shè),再構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)得單調(diào)性,進而得證.【題目詳解】(1)依題意,當時,,①當時,恒成立,此時在定義域上單調(diào)遞增;②當時,若,;若,;故此時的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)方法1:由得令,則,依題意有,即,要證,只需證(不妨設(shè)),即證,令,設(shè),則,在單調(diào)遞減,即,從而有.方法2:由得令,則,當時,時,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè),則,要證,只需證,易知,故只需證,即證令,(),則==,(也可代入后再求導)在上單調(diào)遞減,,故對于時,總有.由此得【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19、(1)沒有極值點;(2)證明見解析【解題分析】
(1)求導可得,再求導可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷;(2)轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得,由(1)可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導函數(shù)可得,即可求證.【題目詳解】(1)當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.(2)由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面證明,只需證明:,令,則證,即.設(shè),那么,所以,所以,即【題目點撥】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.20、(1);(2)【解題分析】
(1)由,可求出的值,進而可求得的解析式;(2)分別求得和的值域,再結(jié)合兩個函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【題目詳解】(1)因為,所以,解得,故.(2)因為,所以,所以,則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍
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