數(shù)學(xué)物理方程第二章復(fù)變積分

沿y=xz第一頁第二頁，共16頁。沿第二頁第三頁，共16頁。柯西定理由于復(fù)變函數(shù)可以看作平面上的實(shí)矢量場，它的積分可以應(yīng)用實(shí)矢量場的積分來研究閉路l上的積分連續(xù)，且同理連續(xù)，且在S這兩個條件就是柯西－黎曼公式。因此第三頁第四頁，共16頁。柯西定理：在某閉區(qū)域解析的函數(shù)，它沿此區(qū)域邊界的積分為零。奇點(diǎn)復(fù)變函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)。孤立奇點(diǎn)復(fù)變函數(shù)在其有限小鄰域可導(dǎo)的奇點(diǎn)。含孤立奇點(diǎn)的區(qū)域，可將其每個奇點(diǎn)的有限小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺?fù)通區(qū)域在A

圍成的區(qū)域中含的孤立奇點(diǎn)，引入曲線將此奇點(diǎn)挖掉，余下的區(qū)域（復(fù)連通區(qū)域）中解析。第四頁第五頁，共16頁。由柯西定理或又

與方向相反，但與方向相同。第五頁第六頁，共16頁。2.2.柯西定理閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時鐘方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時鐘方向的積分的和。固定起點(diǎn)和終點(diǎn)，積分路徑的連續(xù)形變不改變積分第六頁第七頁，共16頁。并且整數(shù)

一個公式第七頁第八頁，共16頁。全平面解析，積分只與起、終點(diǎn)有關(guān)。改沿實(shí)軸第八頁第九頁，共16頁。2.3不定積分由柯西定理，在單通區(qū)域，解析函數(shù)沿任意路徑的積分只與起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)。于是在這樣的區(qū)域中，任意選取兩點(diǎn)作起點(diǎn)和終點(diǎn)，唯一確定了復(fù)變函數(shù)的一個積分值?；蛘哒f，對于固定起點(diǎn)，積分是積分上限的單值函數(shù)。并且可以證明這是解析函數(shù)，有。即它是原函數(shù)。并且，第九頁第十頁，共16頁。例計算a.在回路之外，無論何n此積分為零。b.在回路之內(nèi)，，被積函數(shù)解析，積分為零。c.在回路之內(nèi)，，將回路變形為以為圓心的半徑為

的圓。積分變?yōu)榈谑摰谑豁?，?6頁。故第十一頁第十二頁，共16頁。1.在C外2.3.4.002iπ第十二頁第十三頁，共16頁。第十三頁第十四頁，共16頁。2.4柯西公式1.若在閉單通區(qū)域上解析，為的境界線，為內(nèi)任一點(diǎn)，則有柯西公式證明由有為函數(shù)的奇點(diǎn)。以為圓心，為半徑作圓，函數(shù)