高一數(shù)學(xué)投影與直觀圖

1.1.4投影與直觀圖一、投影法物體在光線的照射下，就會(huì)在地面或墻壁上產(chǎn)生影子。人們將這種自然現(xiàn)象加以科學(xué)的抽象，總結(jié)其中的規(guī)律，提出了投影的方法。

太陽(yáng)光線可以把一個(gè)矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四邊形，在影子中，框邊的長(zhǎng)度以及框邊之間的夾角有所改變，但框邊的平行性沒(méi)有改變。

在立體幾何中，一般都是根據(jù)平行投影的性質(zhì)，用平面圖形來(lái)表示空間圖形。二、投影法分類1.中心投影法投影線均通過(guò)投影中心的投影法稱為中心投影法。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實(shí)形。2.平行投影法

投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。其中，投影線傾斜于投影面叫平行斜投影法；投影線垂直于投影面叫平行正投影法簡(jiǎn)稱正投影法

平行斜投影平行正投影

應(yīng)用正投影法，能在投影面上反映物體某些面的真實(shí)形狀及大小，且與物體到投影面的距離無(wú)關(guān)，因而作圖方便，故在工程中得到廣泛的應(yīng)用。工程圖樣就是用正投影法繪制的。（1）點(diǎn)的平行投影：已知圖形F，直線l與平面α相交，過(guò)F上任一點(diǎn)M作直線l’平行于l，交平面α于點(diǎn)M’，則M’叫做點(diǎn)M在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影.（2）圖形的平行投影：如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F’，則F’叫做圖形F在α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投射線。三.平行投影的性質(zhì)：

當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影都具有以下性質(zhì)：1．直線或線段的平行投影仍是直線或線段;2.平行直線的平行投影是平行或重合的直線；3．平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)；4．與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；5．在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影長(zhǎng)度的比等于這兩條線段長(zhǎng)度的比。

當(dāng)投射線和投射面成適當(dāng)?shù)慕嵌然蚋淖儓D形相對(duì)于投射面的位置時(shí)，一個(gè)空間圖形在投射面上的平行投影（平面圖形）可以形象地表示這個(gè)空間圖形。像這樣用來(lái)表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖。

依據(jù)平行投影的性質(zhì)畫(huà)直觀圖的方法，國(guó)家規(guī)定了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，一種較為簡(jiǎn)單的畫(huà)圖標(biāo)準(zhǔn)是斜二側(cè)畫(huà)法。xyoX’Y’O’

先觀察一個(gè)正方形，如何把它畫(huà)成水平放置的直觀圖呢？我們用一個(gè)平行四邊形來(lái)表示它。那么這個(gè)平行四邊形有什么要求呢？四.斜二測(cè)畫(huà)法：

斜二測(cè)畫(huà)法是國(guó)家規(guī)定的統(tǒng)一的畫(huà)直觀圖的一種方法，它的規(guī)則是：（1）在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸，使∠x(chóng)Oz=90°，且∠yOz=90°.（2）畫(huà)直觀圖時(shí)，把Ox、Oy、Oz畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸O’x’、O’y’、O’z’，使∠x(chóng)’O’y’=45°（或135°），∠x(chóng)’O’z’=90°，x’O’y’所確定的平面表示水平平面;（3）已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x’軸、y’軸或z’軸的線段.并使它們和所畫(huà)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同；（4）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半；（5）畫(huà)圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖

所以，畫(huà)圖的關(guān)鍵是正確地畫(huà)出水平放置的圖形。例１、用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀圖(1)在六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對(duì)稱軸MN所在直線為y軸，兩軸交于點(diǎn)O．畫(huà)對(duì)應(yīng)的x’，y’軸，兩軸相交于點(diǎn)O’，使∠x(chóng)’O’y’=45°.P

在畫(huà)出了水平放置的正六邊形的直觀圖后，按照斜二側(cè)畫(huà)法不難畫(huà)出六棱柱和六棱錐的直觀圖。例2.畫(huà)水平放置的正三角形的直觀圖。例3作一個(gè)底面邊長(zhǎng)為5cm，高為11.5cm的正五棱錐直觀圖。xyoMABCDENA1B1·M1·N1E1C1·D1y1x1o1y1x1A1B1E1C1·D1o1zSA1B1E1C1·D1o1S練習(xí)題：1.當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，關(guān)于平行投影的性質(zhì)，下列說(shuō)法中不正確的是（）（A）直線或線段的平行投影仍是直線或線段（B）平行直線的平行投影仍是平行的直線（C）與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等（D）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比B2.直線的平行投影可能是（

）（A）點(diǎn)（B）線段（C）射線（D）曲線A3.如圖為水平放置的△OAB的直觀圖，由圖判斷原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的順序?yàn)?/p>

.OD<BD<AB=OB4.兩條不平行的直線，其平行投影不可能是（

）（A）兩條平行線.（B）一點(diǎn)和一條直線（C）兩條相交直線（D）兩個(gè)點(diǎn)D5.一個(gè)水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底的長(zhǎng)均為1的等腰梯形，那么原四邊形的面積是（）（A）2+（B）1+

（C）(2+)（D）(1+)C6.一個(gè)四邊形的直觀圖是邊長(zhǎng)為a的正方形，則原圖形的面積是

。

；/cp；/cp；ysh61zvb帝正在看一本書(shū)，至于是什么書(shū)，慕容凌娢沒(méi)敢正眼看。她只能把頭壓的很低，臉與地面成三十度角，小心翼翼的轉(zhuǎn)著眼珠，尋找那抹代表著希望，又讓人心情舒暢的綠。那是玉璽特有的顏色，雖然看起來(lái)很像出軌綠。連續(xù)翻了N個(gè)白眼之后，慕容凌娢依舊木有找到玉璽，只是感覺(jué)頭暈眼花。好后悔，好扎心！后悔當(dāng)年還在學(xué)校時(shí)沒(méi)有好好練習(xí)‘寫(xiě)輪眼’。雖然考試時(shí)用處并不大，但也不會(huì)落得現(xiàn)在這種心有余而能力不足的地步啊。正當(dāng)慕容凌娢悲憤抑郁時(shí)，身后響起一陣腳步聲。郭揚(yáng)從殿外急匆匆走進(jìn)來(lái)，再怎么穩(wěn)的小碎步也掩蓋不了他的方亂?！氨菹隆惫鶕P(yáng)恭恭敬敬遞上去了一個(gè)信封。這貌似是奏折啊……雖然郭揚(yáng)遮擋的很嚴(yán)實(shí)，慕容凌娢仍然看出那封面是奏折專屬的。需要皇帝親自定奪的奏折，絕對(duì)不簡(jiǎn)單。難道是沒(méi)經(jīng)過(guò)通政司的加急密報(bào)？“草民先行告退?！毕臉骞蛳驴念^，然后準(zhǔn)備開(kāi)溜?！跋南壬?qǐng)留步。”皇帝神情凝重。郭揚(yáng)臉色也好不到哪兒去，但他依舊記得給別人使眼色。侍女們對(duì)郭揚(yáng)的神色了如指掌，沒(méi)有一點(diǎn)拖泥帶水，全都退下了。慕容凌娢當(dāng)然也跟著走了出去。不管怎么說(shuō)，經(jīng)過(guò)一波三折，起起落落（實(shí)際上并沒(méi)有，全是慕容凌娢想象出來(lái)的。）之后，她終于還是提前出來(lái)了，和原計(jì)劃沒(méi)偏差。至于夏樺那邊……他那么機(jī)智，一定沒(méi)問(wèn)題。慕容凌娢決定熟悉一下整個(gè)皇宮的布局，先踩踩點(diǎn)，免得偷靈石時(shí)再迷路。偶然抬頭，看到極高的宮墻，慕容凌娢還是很方的，畢竟這墻跟郭揚(yáng)家的墻根本就不在一個(gè)比較級(jí)上。這可怎么翻呢……慕容凌娢將手按在朱紅色的宮墻上，毫不客氣的使勁推了一下，但這只會(huì)讓她自己后退兩步。巍峨的高墻在慕容凌娢后退時(shí)，只是露出滑稽球般金燦燦的光輝，高傲的不能再高傲了?！翱尤恕！蹦饺萘鑺尾粷M的小聲低估，看四周沒(méi)有其他人經(jīng)過(guò)，就蹲下來(lái)從墻根開(kāi)始估計(jì)墻的高度。她蹲下去，又馬上站起來(lái)，抬頭看墻的頂端，然后又伸長(zhǎng)手臂跳起，看看自己到底能能達(dá)到那種程度。連續(xù)跳了幾次，慕容凌娢保守估計(jì)，這墻有十米。“呲——”慕容凌娢靠在墻邊，一點(diǎn)頭緒都沒(méi)有。她難不成要背一段繩索來(lái)?“你是何人！”高調(diào)又充滿命令語(yǔ)氣的聲音從慕容凌娢背后響起。慕容凌娢一怔，回過(guò)頭去，只見(jiàn)一個(gè)身