專題23 三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式（3知識(shí)點(diǎn)3題型3考法）（解析版）

專題23：三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式（3知識(shí)點(diǎn)+3題型+3考法）三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式?？碱}型三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式?？碱}型誘導(dǎo)公式三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)三角函數(shù)的定義題型一：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值題型二：三角函數(shù)值的符號(hào)判定題型三：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用考法一：給角求值、化簡(jiǎn)求值考法二：給值(或式)求值考法三：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)的定義（1）任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么①點(diǎn)P的縱坐標(biāo)叫角α的正弦函數(shù)，記作sinα＝y(tǒng)；②點(diǎn)P的橫坐標(biāo)叫角α的余弦函數(shù)，記作cosα＝x；③點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比叫角α的正切函數(shù)，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊任意一點(diǎn)P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論．知識(shí)點(diǎn)二：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)（1）設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊任意一點(diǎn)P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過(guò)正弦、余弦和正切的計(jì)算公式可以確定符號(hào)口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式公式終邊關(guān)系圖示公式公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝sinα，,cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tanα，))公式二角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α與角α的終邊關(guān)于eq\a\vs4\al(y)軸對(duì)稱sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六記憶口訣：可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”：①“偶”當(dāng)k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取偶數(shù)時(shí)（－π±α，π±α，±α），三角函數(shù)名不變，符號(hào)由原三角函數(shù)角所在象限決定；②“奇”當(dāng)k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取奇數(shù)時(shí)（，±eq\f(π,2)±α），三角函數(shù)名改變，符號(hào)由原三角函數(shù)角所在象限決定；題型一：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值解題思路：設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊任意一點(diǎn)P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論．例1．已知是角的終邊上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行求值即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義知:，所以.故選：A.例2．如果角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先算點(diǎn)P坐標(biāo)，然后由三角函數(shù)定義可得.【詳解】由題可得，因?yàn)樗?故選：D例3．已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，起始邊為軸非負(fù)半軸，若點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，即可解出的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，由三角函數(shù)的定義可得，則，解得.故選：B.變式訓(xùn)練4．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以，所以.故選：A5．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)得定義求解即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：，時(shí)，；時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤，故選：D.6．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出即可求解【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且，所以角的終邊落在第三象限，所以，即，所以，所以.故答案為：7．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念求解，即可得的值.【詳解】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以的值可能為或.故選：CD.題型二：三角函數(shù)值的符號(hào)判定解題思路：設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊任意一點(diǎn)P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過(guò)正弦、余弦和正切的計(jì)算公式可以確定符號(hào)口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).要考查兩類題：第一類通過(guò)角所在象限確定三角函數(shù)的符號(hào)；第二類：通過(guò)三角函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定角所在象限。例1．已知，，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)與角的象限間的關(guān)系，即可求解.【詳解】由，，根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)與角的象限間的關(guān)系，可得角的終邊位于第四象限.故選：D.例2．“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，結(jié)合充分條件、必要條件即可得解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，則，所以為第一或第三象限角，反之，當(dāng)為第一或第三象限角時(shí)，，所以，綜上，“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件，故選：C例3．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，得到的終邊在第一象限或第三象限討論求解.【詳解】解：由知的終邊在第一象限或第三象限，當(dāng)?shù)慕K邊在第一象限時(shí)，，，，，符號(hào)不確定；當(dāng)?shù)慕K邊在第三象限時(shí)，，，，，符號(hào)不確定；故選：C變式訓(xùn)練4．已知，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)所給條件得到、，，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，即，又，所以，即，所以，所以角的終邊在第三象限.故選：C5．已知為第二象限角，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)第二象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，，，則，，，而的取值不確定.故選：C.6．若，則可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD【分析】對(duì)角的終邊的位置進(jìn)行分類討論，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)是第一象限角時(shí)，，故一定不是第一象限角；當(dāng)是第二象限角時(shí)，，即可以是第二象限角；當(dāng)是第三象限角時(shí)，，即可以是第三象限角；當(dāng)是第四象限角時(shí)，，即可以是第四象限角．故選：BCD.題型三：誘導(dǎo)公式的應(yīng)用考法一：給角求值、化簡(jiǎn)求值解題思路：利用誘導(dǎo)公式公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.例1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：B例2．化簡(jiǎn)（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得解.【詳解】.故選：D.例3．化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】利用誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）原式．（2）原式．變式訓(xùn)練4．已知．(1)化簡(jiǎn)；(2)若為第三象限角，且，求的值．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式代入計(jì)算即可得；（2）根據(jù)角的范圍將代入計(jì)算即可得.【詳解】（1）即（2）由，可得．因?yàn)闉榈谌笙藿?，因此，?5．平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求出角的余弦值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：A6．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，再利用誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，.故選：A7．已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和化弦為切化簡(jiǎn)函數(shù)；（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系列式計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，則，所以，解得，所以.考法二：給值(或式)求值解題思路：（1）設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊任意一點(diǎn)P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論．利用誘導(dǎo)公式公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.例1．已知，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：B.例2．已知為第二象限角，若則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式，可得答案.【詳解】由，則，由為第二象限角，則，所以.故選：A.例3．已知，且，化簡(jiǎn)并求的值.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，然后利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】解：因?yàn)?，且，則，所以，，故.變式訓(xùn)練4．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)定義求得，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意得，，故選：C.5．（多選題）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC.6．已知，則下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，所以A正確；由，所以B不正確；由，所以C正確；由，所以D不正確.故選：AC.7．若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則.【答案】/【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而求得，，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】由題意得，，則或，又，即，解得或（舍去），則，所以.故答案為：.8．已知是第三象限角，，則.【答案】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，，所以，所以，故答案為?考法三：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式解題思路：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)和證明恒等式例1．求證：當(dāng)或3時(shí)，.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)等式左側(cè)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊=；當(dāng)時(shí)，左邊=；綜上，或有原等式恒成立.例2．（1）求證：；（2）設(shè)，求證.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)等式中結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一側(cè)，即可證結(jié)論.【詳解】（1）左邊=

=右邊，所以原等式成立.（2）方法1：左邊=

===右邊，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左邊====右邊，等式成立.變式訓(xùn)練3．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式證明.【詳解】左邊==–tanα=右邊，∴等式成立．4．若，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】分為偶數(shù)和為奇數(shù)討論，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可證明；【詳解】證明：若為偶數(shù)，則左邊；若為奇數(shù)，則左邊；左邊=右邊，所以原式成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)證明，注意對(duì)的奇偶的討論，是中檔題.一、單選題1．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)正弦定義即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得，故選：B.2．在中，給出下列四個(gè)式子：①；②；③；④.其中為常數(shù)的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式結(jié)合對(duì)選項(xiàng)一一化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】①因?yàn)樵谥?，，所以；②因?yàn)樵谥?，，；③；?故選：B.3．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義、結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.【詳解】由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得該點(diǎn)到原點(diǎn)距離，，所以.故選：C4．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算得解.【詳解】由角的終邊過(guò)點(diǎn)，得，，所以.故選：A5．已知，則函數(shù)的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【分析】分若為第一、二、三、四象限角，求出的值.【詳解】若為第一象限角，則，故，若為第二象限角，則，故，若為第三象限角，則，故，B正確；若為第四象限角，則，故.故選：B6．若角滿足，，則是（

）A．第二象限角 B．第三象限角C．第一或者第三象限角 D．第二或者第四象限角【答案】D【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)，確定角所在的象限，即可求解所在的象限.【詳解】，，所以是第三象限角，則，，，，則角是第二或者第四象限角.故選：D7．已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)定義即可得解.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，，且注意到，，所以；又為角的終邊上一點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)定義知角的最小正值為.故選：B.二、多選題8．若，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】BC【分析】利用三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】因?yàn)?，則或，若，，此時(shí)的終邊位于第三象限，若，，此時(shí)的終邊位于第二象限，綜上可得的終邊位于第二象限或第三