2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（學(xué)生版）：第十五單元統(tǒng)計初步及其綜合應(yīng)用

統(tǒng)計初步及其綜合應(yīng)用

CBIS、

拶舔回歸國

看高考

習(xí)課

§15.1隨機抽樣

(對應(yīng)答案分冊第57頁)

國基礎(chǔ)知識＞夯實基礎(chǔ)鞏固提升

?《知識清單》＞

1.簡單隨機抽樣

(1)定義:一般地，設(shè)一個總體含有加個個體，從中"個個體作為樣本(〃WA),

且每次抽取時各個個體被抽到的機會都，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機抽樣.

(2)常用方法：和

2.系統(tǒng)抽樣

(1)步驟:①^將總體的4個個體編號；

②根據(jù)樣本容量〃，當(dāng)“是整數(shù)時，取分段間隔k

nn士

③在第1段用確定第一個個體編號/(/W冷；

也按照一定的規(guī)則抽取樣本.

(2)適用范圍:適用于總體中的個體數(shù)較多時.

3.分層抽樣

(1)定義:在抽樣時，將總體分成的層,然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)

量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫作分層抽樣.

(2)適用范圍:適用于總體由的幾個部分組成時.

8拓展知識

⑴隨機數(shù)法編號要求:應(yīng)保證各贊的

位數(shù)相同,而抽簽法則無限制.

⑵系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，入樣個體的編號相

差?的整數(shù)倍.

(3'層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個

體數(shù)為該層的個體數(shù)乘以抽樣比.

⑷三種抽樣方法的比較

適

類共同各自相互用

別點特點聯(lián)系范

圍

從總

簡總體

單是體中

隨點

中的

機2逐個

抽n個數(shù)

樣抽抽較

取少

樣

將

總

抽

體

樣

均

過

分在

程

成起

中

幾始

部部

每

分分總

個

抽體

個‘、

按樣中

系體

事時的

統(tǒng)被

先個

抽抽

確采數(shù)

樣到

定用比

的

的簡較

機

規(guī)單多

會

則隨

機

概1

率?抽

);樣

相部

?分

等抽

取

分將在總

<?夯實基礎(chǔ)》>

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.（對的打“J”，錯的打“X”）

（1）在抽簽法中,先抽的人抽中的可能性大.（）

（2）系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣.（）

（3）在分層抽樣的過程中，哪一層的樣本越多，該層中個體抽取到的可能性越大.（）

⑷要從1002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學(xué)生，這樣對

被剔除者不公平.（）

【對接教材】

在一次游戲中，獲獎?wù)呖梢缘玫?件不同的獎品，這些獎品要從由1編號的50種不同獎品

中隨機抽取確定，用系統(tǒng)抽樣的方法為某位獲獎?wù)叽_定5件獎品的編號可以為（）.

A.7,17,27,37,47

B.1,3,5,7,9

C.11,22,33,44,50

D.12,15,19,23,28

一個公司共有N名員工，下設(shè)一些部門，要采用按比例分層抽樣的方法從全體員工中抽取樣本

容量為〃的樣本，已知某部門有勿名員工，那么從該部門抽取的員工人數(shù)是

【易錯自糾】

山東荷澤某牡丹種植基地，培育48《三個品種的紅牡丹分別有1200株、1000株、800株，現(xiàn)

用分層抽樣的方法，從三個品種中抽取150株參加節(jié)日展覽,則應(yīng)從C品種中抽?。ǎ┲?

A.60B.50C.40D.30

某校有高中生1500人，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法抽取50人做問卷調(diào)查，將高一、高

二、高三學(xué)生（高一、高二、高三分別有學(xué)生495人、490人、515人）按1,2,3,…,1500編號，若

第一組用簡單隨機抽樣的方法抽取的號碼為23,則所抽樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為（）.

A.15B.16C.17D.18

......................圖考點考向，精研考向錘煉技能

盲點戲簡單隨機抽樣【題組過關(guān)】

2021年5月31日世界無煙日，新華小區(qū)隨機調(diào)查了300個成年人，結(jié)

果其中有45個成年人吸煙.對于這個關(guān)于數(shù)據(jù)收集與處理的問題，下列說法正確的是（）.

A.調(diào)查的方式是普查

B.樣本是45個吸煙的成年人

C.本小區(qū)只有255個成年人不吸煙

D.本小區(qū)約有1596的成年人吸煙

某工廠為了對40個零件進行抽樣調(diào)查，將其編號為00,01,-,38,39.現(xiàn)要

從中選出5個,利用下面的隨機數(shù)表，從第1行第3列開始，由左至右依次讀取，則選出來的第5個

零件編號是（）.

03474373863696473661469863716233

26168045601114109577742467624281

14572042533237322707360751245179

A.36B.16C.11D.14

從一群玩游戲的小孩子中隨機抽取20人，一個小孩分一個蘋果,讓他們

返回繼續(xù)游戲，過了一會兒，再從中抽取30人，發(fā)現(xiàn)其中有5個小孩曾分過蘋果，估計參加游戲的

小孩人數(shù)為（）.

A.80B.100

C.120D.無法計算

⑴簡單隨機抽樣的特點：。為由取的個體數(shù)較少;②是逐個抽取;③是不放回抽取;④是等

可能抽取.只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.

⑵抽簽法與隨機數(shù)表法的適用情況抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)表法

適用于總體中個體數(shù)較多的情況.②一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?關(guān)鍵看兩點:一看抽簽是否方便;

二看號簽是否易攪勻.

系統(tǒng)抽樣【典例遷移】

Ofl干全堂某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為

1,2,…,1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，若46號學(xué)生被抽

到,則下面4名學(xué)生中被抽到的是().

A.8號學(xué)生B.200號學(xué)生

C.616號學(xué)生D.815號學(xué)生

【變式設(shè)問】若本例條件不變，則被抽到的學(xué)生的最小編號為，最大編號

為.

?一系統(tǒng)抽樣的注意點：(1)系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大.⑵若不

改變抽樣規(guī)則，則所抽取的號碼構(gòu)成一個等差數(shù)列，其首項為第一組所抽取的號碼,公差為樣本間

隔.⑶抽樣規(guī)則改變,應(yīng)注意每組抽取一個個體這一特性不變.⑷如果總體容量》不能被樣本容

量〃整除，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，其中起始編號的確定應(yīng)用

簡單隨機抽樣的方法.

【追蹤訓(xùn)練1](1)要從96個接種了新冠疫苗的人中抽取16人檢查

體內(nèi)的抗體情況，將這96人隨機編為1到96號,再用系統(tǒng)抽樣法抽出16個號.把抽出的號從小

到大排列,已知第1,3,13個號成等比數(shù)列，則抽出的最大號為().

A.92B.93C.95D.96

(2)現(xiàn)從編號為1,2,…,96的觀眾中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取八位幸

運觀眾，其中有兩個編號為21與93,則所抽取的8個編號的中位數(shù)為().

A.45B.48C.51D.57

每點⑥分層抽樣【考向變換】

考向1求總體容量或樣本容量

00(1):函研:某高中有三個年級，其中高一學(xué)生900人，高二學(xué)生860人，現(xiàn)

采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的視力情況，在抽取的樣本中有高二學(xué)生43人、高三學(xué)生39人，

則該高中的學(xué)生總?cè)藬?shù)應(yīng)為().

A.2600B.2580

C.2540D.2500

（2）某單位職工分老、中、青三個層次,其中青年職工350人，中

年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣

本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（）.

A.35B.25C.20D.15

樣本容昌名■屏樣本黝星

上分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比一-".

總體容量各層個體數(shù)量

【追蹤訓(xùn)練2】（1）交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況,

對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為A；其中甲社區(qū)有

駕駛員96人,若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個社

區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù),〃為（）.

A.101B.808C.1212D.2012

（2）某工廠生產(chǎn)的4旦。三種不同型號的產(chǎn)品的數(shù)量之比為2：3：5,

為研究這三種產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該工廠生產(chǎn)的46,。三種產(chǎn)品中抽取樣本容量

為〃的樣本，若樣本中4型產(chǎn)品有10件，則〃的值為（）.

A.15B.25C.50D.60

考向2求每層中的樣本數(shù)量

硼?疫苗是全球最終戰(zhàn)勝新冠肺炎疫情的關(guān)鍵，某生物技術(shù)公

司研制出一種新冠疫苗，為測試該疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%,則認(rèn)為測試沒有通

過），公司選定2000個樣本分成三組，測試結(jié)果如下表：

,4組5組C組

疫苗有效673660y

疫苗無效7790z

（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全部測試結(jié)果中抽取360個,問應(yīng)在。組中抽取多少個？

（2）已知y2465,z>25,求該疫苗不能通過測試的概率.

分層抽樣問題類型及解題思路:（1）求某層應(yīng)抽個體數(shù)量:按該層所占總體的比例計

算.⑵分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取n,=n。=1,2，…㈤個個體（其

中,是層數(shù)，〃是抽取的樣本容量/是第/層中個體的個數(shù)N是總體容量）.

【追蹤訓(xùn)練3】某學(xué)校高一年級有1802人，高二年級有1600人，高三年級有1499人,先采用

分層抽樣的方法從中抽取98名學(xué)生參加全國中學(xué)生禁毒知識競賽，則在高一、高二、高三三個

年級中抽取的學(xué)生人數(shù)分別為（）.

A.35,33,30B.36,32,30

C.36,33,29I）.35,32,31

￡3方法技巧＞方法探究分類突破

園按旗^分層抽樣的應(yīng)用

抽樣方法在古代數(shù)學(xué)也經(jīng)常應(yīng)用,主要是簡單隨機抽樣與分層抽樣.

似in在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五

十，丙持錢一百八十,凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢.欲以錢多少衰出之,問各幾何？”其譯文為:今有甲

持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān),關(guān)稅共100錢，要按照各人帶錢多

少的比例進行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅?則下列說法錯誤的是（）.

A.甲應(yīng)付51葛錢

B.乙應(yīng)付32益錢

C.丙應(yīng)付16需錢

D.三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少

。方法總結(jié)

解決以中國古代文化為背景的問題，要

仔細閱讀題目，明確問題的含義，從中抽象出

數(shù)學(xué)問題，用所學(xué)知識解決.

【突破訓(xùn)練1】我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》有一衰分問題:今有北鄉(xiāng)八千一

百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人,凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百,意思是用分層抽樣的方法從這三鄉(xiāng)中共抽

出500人服役，則西鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽出的人數(shù)為（）.

A.20B.60

C.80D.200

毒突破多抽樣比不是整數(shù)的解題方法

分析已知條件判斷抽樣方法，然后根據(jù)抽樣方法的特點求解.

倒國某化工廠有職工501人，其中不到35歲的有125人,35歲至49歲的有280人,50歲及

50歲以上的有96人，為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項指標(biāo)，要從中抽取100名職工

作為樣本，職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽??？

I。方法總結(jié)

⑴在分層抽樣的過程中為了保證每個

個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各

層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)

之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即

n,:N,=n：A：⑵分層后，可采用簡單隨機抽

樣抽取出各層中的個體，一定要注意按比例

抽取.當(dāng)抽樣比不是整數(shù)時，可在該層隨機

剔除部分個體，在系統(tǒng)抽樣中，也是如此.

【突破訓(xùn)練2】采用系統(tǒng)抽樣方法從961人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號

為1,2,…,960,分組后第一組抽到的號碼為20.抽到的32人中,編號落入?yún)^(qū)間［400,800］的人數(shù)為

().

A.11B.12C.13D.14

請完成課后作亞

鏈接《精練案》分冊P107

§15.2用樣本估計總體

(對應(yīng)答案分冊第58^9頁)

圜基礎(chǔ)知識曲實基礎(chǔ)鞏固提升

(?知識清單一

1.作頻率分布直方圖的步驟

日成極差(即一組數(shù)據(jù)中與的差)；

②決定與；

③將數(shù)據(jù)；

毆；

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線:隨著的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，減小，相應(yīng)的頻率折線圖

就會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.

3.莖葉圖

(1)莖葉圖的概念:統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫作莖葉圖,莖是指中間的一列數(shù)，葉

就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).

(2)莖葉圖的優(yōu)點:一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到;二是莖葉圖便于記錄和表示，

能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.

4.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字頻率分布

樣本數(shù)據(jù)優(yōu)點與缺點

特征直方圖

取最高的

出現(xiàn)次數(shù)

小長方形通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視

眾數(shù)的數(shù)

底邊使得無法客觀地反映總體特征

據(jù)

的橫坐標(biāo)

將數(shù)據(jù)按把頻率分

大小依次布直方圖

排列，處在劃分左右是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響,這在某些情況

中位數(shù)

最位兩個面積下是優(yōu)點,但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點

置的一個的分

數(shù)據(jù)(或最界線與X

中間兩個軸交點的

數(shù)據(jù)的平橫坐標(biāo)

均數(shù)）

（續(xù)表）

數(shù)字頻率分布

樣本數(shù)據(jù)優(yōu)點與缺點

特征直方圖

每個小矩

形的面積

樣本數(shù)據(jù)

乘以小矩平均數(shù)和每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中

平均數(shù)的算術(shù)平

形底邊中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低

均數(shù)

點的橫坐

標(biāo):和

（2）方差和標(biāo)準(zhǔn)差

方差:52中（小F）2%尼―）/??尤的為2],標(biāo)準(zhǔn)差：5二

J[（X1-X）2+（打改/+…+（Xn-X）2].

（3）平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大

小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小，越

穩(wěn)定.

b拓展知識

（1）頻率分布直方圖的特點

礴率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表

示組距，縱坐標(biāo)表示頻左率，頻率理距X頻—率.

組距組距

②在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積

總和等于1,因為在頻率分布直方圖中組距

是一個固定值，所以各小長方形高的比也就

是頻率比.

酶率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)

據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)確,后者直

觀.

⑵平均數(shù)、方差的公式推廣

循數(shù)據(jù)鳥即，…出的平均數(shù)為X,則

mx\-f-a,mx2+a,mxR+a,…，/%的平均數(shù)為

鱷數(shù)據(jù)鳥&…/的方差為4則數(shù)據(jù)

X\+a,Xz+a,…I心切的方差也為S）數(shù)據(jù)

axi.axz,…,ax,,的方差為a2sz.

一夯實基礎(chǔ)）

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.（對的打“V”，錯的打“X”）

（1）一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.（）

（2）從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就

被抹掉了.（）

（3）在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高.（）

（4）平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.（）

【對接教材】

甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次測試的成績統(tǒng)計如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為

二,",標(biāo)準(zhǔn)差分別為。甲，。乙，則（）.

中乙

01~23456”次

A.x甲3/乙

B.x<x0甲乙

甲乙

c.XA。甲乙

甲乙

D.x,。甲，“乙

甲乙

如圖所示的是一次數(shù)學(xué)考試成績的樣本頻率分布直方圖（樣本容量〃=200）,若成績在60分到

80分之間的學(xué)生稱為“臨界生”，則樣本中“臨界生”的人數(shù)約為

【易錯自糾】

若數(shù)據(jù)汨,用,吊，…,X的平均數(shù)x巧，方差s'N,則數(shù)據(jù)3X產(chǎn)1,3%+1,3&<1=?,3%+1的平均數(shù)和方差

分別為（）.

A.5,2B.16,2C.16,18D.16,9

為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取了30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試相分（十分

制）如圖所示,假設(shè)得分的中位數(shù)為他眾數(shù)為平均數(shù)為工則雙瓜的大小關(guān)系為.（用“C

連接）

考點考向，精研考向錘煉技能

逗點蠶莖葉圖【題組過關(guān)】

某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個,

命中個數(shù)的莖葉圖如圖所示，則下面結(jié)論中錯誤的是（）.

甲乙

809

32113489

76542020113

73

A.甲的極差是29

B.甲的中位數(shù)是24

C.甲罰球命中率比乙高

D.乙的眾數(shù)是21

?四川樂山百三￡某企業(yè)開展職工技能比賽，并從參賽職工中選1人參加該行業(yè)全國

技能大賽.經(jīng)過6輪選拔，甲、乙兩人成績突出彳導(dǎo)分情況如莖葉圖所示.

甲II乙

98278

658688

2913

若甲、乙兩人的平均成績分別是I甲區(qū)乙，則下列說法正確的是().

AG田義力乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽

甲乙

BGE.”？,甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽

甲乙

C.x&才甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽

甲ffl乙

D.&力乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽

甲乙

莖葉圖中的三個關(guān)注點:(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)

一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏;(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計數(shù)字特

征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.

CS?樣本數(shù)字特征的計算及應(yīng)用【典例遷移】

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某

項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品彳導(dǎo)到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如

下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.9

新設(shè)備10.110.410.110.010.1

舊設(shè)備9.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為［和樣本方差分別記為式和受.

⑴求x,y,sf,s之

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果，?！?鳳1,則

認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高).

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論:(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字

特征,是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾

數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小.

⑵方差的簡化計算公式:.號[（后^i嗨）-R],或?qū)懗膳f（好轉(zhuǎn)i啕全,即方差等于

原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

【追蹤訓(xùn)練1】為了普及新冠肺炎知識，增強疫情防控意識，某學(xué)校從

高一和高二兩個年級各抽取5位同學(xué)參加新冠肺炎知識測試彳導(dǎo)分（十分制）情況如下表所示，則下

列描述正確的是（）

高一年級組高二年級組

得分45678得分569

頻數(shù)11111頻數(shù)311

A.高一年級組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6分,高二年級組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5分

B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)都是6分

C.高一年級組數(shù)據(jù)的極差小于高二年級組數(shù)據(jù)的極差

D.高一年級組數(shù)據(jù)的方差小于高二年級組數(shù)據(jù)的方差

CIS?頻率分布直方圖【考向變換】

考向1求樣本的頻率、頻數(shù)

初口某高三年級隨機抽取部分考生的第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績，分成6組制成如下頻率

分布直方圖，若圖中數(shù)據(jù)構(gòu)成公差為0.004的等差數(shù)列，則參加考試的2000名同學(xué)中數(shù)學(xué)

成績不低于130分的學(xué)生有（）人.

A.40B.160C.240D.400

頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法:⑴器'組距淑率;⑵急頻率，黑咻本容

量，樣本容量X頻率瀕數(shù).

【追蹤訓(xùn)練2】有一個容量為100的樣本，其頻率分布直方圖如圖

所示，已知樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,12）內(nèi)的頻數(shù)比樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［8,10）內(nèi)的頻數(shù)少12,則實數(shù)m

的值等于（）.

A.0.10B.0.11C.O.12D.0.13

考向2求樣本的數(shù)字特征

硼?為慶祝國慶節(jié)，某中學(xué)團委組織了“歌頌祖國，愛我中華”知識

競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名，將其成績（成績均為整數(shù)）分成［40,50）,［50,60）,…,［90,100）六

組，并畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖，觀察圖形，回答下列問題：

（1）求第四組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為

代表）

頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù):(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)

即是眾數(shù);(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)是中位數(shù);(3)

平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形

底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

【追蹤訓(xùn)練3】為抗擊新型冠狀病毒性肺炎疫情，某口罩生產(chǎn)企業(yè)職

工在做好自身安全防護的同時,加班加點生產(chǎn)口罩發(fā)往疫區(qū).該企業(yè)為保證口罩的質(zhì)量，從某種型

號的口罩中隨機抽取100個，測量這些口罩的某項質(zhì)量指標(biāo)值，其頻率分布直方圖如圖所示，其中

該項質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間［115,125］內(nèi)的口罩恰有8個.

(1)求圖中a,6的值；

(2)用樣本估計總體的思想，估計這種型號的口罩該項質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，該項質(zhì)量指標(biāo)值不低于85,則為合格產(chǎn)品，試估計該企業(yè)生產(chǎn)這種型號

口罩的質(zhì)量合格率為多少.

考向3與概率結(jié)合的問題

倒您（2流行病學(xué)資料顯示,50歲以上男性靜息

心率過高將會增加患心血管疾病的風(fēng)險，相反，靜息心率相對穩(wěn)定的50到60歲的男性,在未來10

年內(nèi)患心血管疾病的幾率會降低44%.研究員們還表示，其中靜息心率超過75bpm（次份）的人比

靜息心率低于55bpm的人罹患心血管疾病的風(fēng)險高出一倍.某單位對其所有的離、退休老人進

行了靜息心率監(jiān)測，其中一次靜息心率的莖葉圖和頻率分布直方圖如下，其中，頻率分布直方圖的

分組區(qū)間分別為［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］,由于掃描失誤，導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失.

據(jù)此解答如下問題：

靜息心率

0.0375\j

0.0250F…r-X.J

ooi

^°LH50±607m0809z01u00,

好息心率/bmp

圖2

(1)求此單位離、退休人員總數(shù)和靜息心率在［80,100］之間的頻率；

(2)現(xiàn)從靜息心率在［80,100］之間的數(shù)據(jù)中任取3份分析離、退休人員身體情況，設(shè)抽取的靜

息心率在［90,100］的份數(shù)為X求才的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解決統(tǒng)計與概率問題的幾點注意：(1)用樣本頻率可以估計整體的概率;(2)用樣本頻率

分布直方圖的面積估計頻率;(3)用樣本頻率分布直方圖來估計整體平均值.

【追蹤訓(xùn)練4】為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，某在線教育平臺統(tǒng)計了部分高三備考學(xué)生每天完成

數(shù)學(xué)作業(yè)所需的平均時間，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)如果學(xué)生在完成在線課程后每天平均自主學(xué)習(xí)時間(完成各科作業(yè)及其他自主學(xué)習(xí))為5

小時，估計高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時間占自主學(xué)習(xí)時間的比例(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點值為代表)(結(jié)果精確到0.01)；

(2)為了進一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,平臺隨機選擇100位高三備考學(xué)生進行一次測試，記選

擇的學(xué)生中每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時間不超過45分鐘的人數(shù)為用以統(tǒng)計的頻率作為概率，求X的

數(shù)學(xué)期望.

E3方法技巧?＞方法探究分類突破

扇形圖、折線圖的應(yīng)用

以扇形圖、折線圖為背景的數(shù)據(jù)分析處理的簡單應(yīng)用，是高考的熱點，解題關(guān)鍵是讀懂題，將

原問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計問題處理.

初02020年初，突如其來的疫情改變了人們的消費方式，在目前疫情

防控常態(tài)化背景下，某大型超市為了解人們以后消費方式的變化情況,更好地提高服務(wù)質(zhì)量，收集

并整理了本超市2020年1月份到8月份的人們線上收入和線下收入的數(shù)據(jù)，并繪制如下的折線

圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（

A.該超市這8個月中，線上收入的平均值高于線下收入的平均值

B.該超市這8個月中，線上收入與線下收入相差最小的月份是7月

C.該超市這8個月中，每月總收入與時間呈現(xiàn)負相關(guān)

D.從這8個月的線上收入與線下收入對比來看，在疫情逐步得到有效控制后,人們比較愿意

線下消費

。方法總結(jié)

⑴通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示

出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.(2)折線

圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而

變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相

等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.

【突破訓(xùn)練1](1)AQI是表示空氣質(zhì)量的指數(shù),AQI指數(shù)值越小，表明空氣

質(zhì)量越好，當(dāng)AQI指數(shù)值不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖所示的是某地7月1日到12

日AQI指數(shù)值的統(tǒng)計數(shù)據(jù),圖中點/表示7月1日的AQI指數(shù)值為201,則下列敘述不正確的是

AQI指數(shù)值

250

?■■?■■■■■■4

期

12345日

日

日

101112日

日

日

日

日

日

6789

A.這12天中有6天空氣質(zhì)量達到“優(yōu)良”

日

日

日

日

B.這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是90

C.這12天中空氣質(zhì)量最好的是7月9日

D.從4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好

(2)已知某地區(qū)人口總數(shù)為125萬，具體分布如圖所示，近期，衛(wèi)計委擬針對

18到60歲的人群開展新冠疫苗接種工作，抽樣發(fā)現(xiàn)，他們中有8096的人符合接種的健康要求.截

至3月底，已有30%符合健康要求的人接種了第一劑,據(jù)要求，這部分人需要在4月份接種第二劑,

剩余70%符合健康要求的人需在4月份接種第一劑,5月份接種第二劑.則該地區(qū)4月份需要

萬劑疫苗.

18歲以下口

18~6。歲口

60歲以上?

行醫(yī)突破⑥繪制頻率分布直方圖的方法

繪制頻率分布直方圖時,組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分組時,組數(shù)力求合適，使

數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來，組數(shù)太多或太少都會影響了解數(shù)據(jù)的分布情況，若樣本容

量不超過100,按照數(shù)據(jù)的多少常分為512組，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.

硼國某省為了了解和掌握2021年高考考生的實際答卷情況，隨機地取出了100名考生的數(shù)

學(xué)成績，數(shù)據(jù)如下:(單位:分)

135981021109912111096100103

1259711711311092102109104112

1051248713197102123104104128

10912311110310592114108104102

12912697100115111106117104109

1118911012180120121104108118

12999909912112310711191100

991011169710210810195107101

1021081179911810611997126108

12311998121101113102103104108

(1)列出頻率分布表；

(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖；

(3)估計該省考生數(shù)學(xué)成績在［100,120)分之間的比例.

。方法總結(jié)

繪制頻率分布直方圖的注意事項:(1)計

算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，

當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，可選一個數(shù)當(dāng)參照.(2)將一

批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要

根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)

據(jù)越多，分組越多.⑶將數(shù)據(jù)分組，決定分點

時，一般使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第

一組的起點稍微減小一點.⑷列頻率分布

表時，可通過逐一判斷各個數(shù)據(jù)落在哪個小

組內(nèi)，以“正”字確定各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個

數(shù).⑸畫頻率分布直方圖時,縱坐標(biāo)表示頻

率與組距的比值,一定不能標(biāo)成頻率.

【突破訓(xùn)練2】某校從高三參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生中抽取50名學(xué)生的成績，成績的分組及各

組的頻數(shù)如下(單位:分)：

［40,50),2；［50,60),3；［60,70),10；［70,80),15；［80190),12；［90,100］,8.

(1)列出樣本的頻率分布表；

(2)畫出頻率分布直方圖；

(3)估計成績在［60,90)分的學(xué)生比例；

(4)估計成績在80分以下的學(xué)生比例.

請完成涕后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P108

§15.3相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

(對應(yīng)答案分冊第59方0頁)

......................因基礎(chǔ)知識>夯實基礎(chǔ)鞏固提升

<?知識清單》》

1.相關(guān)關(guān)系與回歸方程

(1)相關(guān)關(guān)系的分類

①正相關(guān):從散點圖上看，點散布在從到的區(qū)域內(nèi)，如圖1；

②負相關(guān):從散點圖上看，點散布在從到的區(qū)域內(nèi)，如圖2.

oxox

圖1圖2

(2)線性相關(guān)關(guān)系:從散點圖上看,如果這些點從整體上看大致分布在附近，那么稱這

兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫作

(3)回歸方程

①最小二乘法:使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的最小的方法叫作最小二乘法.

②回歸方程:兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(見必),(冬,悶,…,(心謁,其回歸方程為

AAAAAAAA

(Xi-x)(yry)ZXj^-nxy__

y=bx+a,貝ijb*----------------,a^y-bx.其中，b是回歸直線的，a是在y軸上的

卻￡卻斕

,x』0必,y上0%,Xy稱為樣本點的中心.

ni=ini=i

回歸直線y=bx+a必過樣本點的中心

丘,?,這個結(jié)論既是檢驗所求回歸直線方程

是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個依據(jù).

(4)樣本相關(guān)系數(shù)

n__

￡i(陽-x)(yry)

T,，用它來衡量兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系.

n-n-

脩(3)27部“7

①當(dāng)時,表明兩個變量；

②當(dāng)r<0時,表明兩個變量；

③r的絕對值越接近I,表明兩個變量的線性相關(guān)性力的絕對值接近于0,表明兩個變量

之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)/r/A).75時，認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

2.殘差分析

⑴殘差:對于樣本點(汨,必),(及㈤,…,(%”%),它們的隨機誤差為6號「勿La,/=1,2,…其估計

AAAAA

值為已廣匕-丫［=匕-1)%-2,，=1,2」??,〃?稱為相應(yīng)于點(才”)的殘差.

(2)殘差平方和為0U-yJ2.

i=i

nA2

2

團(yryf)

⑶相關(guān)指數(shù)f

團仇-y)2

i=l

3.獨立性檢驗

(1)分類變量:變量的不同“值”表示個體所屬的，像這類變量稱為分類變量.

(2)列聯(lián)表:列出兩