用二重積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積

作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)體的體積一般是用定積分來(lái)計(jì)算。本課件用元素法來(lái)推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分的計(jì)算公式。將二重積分化為二次積分可以得到計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的定積分公式、最后，舉例加以說(shuō)明。第一頁(yè)1第二頁(yè)，共31頁(yè)。先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸第二頁(yè)2第三頁(yè)，共31頁(yè)。設(shè)D是上半平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域。

將D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。D第三頁(yè)3第四頁(yè)，共31頁(yè)。D在區(qū)域D的(x,y)處取一個(gè)面積元素它到x軸的距離是y（如圖）。該面積元素繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：（體積元素）于是整個(gè)區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：第四頁(yè)4第五頁(yè)，共31頁(yè)。D命題1：上半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：第五頁(yè)5第六頁(yè)，共31頁(yè)。D命題2：右半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：同理第六頁(yè)6第七頁(yè)，共31頁(yè)。下面針對(duì)不同的區(qū)域

將二重積分化為定積分

得到熟悉的旋轉(zhuǎn)體體積公式第七頁(yè)7第八頁(yè)，共31頁(yè)。x型區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)第八頁(yè)8第九頁(yè)，共31頁(yè)。y=f(x)如果圓片法則D繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：第九頁(yè)9第十頁(yè)，共31頁(yè)。y=f(x)y=g(x)如果則D繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為墊圈法第十頁(yè)10第十一頁(yè)，共31頁(yè)。y型區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)第十一頁(yè)11第十二頁(yè)，共31頁(yè)。x=f(y)如果則D繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：圓片法第十二頁(yè)12第十三頁(yè)，共31頁(yè)。x=f(y)x=g(y)如果則D繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：墊圈法第十三頁(yè)13第十四頁(yè)，共31頁(yè)。x型區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)！注意：一般教材沒(méi)有介紹這個(gè)公式。第十四頁(yè)14第十五頁(yè)，共31頁(yè)。y=f(x)y=g(x)如果則D繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：柱殼法第十五頁(yè)15第十六頁(yè)，共31頁(yè)。下面看一個(gè)極坐標(biāo)的情形第十六頁(yè)16第十七頁(yè)，共31頁(yè)。如果D是曲邊扇形：則D繞極軸(x軸)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：第十七頁(yè)17第十八頁(yè)，共31頁(yè)。我們用命題1來(lái)推導(dǎo)一個(gè)有關(guān)區(qū)域D的形心

(質(zhì)心)和旋轉(zhuǎn)體體積之間的關(guān)系的定理：古爾丁定理PaulGuldin（古爾丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

第十八頁(yè)18第十九頁(yè)，共31頁(yè)。D上半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積等于該區(qū)域的形心所經(jīng)過(guò)的路程與D的面積A的乘積。古爾丁定理形心A第十九頁(yè)19第二十頁(yè)，共31頁(yè)。D形心A如果你很容易求得D的面積和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)體的體積。第二十頁(yè)20第二十一頁(yè)，共31頁(yè)。下面來(lái)看一般的情形一般的區(qū)域&一般的旋轉(zhuǎn)軸第二十一頁(yè)21第二十二頁(yè)，共31頁(yè)。設(shè)D是xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域。直線(xiàn)L與D的內(nèi)點(diǎn)不相交（如圖）。

將D繞直線(xiàn)L旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積V。

我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。DL第二十二頁(yè)22第二十三頁(yè)，共31頁(yè)。D在區(qū)域D的(x,y)處取一個(gè)面積元素它到直線(xiàn)L的距離是：該面積元素繞L旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：于是整個(gè)區(qū)域D繞直線(xiàn)L旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：設(shè)直線(xiàn)L的方程為ax+by+c=0。L第二十三頁(yè)23第二十四頁(yè)，共31頁(yè)。D命題3區(qū)域D繞直線(xiàn)ax+by+c=0（D在直線(xiàn)的一側(cè)）旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：L第二十四頁(yè)24第二十五頁(yè)，共31頁(yè)。下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明

命題3中的公式的應(yīng)用所有計(jì)算都用數(shù)學(xué)軟件Maple驗(yàn)證了第二十五頁(yè)25第二十六頁(yè)，共31頁(yè)。例1求由y=2x和y=x2所圍區(qū)域D繞直線(xiàn)

y=2x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。f:=(x,y)->2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x->x^2:y2:=x->2*x:int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);(2*Pi/sqrt(5))*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=(2*Pi/sqrt(5))*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第二十六頁(yè)26第二十七頁(yè)，共31頁(yè)。例2求由x=y2和y=x2所圍區(qū)域D繞直線(xiàn)

y=x-1旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2:=x->sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第二十七頁(yè)27第二十八頁(yè)，共31頁(yè)。例3求由y=0,y=lnx和x=e所圍區(qū)域D繞直線(xiàn)

y=-x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2:=x->sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第二十八頁(yè)28第二十九頁(yè)，共31頁(yè)。也可以按先x后y的積分次序計(jì)算二重積分：f:=(x,y)->x+y;y1:=0:y2