甘肅省天水市等2地2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題（含解析）

天水、武威兩地2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)（理）第一部分選擇題（共60分）一、單項選擇題（每題5分、共60分）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義可得正確的選項.【詳解】，故選：D.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.3.在中，點D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B6.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當時，最小值為.故選：C.7.記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A8.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故9.已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.10.已知函數(shù)的定義域為R，且，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.11.已知，若對任意，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)換為，再結(jié)合畫圖求解．【詳解】由題意有：對任意的，有恒成立．設(shè)，，即的圖像恒在的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，，，或，，故選：D．12.若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分類討論，分別列出不等式進行分離常數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)后，利用整體思想和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得a的取值范圍．【詳解】解：由題意得，f′（x），因為在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，①當f′（x）≥0時，則在[1，+∞）上恒成立，即a，設(shè)g（x），因為x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，當1時，g（x）取到最大值是：0，所以a≥0，②當f′（x）≤0時，則在[1，+∞）上恒成立，即a，設(shè)g（x），因為x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，當時，g（x）取到最大值是：，所以a，綜上可得，a或a≥0，所以數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，]∪[0，+∞），故選：B．【點睛】本題查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查分離常數(shù)法，整體思想、分類討論思想，屬于中檔題．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（每題5分、共20分）13.已知向量．若，則__________．【答案】##－0.75【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示求解.【詳解】因為，，所以,解得.故答案:.14.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設(shè)過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.

15.設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先求出點關(guān)于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：16.已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．三、解答題（共70分）17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【小問1詳解】由于，，則．因為，由正弦定理知，則．【小問2詳解】因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．18.記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.【小問1詳解】∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；【小問2詳解】∴19.已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．（1）若，求a；（2）求a的取值范圍．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；【小問2詳解】，則在點處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.20.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．（1）求E的方程；（2）設(shè)過點直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將給定點代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.【小問2詳解】，所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21.已知函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）當時，，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）當時，無極值；當時，有極小值，無極大值．（2）1【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，再對分兩種情況討論，即和，即可得答案；（2）當時，，即，因為，所以只需，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，可得，再利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值，即可得答案；【詳解】（1）當時，，所以，①當時，，在為增函數(shù)，無極值；②當時，由得，由得；所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．當時，取極小值，綜上，當時，無極值；當時，有極小值，無極大值．（2）當時，，將函數(shù)看成以為主元的一次函數(shù)，則只需證即可，因，所以只需，令，，所以．，令，，所以在遞增，根據(jù)零點存在性定理，，使得，即．當時，，即，為減函數(shù)，當時，，即，為增函數(shù)，所以，故；在遞增，，所以，又所以整數(shù)的最大值是1．【點睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點等問題，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識，綜合考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想以及特殊與一般思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性．22.已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【小問1詳解】的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.【小問2詳解】[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設(shè)，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設(shè)，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當，由（1）討論可得、僅有一個解，當時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所