江蘇省蘇州市張家港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022~2023學(xué)年第一學(xué)期1月高三年級綜合練習(xí)數(shù)學(xué)2023.1注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1．本卷共6頁，包含單項選擇題（第1題~第8題）?多項選擇題（第9題~第12題）?填空題（第13題~第16題）?解答題（第17題~第22題）．本卷滿分150分，考試時間為120分鐘，考試結(jié)束后，請將答題卡交回．2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名?調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置．3．請在答題卡．上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字請注意字體工整，筆跡清楚．一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合B，進而求出交集.【詳解】因為，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出等式右側(cè)復(fù)數(shù)的模，然后表示出復(fù)數(shù)z，再化簡變形求得結(jié)果.【詳解】由已知，可得，∴.故選：C．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】用和差角公式展開,求得后再算即可.【詳解】由有,故,合并同類型有,顯然,所以,故故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,包括和差角公式與二倍角公式等,屬于中等題型.4.若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.【詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.5.已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A.－4 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集求出的值和的取值范圍，在代入中利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出它的最小值.【詳解】由的解集為，則，且，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以的最小值為5.故選：C6.2020年1月11日，被譽為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡通過國家驗收正式開放運行，成為全球口徑最大且最靈敏的射電望遠鏡(簡稱FAST)．FAST的反射面的形狀為球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圓為球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段為球冠的高．某科技館制作了一個FAST模型，其口徑為5米，反射面總面積為平方米，若模型的厚度忽略不計，則該球冠模型的高為（）(注：球冠表面積，其中R是球的半徑，是球冠的高)A.米 B.米C. D.【答案】B【解析】【分析】作出軸截面圖形，可以球的幾何性質(zhì)以及球冠的表面積，列出方程組，求解即可．【詳解】如圖所示為球的軸截面圖像，ACD部分為該球冠的軸截面，是弦，是球的半徑，點為的中點，則于點，由題意可得，，，，所以，，在中，由勾股定理可得①，又由球冠的表面積可得，②，由①②可得，，所以該球冠模型的高為米．故選：B．7.已知,,,則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,分別判斷與特殊值之間的大小關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性后,將分別帶入,進行化簡即可判斷與1的大小關(guān)系,即可得出結(jié)果.【詳解】解:由題知上單調(diào)遞增,所以,由于在上單調(diào)遞減,所以,設(shè),所以故在上,,單調(diào)遞增,在上,,單調(diào)遞減,故,即,化簡可得:,即,因為在上單調(diào)遞增,所以,故綜上:故選:A8.已知偶函數(shù)滿足且，當(dāng)時,，關(guān)于的不等式在上有且只有200個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷f（x）在（0，8）上的單調(diào)性，根據(jù)對稱性得出不等式在一個周期（0，8）內(nèi)有4個整數(shù)解，再根據(jù)對稱性得出不等式在（0，4）上有2個整數(shù)解，從而得出a的范圍．【詳解】當(dāng)0＜x≤4時，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，4）上單調(diào)遞減，∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴f（x）的周期為8，∵f（x）是偶函數(shù)，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200個整數(shù)解，∴不等式在（0，200）內(nèi)有100個整數(shù)解，∵f（x）在（0，200）內(nèi)有25個周期，∴f（x）在一個周期（0，8）內(nèi)有4個整數(shù)解，（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，顯然f（x）＞0在一個周期（0，8）內(nèi)有7個整數(shù)解，不符合題意；（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，顯然f（x）＜0在區(qū)間（0，8）上無解，∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4個整數(shù)解，∵f（x）在（0，8）上關(guān)于直線x=4對稱，∴f（x）在（0，4）上有2個整數(shù)解，∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整數(shù)解為x=1，x=2．∴≤﹣a＜ln2，解得﹣ln2＜a≤﹣．故答案為：D【點睛】（1）本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.（2）解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是分析出函數(shù)f(x)的周期性和對稱性，f（x）在一個周期（0，8）內(nèi)有4個整數(shù)解.其二是對a分類討論，得到a的取值范圍.二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯或不答的得0分．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．9.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則下列說法中正確的有（）A. B.C. D.的方差為2【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意得出，結(jié)合正態(tài)分布圖象的對稱性，對各選項逐項判定，即可求出結(jié)果．【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以，即此正態(tài)分布的圖象關(guān)于對稱，由對稱性可知，所以，故A正確；因為和關(guān)于對稱，而和不關(guān)于對稱，由對稱性可知，，故B正確，C錯誤；的方差為4，故D錯誤．故選：AB．10.已知向量，則（）A. B.向量在向量上的投影向量是C. D.與向量方向相同的單位向量是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷A；利用向量數(shù)量積的幾何意義可判斷B；利用向量模的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量方向相同的單位向量可判斷D.【詳解】由向量A，，所以，所以，故A正確；B，向量在向量上的投影向量為，故B錯誤；C，，所以，故C正確；D，與向量方向相同的單位向量，故D正確.故選：ACD11.已知圓C：點P在直線l：上運動，以線段PC為直徑的圓D與圓C相交于A，B兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l與圓相離 B.圓D的面積的最小值為C.弦長的最大值為2 D.直線AB過定點【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑1的大小關(guān)系可判斷A；設(shè)，利用兩點間的距離公式求出圓的半徑，從而可得半徑的最小值，可判斷B；結(jié)合點的坐標(biāo)，可表示圓的方程，再求出相交弦的直線方程，從而可判斷D；根據(jù)圓直徑為2，弦不過圓心，所以小于2，可判斷C.【詳解】解：由題設(shè)得圓的圓心，半徑為1，對于選項A：圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，A正確；對于選項B：由于點在直線上運動，設(shè)，則圓的圓心，所以圓的半徑，故當(dāng)時半徑有最小值，所以圓的面積的最小值為，故B正確；對于選項D：由上面的B選項可知圓的方程為，將圓的方程與圓的方程相減可得相交弦的直線方程為：，整理得，令，解得，所以直線過定點，故D正確；對于選項C：由C得，弦的直線方程為：，若弦過圓心，則，方程無解，所以弦不過圓心，從而小于圓直徑，圓直徑為2，故C錯誤．故選：ABD．12.在三棱錐中，已知，，，平面平面ABC，且，則（）．A.B.平面平面ABCC.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABC【解析】【分析】通過證明平面來判斷AB選項的正確性；通過計算三棱錐的體積來判斷C選項的正確性；求出三棱錐的外接球的表面積來判斷D選項的正確性.【詳解】因為，，所以，所以，過D作于E．因為平面平面ABC，平面平面，所以平面ABC，所以，假設(shè)DB，DE不重合，因為，所以平面DBC，所以，這樣與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，所以，由于平面，所以平面平面ABC，所以A，B正確；三棱錐的體積為，所以C正確；設(shè)三角形ABC的外心為F，外接圓半徑為，過F作平面ABC，設(shè)O為外接球的球心，則，，所以，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以D不正確．故選：ABC三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.二項式展開式中的系數(shù)為____________．【答案】5【解析】【分析】將化為，利用二項式系數(shù)結(jié)合組合數(shù)的計算，求得答案.【詳解】因，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：514.如圖，在梯形中，，，，，，如果，則________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因為，所以考點：向量數(shù)量積15.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和三角恒等變換將題干中等式化簡求得角B，再根據(jù)的外接圓的面積求得其直徑，代入三角形面積公式中，化為三角函數(shù)求其值域即可.【詳解】由∴得，所以，因為所以，所以，而，所以．又由的外接圓的面積為，所以外接圓直徑，所以，因為為銳角三角形，所以，的面積取值范圍為．故答案為：.16.參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點.他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為，影子橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進而求得橢圓的離心率.【詳解】以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為設(shè),由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN的方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故答案為：【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。四?解答題：本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項和為，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求得；（2）由錯位相減法求出．【小問1詳解】因為在數(shù)列中，，所以．因為，所以，即．又因為，所以，即，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，其通項公式為．【小問2詳解】由（1）得，所以，①，②由①-②，得，所以．18.為進一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)健康有序發(fā)展，財政部、工業(yè)和信息化部、科技部，發(fā)展改革委聯(lián)合發(fā)布了《財政部工業(yè)和信息化部科技部發(fā)展改革委關(guān)于2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財政補貼政策的通知》，進一步明確了2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財政補貼政策有關(guān)要求.為了解消費者對新能源汽車的購買意愿與財政補貼幅度的關(guān)系，隨機選取200人進行調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計表：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車購買時補貼大于1.5萬6535購買時補貼不大于1.5萬4555（1）能否有95%的把握認為新能源汽車的購買意愿與購買時財政補貼幅度有關(guān)？（2）若從購買時補貼大于1.5萬的樣本中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，從這20人中隨機抽取3人調(diào)查家族收入情況，記表示這3人中愿意購買新能源汽車的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有95%的把握認為新能源汽車的購買意愿與購買時財政補貼幅度有關(guān)（2）分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望為人【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，計算卡方并比較即可；（2）先計算出在愿意購買新能源汽車的人中抽取13人，在不愿意購買新能源汽車的人中抽取7人，結(jié)合超幾何分布相關(guān)知識求解概率與期望即可.【小問1詳解】2×2列聯(lián)表如下：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車合計大于1.5萬6535100不大于1.5萬4555100合計11090200可得，所以有95%的把握認為對新能源汽車的購買意愿與購買時財政補貼幅度有關(guān).【小問2詳解】依題意，分層隨機抽樣的抽樣比為，則有，，所以在愿意購買新能源汽車的人中抽取13人，在不愿意購買新能源汽車的人中抽取7人，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123故（人），所以的數(shù)學(xué)期望為人.19.如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)，的圖像，圖像的最高點為．邊界的中間部分為長千米的直線段，且．游樂場的后一部分邊界是以為圓心的一段圓?。?）求曲線段函數(shù)表達式；（2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口修一條筆直的景觀路到，求景觀路長；（3）如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時的值．【答案】（1）（2）（3）最大值為，此時.【解析】【詳解】試題分析：（1）求函數(shù)的解析式時，比較容易得出，困難的是確定待定系數(shù)的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；確定的值，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標(biāo)，則令（或），即可求出；二是代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出，若對的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可利用誘導(dǎo)公式進行變換使其符合要求；（2）運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用；重視三角函數(shù)的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等，適當(dāng)選擇公式進行變形；（3）把形如化為，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值和對稱性.試題解析：解：（1）由已知條件，得1分[又∵2分又∵當(dāng)時，有2分∴曲線段的解析式為．1分（2）由得2分又2分1分∴景觀路長為千米1分（3）如圖，1分作軸于點，在中，1分在中，1分∴1分1分2分當(dāng)時，即時，平行四邊形面積最大值為1分考點：1、根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式；2、三角函數(shù)化簡；3、求三角函數(shù)的最值.20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點．（1）求證：PA∥平面MBD；（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得到對應(yīng)點的坐標(biāo)，求的兩平面的法向量，由向量夾角的計算公式，可得答案.【小問1詳解】連接AC交BD于點O，連接OM，可知O為AC中點，M為PC中點，所以O(shè)M∥PA，且平面，平面，所以PA∥平面MBD.【小問2詳解】由題意可得平行四邊形ABCD為菱形，建立如圖坐標(biāo)系，如下圖：在菱形ABCD，AB=AD=2，∠BAD=120°，，所